VnDoc.com

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác Toán 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đường tròn nội tiếp tam giác

1. Đường tròn nội tiếp tam giác
2. Cách tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác
3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Đường tròn nội tiếp tam giác Toán 10, nội dung tài liệu chắc chắn sẽ giúp các bạn học sinh rèn luyện giải nhanh bài tập Hình học lớp 10 một cách chính xác nhất. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn lớn nhất nằm trong tam giác, đường tròn tiếp xúc với cả 3 cạnh của tam giác.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

2. Cách tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác trong.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Công thức tính tâm đường đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_O} = \dfrac{{AB.{x_C} + AC.{x_B} + BC.{x_A}}}{{AB + AC + BC}}} \\ {{y_O} = \dfrac{{AB.{y_C} + AC.{y_B} + BC.{y_A}}}{{AB + AC + BC}}} \end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_O} = \dfrac{{AB.{x_C} + AC.{x_B} + BC.{x_A}}}{{AB + AC + BC}}} \\ {{y_O} = \dfrac{{AB.{y_C} + AC.{y_B} + BC.{y_A}}}{{AB + AC + BC}}} \end{array}} \right.$

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(4; -1), B(1; 5), C(-4; -5). Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Độ dài các cạnh tam giác: $AB = 3\sqrt 5 ;AC = 4\sqrt 5 ;BC = 5\sqrt 5$ $AB = 3\sqrt 5 ;AC = 4\sqrt 5 ;BC = 5\sqrt 5$

Khi đó ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_O} = \dfrac{{3\sqrt 5 .\left( { - 4} \right) + 4\sqrt 5 .1 + 5\sqrt 5 .4}}{{3\sqrt 5 + 4\sqrt 5 + 5\sqrt 5 }} = 1} \\ {{y_O} = \dfrac{{3\sqrt 5 .\left( { - 5} \right) + 4\sqrt 5 .5 + 5\sqrt 5 .\left( { - 1} \right)}}{{3\sqrt 5 + 4\sqrt 5 + 5\sqrt 5 }} = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {1;0} \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_O} = \dfrac{{3\sqrt 5 .\left( { - 4} \right) + 4\sqrt 5 .1 + 5\sqrt 5 .4}}{{3\sqrt 5 + 4\sqrt 5 + 5\sqrt 5 }} = 1} \\ {{y_O} = \dfrac{{3\sqrt 5 .\left( { - 5} \right) + 4\sqrt 5 .5 + 5\sqrt 5 .\left( { - 1} \right)}}{{3\sqrt 5 + 4\sqrt 5 + 5\sqrt 5 }} = 0} \end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {1;0} \right)$

Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là điểm I (1; 0)

3. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

- Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = c; AC = b, BC = a

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC $\Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2}$ $\Rightarrow p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp:

$\begin{matrix} r = \dfrac{S}{p} \hfill \\ r = \left( {p - a} \right).\tan \dfrac{{\widehat A}}{2} = \left( {p - b} \right).\tan \dfrac{{\widehat B}}{2} = \left( {p - c} \right).\tan \dfrac{{\widehat C}}{2} \hfill \\ r = \sqrt {\dfrac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{p}} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} r = \dfrac{S}{p} \hfill \\ r = \left( {p - a} \right).\tan \dfrac{{\widehat A}}{2} = \left( {p - b} \right).\tan \dfrac{{\widehat B}}{2} = \left( {p - c} \right).\tan \dfrac{{\widehat C}}{2} \hfill \\ r = \sqrt {\dfrac{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{p}} \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ: Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} p = \dfrac{{2 + 3 + 4}}{2} = \dfrac{9}{2} \hfill \\ \Rightarrow r = \sqrt {\dfrac{{\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right)\left( {p - 4} \right)}}{p}} = \sqrt {\frac{{\left( {\dfrac{9}{2} - 2} \right)\left( {\dfrac{9}{2} - 3} \right)\left( {\dfrac{9}{2} - 4} \right)}}{{\dfrac{9}{2}}}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} p = \dfrac{{2 + 3 + 4}}{2} = \dfrac{9}{2} \hfill \\ \Rightarrow r = \sqrt {\dfrac{{\left( {p - 2} \right)\left( {p - 3} \right)\left( {p - 4} \right)}}{p}} = \sqrt {\frac{{\left( {\dfrac{9}{2} - 2} \right)\left( {\dfrac{9}{2} - 3} \right)\left( {\dfrac{9}{2} - 4} \right)}}{{\dfrac{9}{2}}}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6} \hfill \\ \end{matrix}$

4. Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

- Nhắc lại:

+ Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$

+ Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{d_1}} \right):ax + by + c = 0} \\ {\left( {{d_2}} \right):a$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{d_1}} \right):ax + by + c = 0} \\ {\left( {{d_2}} \right):a'x + b'y + c' = 0} \end{array}} \right.$ là:

$\frac{{ax + by + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \pm \frac{{a$ $\frac{{ax + by + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \pm \frac{{a'x + b'y + c'}}{{\sqrt {a{'^2} + b{'^2}} }}$

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết tọa độ các đỉnh A, B, C

Bước 1: Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B

Bước 2: Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên

Bước 3: Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính

Bước 4: Viết phương trình đường tròn.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$, biết tọa độ $A(8;0),B(0;6)$?

Hướng dẫn giải

Ta có: $OA = 8;OB = 6;AB = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ $OA = 8;OB = 6;AB = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$

Mặt khác $\frac{1}{2}OA.OB = p.r$ $\frac{1}{2}OA.OB = p.r$ (vì cùng bằng diện tích tam giác ABO)

Suy ra $r = \frac{OA.OB}{OA + OB + AB} = 2$ $r = \frac{OA.OB}{OA + OB + AB} = 2$

Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ $(2;2)$

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác $ABC$ có tọa độ trọng tâm $G\left( \frac{7}{3};\frac{4}{3} \right)$ $G\left( \frac{7}{3};\frac{4}{3} \right)$ và phương trình đường thẳng $AB:x - y + 1 = 0$. Biết rằng tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $I(2;1)$. Xác định tọa độ điểm C?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua I, M là trung điểm của AB và H là trực tâm tam giác ABC

Dễ dàng chứng minh được G cũng là trọng tâm giác CC’H

Suy ra $\overrightarrow{IH} = 3\overrightarrow{IG} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{H} - x_{I} = 3\left( x_{G} - x_{I} \right) \\ y_{H} - y_{I} = 3\left( y_{G} - y_{I} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\overrightarrow{IH} = 3\overrightarrow{IG} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{H} - x_{I} = 3\left( x_{G} - x_{I} \right) \\ y_{H} - y_{I} = 3\left( y_{G} - y_{I} \right) \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{H} - 2 = 3\left( \dfrac{7}{3} - 2 \right) \\ y_{H} - 1 = 3\left( \dfrac{4}{3} - 1 \right) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{H} = 3 \\ y_{H} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow H(3;2)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{H} - 2 = 3\left( \dfrac{7}{3} - 2 \right) \\ y_{H} - 1 = 3\left( \dfrac{4}{3} - 1 \right) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{H} = 3 \\ y_{H} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow H(3;2)$

Đườn thẳng MI vuông góc với AB nên ta có phương trình $x + y - 3 = 0$

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y - 3 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(1;2)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y - 3 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(1;2)$

$\overrightarrow{HC} = 2\overrightarrow{MI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} - x_{H} = 2\left( x_{I} - x_{M} \right) \\ y_{C} - y_{H} = 2\left( y_{I} - y_{M} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\overrightarrow{HC} = 2\overrightarrow{MI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} - x_{H} = 2\left( x_{I} - x_{M} \right) \\ y_{C} - y_{H} = 2\left( y_{I} - y_{M} \right) \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} - 3 = 2(2 - 1) \\ y_{C} - 2 = 2(1 - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 5 \\ y_{C} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow C(5;0)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} - 3 = 2(2 - 1) \\ y_{C} - 2 = 2(1 - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 5 \\ y_{C} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow C(5;0)$

Ví dụ: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho các điểm $A(6;2),B( - 2;8),C( - 2; - 4)$. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$?

Hướng dẫn giải

Có $AB = \sqrt{(6 + 2)^{2} + (2 - 8)^{2}} = 10,AC = \sqrt{(6 + 2)^{2} + (2 + 4)^{2}} = 10$ $AB = \sqrt{(6 + 2)^{2} + (2 - 8)^{2}} = 10,AC = \sqrt{(6 + 2)^{2} + (2 + 4)^{2}} = 10$, tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Gọi $M = ( - 2;2)$ là trung điểm của $BC$.

Phương trình $AM$ là: $y = 2$.

Phương trình $BC:x = - 2$, phương trình $AB$ :

$\frac{x - 6}{6 + 2} = \frac{y - 2}{2 - 8} \Leftrightarrow 3x + 4y - 26 = 0$ $\frac{x - 6}{6 + 2} = \frac{y - 2}{2 - 8} \Leftrightarrow 3x + 4y - 26 = 0$

Gọi $I = (x,y)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Ta có:

$\left. \ d(I,BC) = d(I,AB) \right.$ $\left. \ d(I,BC) = d(I,AB) \right.$

$\Leftrightarrow \frac{|x + 2|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{|3x + 4y - 26|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$ $\Leftrightarrow \frac{|x + 2|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{|3x + 4y - 26|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$

$\Leftrightarrow |3x + 4y - 26| = 5|x + 2| \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow |3x + 4y - 26| = 5|x + 2| \Leftrightarrow$ $|\ \begin{matrix} 4x + 2y - 8 = 0 \\ x - 2y + 18 = 0 \\ \end{matrix}$ $|\ \begin{matrix} 4x + 2y - 8 = 0 \\ x - 2y + 18 = 0 \\ \end{matrix}$

Thay tọa độ của $A$ và $C$ vào phương trình $4x + 2y - 8 = 0$ và xét tích của chúng, ta được:

:$(4.6 + 2.2 - 8)(4.( - 2) + 2.( - 4) - 8) < 0$ nên phương trình $BI$ là $4x + 2y - 8 = 0$.
Tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ 4x + 2y - 8 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ 4x + 2y - 8 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \right.$.

Vậy $I = (1;2)$
$IM = \sqrt{(1 + 2)^{2} + (2 - 2)^{2}} = 3$ $IM = \sqrt{(1 + 2)^{2} + (2 - 2)^{2}} = 3$.

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$.

---------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Đường tròn nội tiếp tam giác Toán lớp 10. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Toán lớp 10, Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Tải về

Chọn file muốn tải về: