Tính giới hạn của dãy số bằng định nghĩa, định lí về giới hạn dãy số

Trong chương Giới hạn dãy số Toán 11, việc tính giới hạn của dãy số bằng định nghĩa và các định lí là nền tảng quan trọng giúp học sinh hiểu sâu bản chất hội tụ – phân kỳ của dãy. Dạng toán này thường xuất hiện trong các chuyên đề có đáp án, yêu cầu nắm chắc khái niệm, định lí và cách vận dụng linh hoạt. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống phương pháp giải rõ ràng, giúp bạn học đúng trọng tâm và hiệu quả.

A. Phương pháp tính giới hạn bằng định nghĩa

• Để chứng minh \(\lim u_{n} = 0\) ta chứng minh \(\forall a > 0\) nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số \(n_{a}\) sao cho \(\left| u_{n} \right| < a\ \ \forall n > n_{a}\)
• Để chứng minh \(\lim u_{n} = L\) ta chứng minh \(\lim\left( u_{n} - L \right) = 0\)
• Để chứng minh \(\lim u_{n} = + \infty\) ta chứng minh \(\forall M > 0\) lớn tùy ý luôn tồn tại một số \(n_{M}\) sao cho \(u_{n} > M\ \ \forall n > n_{M}\)
• Để chứng minh \(\lim u_{n} = - \infty\) ta chứng minh \(\lim\left( - u_{n} \right) = + \infty\)
• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Nếu \(\lim u_{n} = a\) và \(\lim v_{n} = b\) thì:

\(\underset{}{\lim}\left(u_{n} + v_{n} \right) = a\ + b\)                  \(\underset{}{\lim}\left( u_{n} -v_{n} \right) = a\ - b\)

\(\lim\left(u_{n}.v_{n} \right) = a.b\)                        \(\lim\left( \frac{u_{n}}{v_{n}} \right) = \frac{a}{b}\) (nếu \(b \neq 0\)).

• Nếu \(\left\{ \begin{matrix} \lim u_{n} = a \\ u_{n} \geq 0,\ \forall n \end{matrix} \right.\) thì \(\left\{ \begin{matrix} \lim\sqrt{u_{n}} = \sqrt{a} \\ a \geq 0 \end{matrix} \right.\ .\)

B. Bài tập minh họa tính giới hạn dãy số

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\lim\frac{- 2n + 1}{n} = \lim\left( - 2 + \frac{1}{n} \right) = - 2\).

b) Ta có:

\(\lim\frac{\sqrt{16n^{2} - 2}}{n} = \lim\sqrt{\frac{16n^{2} - 2}{n^{2}}} = \sqrt{\lim\left( 16 - \frac{2}{n^{2}} \right)} = \sqrt{16} = 4\).

c) Ta có:

\(\lim\frac{4}{2n + 1} = \lim\frac{\frac{4}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{0}{2 + 0} = 0\).

d) Ta có:

\(\lim\frac{n^{2} - 2n + 3}{2n^{2}} = \lim\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n} + \frac{3}{2n^{2}} \right) = \frac{1}{2}\).

e) Ta có:

\(\lim\frac{1}{- 3n + 7} = \lim\frac{1}{n}.\frac{1}{\left( - 3 + \frac{7}{n} \right)} = 0.\frac{1}{- 3 + 0} = 0\).

f) Ta có:

\(\lim\frac{2}{(n + 1)(n - 2)} = \lim\frac{1}{n^{2}}.\frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)\left( 1 - \frac{2}{n} \right)} = 0.\frac{1}{(1 + 0)(1 - 0)} = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\lim\left( \frac{2n^{2} + n}{n^{2} + 4} - 2 \right) = \lim\frac{n - 8}{n^{2} + 4}\) vì \(0 \leq \left| \frac{n - 8}{n^{2} + 4} \right| \leq \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n}\).

Mà \(\lim\frac{1}{n} = 0\) nên suy ra \(\lim\left( \frac{2n^{2} + n}{n^{2} + 4} - 2 \right) = 0\) nên do đó \(\lim\frac{2n^{2} + n}{n^{2} + 4} = 2\)

b) Ta có:

\(\lim\left( \frac{6n + 2}{n + 5} - 6 \right) = \lim\frac{- 28}{n + 5}\). Vì \(\left| \frac{- 28}{n + 5} \right| < \frac{28}{n}\).

Mà \(\lim\frac{28}{n} = 0\) nên \(\lim\left( \frac{6n + 2}{n + 5} - 6 \right) = 0\) nên do đó \(\lim\frac{6n + 2}{n + 5} = 6\).

c) Ta có:

\(\lim\left( \frac{7^{n} - 2.8^{n}}{8^{n} + 3^{n}} + 2 \right) = \lim\frac{7^{n} + 2.3^{n}}{8^{n} + 3^{n}}\).

Vì \(0 < \left| \frac{7^{n} + 2.3^{n}}{8^{n} + 3^{n}} \right| < \frac{7^{n} + 2.3^{n}}{8^{n} + 3^{n}} < \frac{3.7^{n}}{8^{n}} = 3\left( \frac{7}{8} \right)^{n}\).

Mà nên \(\lim\left( \frac{7^{n} - 2.8^{n}}{8^{n} + 3^{n}} + 2 \right) = 0\) nên do đó \(\lim\frac{7^{n} - 2.8^{n}}{8^{n} + 3^{n}} = - 2\).

d) Ta có:

\(\lim\left( \frac{2.3^{n} + 5^{n}}{5^{n} + 3^{n}} - 1 \right) = \lim\frac{3^{n}}{5^{n} + 3^{n}}\).

Vì \(0 < \left| \frac{3^{n}}{5^{n} + 3^{n}} \right| < \frac{3^{n}}{5^{n} + 3^{n}} < \left( \frac{3}{5} \right)^{n}\).

Mà \(\lim\left( \frac{3}{5} \right)^{n} = 0\) nên \(\lim\left( \frac{2.3^{n} + 5^{n}}{5^{n} + 3^{n}} - 1 \right) = 0\) nên do đó \(\lim\frac{2.3^{n} + 5^{n}}{5^{n} + 3^{n}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Xét số \(a\) thoả mãn \(u_{n} - a = 3\left( u_{n - 1} - a \right),\forall n \geq 2 \Leftrightarrow u_{n} = 3u_{n - 1} - 2a,\forall n \geq 2\).

Suy ra \(- 2a = - 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2 \\ u_{n} - \frac{1}{2} = 3\left( u_{n - 1} - \frac{1}{2} \right),\forall n \geq 2 \end{matrix} \right.\).

Đặt \(v_{n} = u_{n} - \frac{1}{2} \Rightarrow v_{n - 1} = u_{n - 1} - \frac{1}{2},\forall n \geq 2\) và \(v_{1} = u_{1} - \frac{1}{2} = - 2 - \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}\).

Khi đó dãy \(\left( v_{n} \right)\) thoả mãn \(\left\{ \begin{matrix} v_{1} = - \frac{5}{2} \\ v_{n} = 3v_{n - 1},\forall n \geq 2 \end{matrix} \right.\).

Ta thấy \(\left( v_{n} \right)\) là cấp số nhân với \(v_{1} = - \frac{5}{2}\), công bội \(q = 3\), suy ra \(v_{n} = - \frac{5}{2} \cdot 3^{n - 1},\forall n \geq 1\)

Do đó \(u_{n} = v_{n} + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2} \cdot 3^{n - 1} + \frac{1}{2},\forall n \geq 1\).

Vậy \(\lim\frac{u_{n}}{3^{n}} = \lim\frac{-\frac{5}{2} \cdot 3^{n - 1} + \frac{1}{2}}{3^{n}}\)\(= \lim\left( -\frac{5}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3^{n}} \right) = - \frac{5}{6} \approx -0,8\).

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

------------------------------------------------------------------

Khi hiểu đúng định nghĩa giới hạn dãy số và vận dụng thành thạo các định lí liên quan, việc tính giới hạn sẽ trở nên logic và chính xác hơn. Hy vọng chuyên đề này sẽ hỗ trợ bạn học tốt Toán 11, đặc biệt trong quá trình luyện tập các dạng bài có đáp án.