Tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Toán 11 - có đáp án
Trong chương Ứng dụng đạo hàm Toán 11, dạng toán tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số xuất hiện khá phổ biến và thường gây nhầm lẫn nếu học sinh không nắm chắc mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến. Việc xác định đúng điều kiện để tồn tại tiếp tuyến là yếu tố then chốt giúp giải bài toán chính xác.
Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tính số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo phương pháp rõ ràng, giúp người học hiểu bản chất và áp dụng hiệu quả khi làm bài.
A. Bài tập minh họa tính số phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1. Trên đồ thị hàm số 
\(y = x^{4} -
2x^{2} + 1\) có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành?
Hướng dẫn giải
Gọi điểm \(M\left( x_{0};y_{0}
\right)\) thuộc đồ thị.
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên
\(y'\left( x_{0} \right) = 4x_{0}^{3} -
4x_{0} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = 0 \\
x_{0} = \pm 1
\end{matrix} \right.\).
Vậy có 3 tiếp tuyến.
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = x^{3} - 6x +
2\) . Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm \(A(1; - 3)\)?
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng\(\ y =
f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\) với \(\left\{ \begin{matrix}
f'\left( x_{0} \right) = 3x_{0}^{2} - 6 \\
y_{0} = x_{0}^{3} - 6x_{0} + 2
\end{matrix} \right.\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A(1; -
3)\) nên ta có:
\(- 3 = \left( 3x_{0}^{2} - 6
\right)\left( 1 - x_{0} \right) + x_{0}^{3} - 6x_{0} + 2\)
\(\Leftrightarrow - 2x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2}
- 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = - \frac{1}{2} \\
x_{0} = 1
\end{matrix} \right.\).
Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ được qua A.
Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số \(y = x^{3} - 3x
+ 2\ (C)\) . Trên đường thẳng \(d:y =
4\) có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị \((C)\)?
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng \(y =
f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\) với \(\left\{ \begin{matrix}
f'\left( x_{0} \right) = 3x_{0}^{2} - 3 \\
y_{0} = x_{0}^{3} - 3x_{0} + 2
\end{matrix} \right.\)
Gọi điểm \(M(a;4)\) thuộc đường thẳng \(d\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(M(a;4)\) nên ta có:
\(4 = \left( 3x_{0}^{2} - 3 \right)\left(
a - x_{0} \right) + x_{0}^{3} - 3x_{0} + 2\)
\(\Leftrightarrow \left( 3x_{0}^{2} - 3
\right)\left( a - x_{0} \right) + \left( x_{0} + 2 \right)\left( x_{0} -
1 \right)^{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( x_{0} - 1
\right)\left\lbrack - 2x_{0}^{2} + x_{0}(3a - 2) + 3a - 2 \right\rbrack
= 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x_{0} = 1 \\
f\left( x_{0} \right) = - 2x_{0}^{2} + x_{0}(3a - 2) + 3a - 2 = 0(1)
\end{matrix} \right.\)
Để kẻ được hai tiếp tuyến khi phương trình (1) có nghiệm kép hoặc có \(1\) nghiệm khác 1
Xét phương trình \(- 2x_{0}^{2} + x_{0}(3a
- 2) + 3a - 2 = 0\ \ (1)\) với \(\Delta
= (3a - 2)(3a + 4)\)
TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép khác 1
\(\Rightarrow \Delta = \left( {3a - 2} \right)\left( {3a + 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
a = \frac{2}{3} \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{2 - 3a}}{{ - 2}} = 0 \hfill \\
a = - \frac{4}{3} \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{2 - 3a}}{{ - 2}} = - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) thỏa mãn
TH2: Phương trình (1) có một nghiệm là 1
\(f(1) = 6a - 6 = 0 \Leftrightarrow a =
1\)
Vậy có 3 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = 3x - x^{3}\ \
(C)\). Tìm trên đường thẳng \(y = -
x\) các điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị \((C)\)?
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng \(y =
f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + y_{0}\) với \(\left\{ \begin{matrix}
f'\left( x_{0} \right) = - 3x_{0}^{2} + 3 \\
y_{0} = - x_{0}^{3} + 3x_{0}
\end{matrix} \right.\)
Gọi điểm \(M(a; - a)\) thuộc đường thẳng \(y = - x\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(M(a; -
a)\) nên ta có:
\(\begin{matrix}
- a = \left( - 3x_{0}^{2} + 3 \right)\left( a - x_{0} \right) -
x_{0}^{3} + 3x_{0} \\
\Leftrightarrow 2x^{3} - 3ax^{2} + 4a = 0\ \ \ (1)
\end{matrix}\)
Số tiếp tuyến tương ứng là số nghiệm của phương trình (1)
Xét hàm số \(y = 2x^{3} - 3ax^{2} +
4a\)
Để phương trình (1) có hai nghiệm khi \(y_{C}.y_{CT} = 0\)
Ta có:\(y' = 6x^{2} - 6ax = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0;y = 4a \\
x = a;y = - a^{3} + 4a
\end{matrix} \right.\)
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
4a\left( - a^{3} + 4a \right) = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow a = \pm 2 \Rightarrow M( -
2;2),N(2; - 2)\)
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Trên đồ thị hàm số \(y = x^{4} -
2x^{2}\) có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành?
Bài tập 2. Trên đồ thị hàm số \(y = - x^{3}
- x^{2}\) có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành?
Bài tập 3. Cho hàm số \(y = x^{3} -
6x\). Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm \(A(1; - 3)\)?
Bài tập 4. Cho hàm số \(y = 3x^{4} -
6x^{2}\). Hỏi có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm \(A(1; - 3)\)?
Bài tập 5. Cho đồ thị hàm số \(y = x^{3} -
3x\ \ \ (C)\). Trên đường thẳng \(d:y =
- 2\) có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến đồ thị \((C)\).
✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.
--------------------------------------------
Khi nắm vững phương pháp tính số phương trình tiếp tuyến, học sinh sẽ giải quyết nhanh và chính xác các bài toán liên quan đến đạo hàm và đồ thị hàm số. Việc hiểu rõ điều kiện tồn tại tiếp tuyến không chỉ giúp tránh sai sót mà còn nâng cao khả năng vận dụng kiến thức Toán 11 vào các dạng bài nâng cao.
