Cách tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước
Tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d
Trong các bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, dạng tìm m để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước yêu cầu học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và hệ số góc. Bài viết này trình bày cách tìm m để tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước theo hướng logic, giúp người học tiếp cận đúng bản chất và áp dụng hiệu quả khi làm bài.
Bài tập 1. Cho hàm số 
\(y =
\frac{5x^{3}}{6} + mx - \frac{2m}{3}\ (C)\). Xác định \(m\) để từ \(A\left( \frac{2}{3};0 \right)\) kẻ đến đồ thị hàm số \((C)\) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau:
A. \(m = - \frac{1}{2}\) hoặc \(m = 2\). B. \(m =
\frac{1}{2}\) hoặc \(m =
2\).
C. \(m = \frac{1}{2}\) hoặc \(m = - 2\). D. \(m
= - \frac{1}{2}\) hoặc \(m = -
2\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: \(y' = \frac{5x^{2}}{2} + m
\Rightarrow f'_{\left( x_{0} \right)} = \frac{5}{2}x_{0}^{2} +
m\)
Phương trình tiếp tuyến qua \(A\left(
\frac{2}{3};0 \right)\) nên:
\(0 = \left( \frac{5}{2}x_{0}^{2} + m\right)\left( \frac{2}{3} - x_{0} \right) + \frac{5x_{0}^{3}}{6} +mx_{0} - \frac{2m}{3}\)
\(- \frac{5x_{0}^{3}}{3} +
\frac{5x_{0}^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = 0 \\
x_{0} = 1
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(f'_{(0)}.f'_{(1)} = m\left( m
+ \frac{5}{2} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = - 2;m = -
\frac{1}{2}\).
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = - x^{3} +
3x^{2} + (2m - 1)x + 2m - 3\ \ \left( C_{m} \right)\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của đồ thị \(\left( C_{m} \right)\) vuông góc với đường thẳng\(\Delta:x - 2y - 4 = 0\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1 = - 3(x
- 1)^{2} + 2m + 2\)
\(\Rightarrow f'\left( x_{0} \right) =
- 3\left( x_{0} - 1 \right)^{2} + 2m + 2 \leq 2m + 2\)
Do đó hệ số góc lớn nhất là \(k = 2m +
2\)
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(k.\frac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow 2m + 2 = - 2
\Leftrightarrow m = - 2\).
Bài tập 3. Cho hàm số \(y = \frac{x + 1}{ax
- b}\ \ (C)\). Biết \(a;b\) là các giá trị sao cho tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(1;2)\) vuông góc với đường thẳng \(d:x + y - 4 = 0\). Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y'(1) = \frac{- b - a}{(a -
b)^{2}}.( - 1) = - 1\) do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:x + y - 4 = 0\)
Mà đồ thị đi qua điểm \(M(1;2)\) nên \(2 = \frac{2}{a - b} \Leftrightarrow a - b =
1\)
Vậy ta có hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
a + b = - 1 \\
a - b = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 0;b = - 1 \\
a + b = - 1
\end{matrix} \right.\).
Bài tập 4. Cho hàm số \(y = x^{3} - x^{2} +
1\ \ (C)\). Nếu điểm \(M\) thuộc \((C)\) có hoành độ nguyên cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \((C)\) tạo thành một tam giác vuông tại \(M\) thì có bao nhiêu điểm thỏa mãn?
Hướng dẫn giải
Gọi điểm \(M\left( a;a^{3} - a^{2} + 1
\right) \in (C)\)
Ta có: \(y' = 3x^{3} - 2x = 0
\Leftrightarrow\)
\(\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow A(0;1) \\
x = \frac{2}{3} \Rightarrow B\left( \frac{2}{3};\frac{23}{27} \right)
\end{matrix} \right.\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {MA} = \left( { - a; - {a^3} + {a^2}} \right) \hfill \\
\overrightarrow {MB} = \left( {\frac{2}{3} - a;\frac{{ - 4}}{{27}} - {a^3} + {a^2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\)\(\Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\)
\(\Leftrightarrow a\left( a - \frac{2}{3}
\right) + \left( - a^{3} + a^{2} \right)\left( \frac{- 4}{27} - a^{3} +
a^{2} \right) = 0\)
\(\Rightarrow a = 0\) thỏa mãn.
-----------------------------------------------------
Khi nắm chắc điều kiện vuông góc của tiếp tuyến, học sinh sẽ giải quyết nhanh các bài toán tìm m liên quan đến phương trình tiếp tuyến. Đây là dạng toán quan trọng giúp củng cố kiến thức về đạo hàm và đồ thị hàm số, đồng thời nâng cao kỹ năng giải bài tập hàm số ở mức vận dụng.
