Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Ứng dụng Phương trình lượng giác giải các bài toán thực tế

Bài tập thực tế lớp 11 Có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Hướng dẫn giải bài toán thực tế bằng lượng giác lớp 11

A. Kiến thức cần nhớ Phương trình lượng giác
B. Bài tập ứng dụng thực tế phương trình lượng giác
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Phương trình lượng giác không chỉ là kiến thức lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tế thú vị trong đời sống và học tập. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em học sinh lớp 11 hiểu rõ cách vận dụng phương trình lượng giác để giải các bài toán thực tế, đi kèm với ví dụ minh họa và đáp án chi tiết. Cùng khám phá ngay những kiến thức bổ ích này để học tốt môn Toán lớp 11 nhé!

A. Kiến thức cần nhớ Phương trình lượng giác

1. Phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

- Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ ”.

2. Phương trình $\sin x = m$ $\sin x = m$

a) Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

b) Nếu $|m| \leq 1$ $|m| \leq 1$ thì phương trình có nghiệm: $x = \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\ và\ x = \pi - \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z,}$ $x = \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\ và\ x = \pi - \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z,}$

với $\alpha$ $\alpha$ là góc thuộc $\left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ $\left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack$ sao cho $\sin\alpha = m$ $\sin\alpha = m$.
Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt:

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,k \in \mathbb{Z;}$ $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,k \in \mathbb{Z;}$

$\begin{matrix} \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,k \in \mathbb{Z} \\ \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,k \in \mathbb{Z} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,k \in \mathbb{Z} \\ \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,k \in \mathbb{Z} \end{matrix}$

b) $\sin u = \sin v \Leftrightarrow u = v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ $\sin u = \sin v \Leftrightarrow u = v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $u = \pi - v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ $u = \pi - v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$.
c) $\sin x = \sin a^{\circ} \Leftrightarrow x = a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ $\sin x = \sin a^{\circ} \Leftrightarrow x = a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x = 180^{\circ} - a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ $x = 180^{\circ} - a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$.

3. Phương trình $\cos x = m$ $\cos x = m$

a) Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
b) Nếu $|m| \leq 1$ $|m| \leq 1$ thì phương trình có nghiệm: $x = \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z\ }$ $x = \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z\ }$và $\ x = - \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z,}$ $\ x = - \alpha + k2\pi,k \in \mathbb{Z,}$

với $\alpha$ $\alpha$ là góc thuộc $\lbrack 0;\pi\rbrack$ $\lbrack 0;\pi\rbrack$ sao cho $\cos\alpha = m$ $\cos\alpha = m$.
Chú ý:

Một số trường hợp đặc biệt:

$\begin{matrix} \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi,k \in \mathbb{Z;} \\ \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi,k \in \mathbb{Z;} \\ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbb{Z} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi,k \in \mathbb{Z;} \\ \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi,k \in \mathbb{Z;} \\ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbb{Z} \end{matrix}$

b) $\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ $\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ hoặc $u = - v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ $u = - v + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$.
c) $\cos x = \cos a^{\circ} \Leftrightarrow x = a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ $\cos x = \cos a^{\circ} \Leftrightarrow x = a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x = - a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ $x = - a^{\circ} + k360^{\circ},k \in \mathbb{Z}$.

4. Phương trình $\tan x = m$ $\tan x = m$
Với mọi số thực $m$, phương trình tan $x = m$ có nghiệm $x = \alpha + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ $x = \alpha + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ với $\alpha$ $\alpha$ là góc thuộc $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ sao cho tan $\alpha = m$ $\alpha = m$.
Chú ý $:tanx = \tan a^{\circ} \Leftrightarrow x = a^{0} + k180^{\circ},k \in \mathbb{Z}$ $:tanx = \tan a^{\circ} \Leftrightarrow x = a^{0} + k180^{\circ},k \in \mathbb{Z}$.

5. Phương trình $\cot x = m$ $\cot x = m$
Với mọi số thực $m$, phương trình $\cot x = m$ $\cot x = m$ có nghiệm $x = \alpha + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ $x = \alpha + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ với $\alpha$ $\alpha$ là góc thuộc $(0;\pi)$ $(0;\pi)$ sao cho $\cot\alpha = m$ $\cot\alpha = m$.
Chú ý: $\cot x = \cot a^{0} \Leftrightarrow x = a^{0} + k180^{0},k \in \mathbb{Z}$ $\cot x = \cot a^{0} \Leftrightarrow x = a^{0} + k180^{0},k \in \mathbb{Z}$.

B. Bài tập ứng dụng thực tế phương trình lượng giác

Câu 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố$A$ở vĩ độ $40^{\circ}$ $40^{\circ}$Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

$d(t) = 3sin\left\lbrack \frac{\pi}{182}(t - 80) \right\rbrack + 12$ $d(t) = 3sin\left\lbrack \frac{\pi}{182}(t - 80) \right\rbrack + 12$ với $t\mathbb{\in Z}$ $t\mathbb{\in Z}$ và $0 < t \leq 365$ $0 < t \leq 365$

a) Thành phố $A$ có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Hướng dẫn giải

a) Để thành phố $A$ có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$3sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) + 12 = 12 \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) = 0$ $3sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) + 12 = 12 \Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t - 80) = k\pi(k \in Z) \Leftrightarrow t - 80 = 182k(k \in Z)$ $\Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t - 80) = k\pi(k \in Z) \Leftrightarrow t - 80 = 182k(k \in Z)$

$\Leftrightarrow t = 80 + 182k(k \in Z).$ $\Leftrightarrow t = 80 + 182k(k \in Z).$

Do $t \in Z$ $t \in Z$ và $0 < t \leq 365$ $0 < t \leq 365$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ 0 < 80 + 182k \leq 365 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ - 80 < 182k \leq 285 \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ 0 < 80 + 182k \leq 365 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ - 80 < 182k \leq 285 \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ - \frac{40}{91} < k \leq \frac{285}{182} \end{matrix} \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;1 \right\} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ - \frac{40}{91} < k \leq \frac{285}{182} \end{matrix} \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;1 \right\} \right.$

Với $k = 0$ thì t $= 80 + 182.0 = 80$;

Với $k = 1$ thì $t = 80 + 182 \cdot 1 = 262$ $t = 80 + 182 \cdot 1 = 262$.

Vậy thành phố $A$ có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

b) Để thành phố $A$ có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$3sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) + 12 = 9$ $3sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) + 12 = 9$ $\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) = - 1$ $\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t - 80) = - \frac{\pi}{2} + k2\pi(k \in Z)$ $\Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t - 80) = - \frac{\pi}{2} + k2\pi(k \in Z)$

$\Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k(k \in Z) \Leftrightarrow t = - 11 + 364k(k \in Z)$ $\Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k(k \in Z) \Leftrightarrow t = - 11 + 364k(k \in Z)$

Do $t \in \mathbb{Z};0 < t \leq 365$ $t \in \mathbb{Z};0 < t \leq 365$nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ 0 < - 11 + 364k \leq 365 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ 11 < 364k \leq 376 \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ 0 < - 11 + 364k \leq 365 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ 11 < 364k \leq 376 \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ \frac{11}{364} < k \leq \frac{94}{91} \end{matrix} \Leftrightarrow k = 1 \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ \frac{11}{364} < k \leq \frac{94}{91} \end{matrix} \Leftrightarrow k = 1 \right.$

Với $k = 1$ thì $t = - 11 + 364 \cdot 1 = 353$ $t = - 11 + 364 \cdot 1 = 353$.

Vậy thành phố $A$ có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

$3sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) + 12 = 15$ $3sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) + 12 = 15$ $\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) = 1$ $\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{182}(t - 80) \right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t - 80) = \frac{\pi}{2} + k2\pi;(k \in Z)$ $\Leftrightarrow \frac{\pi}{182}(t - 80) = \frac{\pi}{2} + k2\pi;(k \in Z)$

$\Leftrightarrow t - 80 = 91 + 364k(k \in Z) \Leftrightarrow t = 171 + 364k(k \in Z)$ $\Leftrightarrow t - 80 = 91 + 364k(k \in Z) \Leftrightarrow t = 171 + 364k(k \in Z)$

Do $\ t \in Z;0 < t \leq 365$ $\ t \in Z;0 < t \leq 365$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in Z} \\ 0 < 171 + 364k \leq 365 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in Z} \\ - 171 < 364k \leq 194 \end{matrix} \right.\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in Z} \\ 0 < 171 + 364k \leq 365 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in Z} \\ - 171 < 364k \leq 194 \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ - \frac{171}{364} < k \leq \frac{97}{182} \end{matrix} \Leftrightarrow k = 0 \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \in \mathbb{Z} \\ - \frac{171}{364} < k \leq \frac{97}{182} \end{matrix} \Leftrightarrow k = 0 \right.$

Với $k = 0$ thì $t = 171 + 364.0 = 171$.

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.

Câu 2: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 39). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách $h(\ m)$ $h(\ m)$ từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian $t(\ s)$ $t(\ s)$ (với $t \geq 0$ $t \geq 0$ ) bởi hệ thức $h = |d|$ với $d = 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack$ $d = 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack$, trong đó ta quy ước $d > 0$ khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và $d < 0$ trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian $t$ nào thì khoảng cách $h$ là $3\ m;0\ m$ $3\ m;0\ m$?

Hướng dẫn giải

Để khoảng cách $h( m)$ từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

$\ \left| 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack \right| = 3$ $\ \left| 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack \right| = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3cos\left\lbrack \dfrac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 3 \\3cos\left\lbrack \dfrac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = - 3\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3cos\left\lbrack \dfrac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 3 \\3cos\left\lbrack \dfrac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = - 3\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 1 \\ \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = - 1 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 1 \\ \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = - 1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{\pi}{3}(2t - 1) = k2\pi \\ \frac{\pi}{3}(2t - 1) = \pi + k2\pi \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2t - 1 = 6k \\ 2t - 1 = 3 + 6k \end{matrix} \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{\pi}{3}(2t - 1) = k2\pi \\ \frac{\pi}{3}(2t - 1) = \pi + k2\pi \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2t - 1 = 6k \\ 2t - 1 = 3 + 6k \end{matrix} \right.\ \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2t = 6k + 1 \\ 2t = 6k + 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3k + \frac{1}{2} \\ t = 3k + 2 \end{matrix}\left( k\mathbb{\in Z} \right) \right.\ \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2t = 6k + 1 \\ 2t = 6k + 4 \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3k + \frac{1}{2} \\ t = 3k + 2 \end{matrix}\left( k\mathbb{\in Z} \right) \right.\ \right.$

Do $t \geq 0,k \in Z$ $t \geq 0,k \in Z$ nên $k \in \left\{ 0;1;2;\ldots \right\}$ $k \in \left\{ 0;1;2;\ldots \right\}$

Khi đó $\left\lbrack \begin{matrix} t \in \left\{ \frac{1}{2};\frac{7}{2};\frac{13}{2};\ldots \right\} \\ t \in \left\{ 2;5;8;\ldots \right\} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t \in \left\{ \frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;\ldots \right\}$ $\left\lbrack \begin{matrix} t \in \left\{ \frac{1}{2};\frac{7}{2};\frac{13}{2};\ldots \right\} \\ t \in \left\{ 2;5;8;\ldots \right\} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow t \in \left\{ \frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;\ldots \right\}$.

Vậy $t \in \left( \frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;\ldots \right)$ $t \in \left( \frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{13}{2};8;\ldots \right)$ (giây) thì khoảng cách $h$ là $3\ m$ $3\ m$.

Để khoảng cách $h(m)$ từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

$\left| 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack \right| = 0 \Leftrightarrow 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 0$ $\left| 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack \right| = 0 \Leftrightarrow 3cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{3}(2t - 1) = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $\Leftrightarrow \cos\left\lbrack \frac{\pi}{3}(2t - 1) \right\rbrack = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{3}(2t - 1) = \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{3}(2t - 1) = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2t - 1 = \frac{3}{2} + 3k$ $\Leftrightarrow \frac{\pi}{3}(2t - 1) = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2t - 1 = \frac{3}{2} + 3k$

$\Leftrightarrow 2t = \frac{5}{2} + 3k \Leftrightarrow t = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}k$ $\Leftrightarrow 2t = \frac{5}{2} + 3k \Leftrightarrow t = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}k$

Do $t \geq 0, k \in \mathbb{Z}$ $t \geq 0, k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ 0;1;2;\ldots \right\},$ $k \in \left\{ 0;1;2;\ldots \right\},$khi đó $t \in \left\{ \frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\ldots \right\}$ $t \in \left\{ \frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\ldots \right\}$

Vậy $t \in \left\{ \frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\ldots \right\}$ $t \in \left\{ \frac{5}{4};\frac{11}{4};\frac{17}{4};\ldots \right\}$(giây) thì khoảng cách h là 0m.

Câu 3: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t) = 100 + 20sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right)$ $P(t) = 100 + 20sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right)$ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg( milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$tính theo giây.

a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120mmHg.

Hướng dẫn giải

a) Huyết áp là 100mHgm khi $P(t) = 100 \Leftrightarrow 100 + 20sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 100$ $P(t) = 100 \Leftrightarrow 100 + 20sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 100$

$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{3k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t = k\pi \Leftrightarrow t = \frac{3k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} \right)$

Xét $0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{3k}{7} < 1$ $0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{3k}{7} < 1$ $\Leftrightarrow 0 < k < \frac{7}{3} \Leftrightarrow k \in \left\{ 1;2 \right\}$ $\Leftrightarrow 0 < k < \frac{7}{3} \Leftrightarrow k \in \left\{ 1;2 \right\}$vì $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi $P(t) = 120$

$\Leftrightarrow 100 + 20sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 120 \Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 1$ $\Leftrightarrow 100 + 20sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 120 \Leftrightarrow \sin\left( \frac{7\pi}{3}t \right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{3}{14} + \frac{6k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{3}{14} + \frac{6k}{7}\left( k\mathbb{\in Z} \right)$

Xét $0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{3}{14} + \frac{6k}{7} < 1$ $0 < t < 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{3}{14} + \frac{6k}{7} < 1$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{11}{12} \Leftrightarrow k = 0$ $\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{11}{12} \Leftrightarrow k = 0$vì $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Câu 1: Một quả đạn pháo được bắn khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_{0} = 500\ m/s$ $v_{0} = 500\ m/s$ hợp với phương ngang một góc $\alpha$ $\alpha$. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{- g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha}x^{2} + x\tan\alpha$ $y = \frac{- g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha}x^{2} + x\tan\alpha$, ở đó $g = 9,8\ m/s^{2}$ $g = 9,8\ m/s^{2}$ là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn $\alpha$ $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn $\alpha$ $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri đặt khẩu pháo 22000m.

c) Tìm góc bắn $\alpha$ $\alpha$ đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Câu 2: Một quả bóng được ném xiên một góc $\alpha;\left( 0^{0} \leq \alpha \leq 90^{0} \right)$ $\alpha;\left( 0^{0} \leq \alpha \leq 90^{0} \right)$ từ mặt đất với tốc độ $v_{0}(\ m/s)$ $v_{0}(\ m/s)$. Khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu của quả bóng đến vị trí bóng chạm đất được tính bởi công thức $d = \frac{v_{0}^{2}sin2\alpha}{10}$ $d = \frac{v_{0}^{2}sin2\alpha}{10}$.

a) Tính khoảng cách $d$ khi bóng được ném đi với tốc độ ban đầu 10m/s và góc ném là 30⁰ so với phương ngang.

b) Nếu tốc độ ban đầu của bóng là 10m/s thì cần ném bóng với góc bao nhiêu độ để khoảng cách $d$ là 5m?

Câu 3: Chiều cao $h( m)$ của một cabin trên vòng quay vào thời điểm $t$ giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h(t) = 30 + 20sin\left( \frac{\pi}{25}t + \frac{\pi}{3} \right)$ $h(t) = 30 + 20sin\left( \frac{\pi}{25}t + \frac{\pi}{3} \right)$.

a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao $40\ m$ $40\ m$ lần đầu tiên?

Đáp án bài tập tự rèn luyện giải phương trình Toán 11

Bài tập 1

Đặt $\sqrt[3]{{1 - x}} = t \Leftrightarrow x = 1 - {t^3} \Rightarrow 2{t^3} - 6t + 1 = 0$ $\sqrt[3]{{1 - x}} = t \Leftrightarrow x = 1 - {t^3} \Rightarrow 2{t^3} - 6t + 1 = 0$.

Xét hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$.

Ta có:

=> Tồn tại 3 số $t_1;t_2$ và $t_3$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $\left( { - 2; - 1} \right),\left( {0;1} \right)$ $\left( { - 2; - 1} \right),\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$ $\left( {1;2} \right)$ sao cho $f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) = f\left( {{t_3}} \right) = 0$ $f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) = f\left( {{t_3}} \right) = 0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f\left( t \right) = 0$ $f\left( t \right) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ứng với mỗi giá trị $t_1;t_2$ và $t_3$ ta tìm được duy nhất một giá trị x thỏa mãn $x = 1 - {t^3}$ $x = 1 - {t^3}$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên phương trình ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

-------------------------------------

FAQ – Ứng dụng Phương trình lượng giác giải các bài toán thực tế | Bài tập thực tế lớp 11 có đáp án

1. Ứng dụng phương trình lượng giác trong bài toán thực tế là gì?

Đây là dạng toán sử dụng phương trình lượng giác để mô tả và giải quyết các tình huống thực tế như dao động điều hòa, chuyển động tuần hoàn, đo chiều cao, xác định khoảng cách, góc quay hoặc các hiện tượng có tính chu kỳ.

2. Muốn giải bài toán thực tế bằng phương trình lượng giác cần thực hiện những bước nào?

Thông thường, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm, thiết lập mối quan hệ toán học, lập phương trình lượng giác phù hợp, giải phương trình và kiểm tra tính hợp lý của nghiệm trong bối cảnh thực tế.

3. Những dạng bài thực tế nào thường sử dụng phương trình lượng giác?

Các dạng bài phổ biến gồm bài toán về dao động điều hòa, chuyển động của bánh xe hoặc con lắc, thủy triều, dòng điện xoay chiều, góc nâng – góc hạ, đo khoảng cách gián tiếp và các bài toán liên quan đến hiện tượng tuần hoàn.

4. Vì sao cần kiểm tra điều kiện của nghiệm sau khi giải phương trình lượng giác?

Trong bài toán thực tế, không phải mọi nghiệm toán học đều phù hợp với điều kiện của đề bài. Sau khi giải phương trình, học sinh cần đối chiếu với các ràng buộc về thời gian, khoảng cách, góc hoặc chu kỳ để chọn nghiệm đúng.

5. Bài tập ứng dụng phương trình lượng giác lớp 11 thường có mức độ nào?

Các bài tập được xây dựng theo nhiều cấp độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng và vận dụng cao. Ngoài các bài toán cơ bản, học sinh còn gặp những bài toán mô hình hóa dữ liệu hoặc kết hợp với hình học và vật lý.

----------------------------------

Hy vọng qua bài viết “Ứng dụng phương trình lượng giác giải các bài toán thực tế”, các em học sinh lớp 11 sẽ hiểu rõ hơn về cách áp dụng kiến thức toán học vào giải quyết các tình huống thực tế. Đừng quên luyện tập thêm các bài toán tương tự để nắm chắc kiến thức và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng. Nếu thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ và theo dõi thêm nhiều nội dung học tập hay tại đây nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: