VnDoc.com

Chuyên đề Phương trình lượng giác dạng đối xứng

Cách giải phương trình lượng giác Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình lượng giác đối xứng

Phương trình lượng giác dạng đối xứng là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán lớp 11, đòi hỏi học sinh nhận diện được cấu trúc đặc biệt của các biểu thức lượng giác đối xứng. Đây là dạng bài giúp phát triển tư duy biến đổi linh hoạt và khả năng áp dụng đồng thời nhiều công thức lượng giác. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày đầy đủ chuyên đề phương trình lượng giác đối xứng, bao gồm lý thuyết tổng quát, các phương pháp giải phổ biến, ví dụ minh họa và bài tập thực hành. Học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận và nâng cao kỹ năng giải toán với các dạng bài đặc trưng này.

A. Bài tập Phương trình lượng giác dạng đối xứng

Dạng 1. Không có điều kiện của nghiệm

Câu 1. Phương trình $\sin x + \cos x = 1 -\frac{1}{2}\sin2x$ $\sin x + \cos x = 1 -\frac{1}{2}\sin2x$ có nghiệm là:

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = k\pi \\ \end{matrix} \right.$. B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.$.

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} \\ x = k\frac{\pi}{4} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2} \\ x = k\frac{\pi}{4} \\ \end{matrix} \right.$. D. $\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi \\x = k\dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{8} + k\pi \\x = k\dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} \right.$.

Câu 2. Giải phương trình $\sin x\cos x + 2\left( \sin x + \cos x \right) = 2$ $\sin x\cos x + 2\left( \sin x + \cos x \right) = 2$.

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$ B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$

C. $\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x = k\pi \\\end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$ $\left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x = k\pi \\\end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x = k\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x = k\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.$

Câu 3. Cho phương trình $3\sqrt{2}\left( \sin x + \cos x \right) + 2sin2x + 4 = 0$ $3\sqrt{2}\left( \sin x + \cos x \right) + 2sin2x + 4 = 0$. Đặt $t = \sin x + \cos x$ $t = \sin x + \cos x$, ta được phương trình nào dưới đây?

A. $2t^{2} + 3\sqrt{2}\ t + 2 = 0.$ $2t^{2} + 3\sqrt{2}\ t + 2 = 0.$ B. $4t^{2} + 3\sqrt{2}\ t + 4 = 0.$ $4t^{2} + 3\sqrt{2}\ t + 4 = 0.$

C. $2t^{2} + 3\sqrt{2}\ t - 2 = 0.$ $2t^{2} + 3\sqrt{2}\ t - 2 = 0.$ D. $4t^{2} + 3\sqrt{2}\ t - 4 = 0.$ $4t^{2} + 3\sqrt{2}\ t - 4 = 0.$

Câu 4. Cho phương trình $5sin2x + \sin x + \cos x + 6 = 0$ $5sin2x + \sin x + \cos x + 6 = 0$. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A. $1 + tan^{2}x = 0.$ $1 + tan^{2}x = 0.$ B. $\cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$ $\cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

C. $\tan x = 1.$ $\tan x = 1.$ D. $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Câu 5. Phương trình $2sin2x - 3\sqrt{6}|sinx + \cos x| + 8 = 0$ $2sin2x - 3\sqrt{6}|sinx + \cos x| + 8 = 0$ có nghiệm là:

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$. B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$.

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$. D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = 5\pi + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = 5\pi + k\pi \\ \end{matrix} \right.$.

Câu 6. Từ phương trình $\left( 1 + \sqrt{3} \right)\left( \cos x + \sin x \right) - 2sinx\cos x - \sqrt{3} - 1 = 0$ $\left( 1 + \sqrt{3} \right)\left( \cos x + \sin x \right) - 2sinx\cos x - \sqrt{3} - 1 = 0$, nếu ta đặt $t = \cos x + \sin x$ $t = \cos x + \sin x$ thì giá trị của $t$ nhận được là:

A. $t = \sqrt{3}$ $t = \sqrt{3}$. B. $t = 1$ hoặc $t = \sqrt{2}$ $t = \sqrt{2}$.

C. $t = 1$ hoặc $t = \sqrt{3}$ $t = \sqrt{3}$. D. $t = 1$.

Câu 7. Phương trình $\sin^{3}x + \cos^{3}x =1 - \frac{1}{2}\sin2x$ $\sin^{3}x + \cos^{3}x =1 - \frac{1}{2}\sin2x$ có các nghiệm là:

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\ x = (2k + 1)\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \\ x = (2k + 1)\pi \\ \end{matrix} \right.$. B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = k\pi \\ \end{matrix} \right.$.

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \\ \end{matrix} \right.$. D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \\ x = k\frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \\ x = k\frac{\pi}{2} \\ \end{matrix} \right.$.

Dạng 2. Có điều kiện của nghiệm

Câu 8. Cho $x_{0}$ $x_{0}$ là nghiệm của phương trình $\sin x\cos x + 2\left( \sin x + \cos x \right) = 2$ $\sin x\cos x + 2\left( \sin x + \cos x \right) = 2$ thì giá trị của $P = \sin\left( x_{0} + \frac{\pi}{4} \right)$ $P = \sin\left( x_{0} + \frac{\pi}{4} \right)$ là

A. $P = \frac{1}{2}$ $P = \frac{1}{2}$. B. $P = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $P = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. C. $P = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $P = \frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $P = 1$.

Câu 9. Nếu $\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 + \cos x \right) = 2$ $\left( 1 + \sin x \right)\left( 1 + \cos x \right) = 2$ thì $\cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ $\cos\left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ B. $- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ C. $- 1.$ D. $1.$

Câu 10. Cho $x$ thỏa mãn $6\left( \sin x - \cos x \right) + \sin x\cos x + 6 = 0$ $6\left( \sin x - \cos x \right) + \sin x\cos x + 6 = 0$. Tính $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right).$ $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right).$

A. $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = - 1.$ $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = - 1.$ B. $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1.$ $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 1.$

C. $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$ $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$ D. $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{1}{\sqrt{2}}.$ $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Câu 11. Từ phương trình $\left( 1 +\sqrt{5} \right)\left( \sin x - \cos x \right) + \sin2x - 1 - \sqrt{5} =0$ $\left( 1 +\sqrt{5} \right)\left( \sin x - \cos x \right) + \sin2x - 1 - \sqrt{5} =0$ ta tìm được $\sin\left( x -\frac{\pi}{4} \right)$ $\sin\left( x -\frac{\pi}{4} \right)$ có giá trị bằng:

A. $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ $- \frac{\sqrt{3}}{2}$. B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$. C. $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ $- \frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 12. Từ phương trình $\sqrt{2}\left( \sin x + \cos x \right) = \tan x + \cot x$ $\sqrt{2}\left( \sin x + \cos x \right) = \tan x + \cot x$, ta tìm được $\cos x$ $\cos x$ có giá trị bằng:

A. $1.$ B. $- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ D. $- \ 1.$ $- \ 1.$

Câu 13. Nếu $\left( 1 + \sqrt{5} \right)\left( \sin x - \cos x \right) + sin2x - 1 - \sqrt{5} = 0$ $\left( 1 + \sqrt{5} \right)\left( \sin x - \cos x \right) + sin2x - 1 - \sqrt{5} = 0$ thì $\sin x$ $\sin x$ bằng bao nhiêu?

A. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. B. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ hoặc $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $\sin x = - 1$ $\sin x = - 1$ hoặc $\sin x = 0$ $\sin x = 0$. D. $\sin x = 0$ $\sin x = 0$ hoặc $\sin x = 1$ $\sin x = 1$.

Câu 14. Cho $x$ thỏa mãn phương trình $sin2x + \sin x - \cos x = 1$ $sin2x + \sin x - \cos x = 1$. Tính $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right).$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right).$

A. $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ hoặc $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$.

B. $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ hoặc $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) =- \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) =- \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

D. $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ hoặc $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 15. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}sin2x$ $\sin x + \cos x = 1 - \frac{1}{2}sin2x$ là:

A. $- \ \pi.$ $- \ \pi.$ B. $- \frac{3\pi}{2}.$ $- \frac{3\pi}{2}.$ C. $- \ 2\pi.$ $- \ 2\pi.$ D. $- \frac{\pi}{2}.$ $- \frac{\pi}{2}.$

Câu 16. Tổng các nghiệm của phương trình $\sin x\cos x + \left| \sin x + \cos x \right| = 1$ $\sin x\cos x + \left| \sin x + \cos x \right| = 1$ trên khoảng $(0;2\pi)$ $(0;2\pi)$ là:

A. $4\pi$ $4\pi$. B. $3\pi$ $3\pi$. C. $\pi$ $\pi$. D. $2\pi$ $2\pi$.

Câu 17. Cho $x_{0}$ $x_{0}$ là nghiệm của phương trình $\sin x\cos x + 2\left( \sin x + \cos x \right) = 2$ $\sin x\cos x + 2\left( \sin x + \cos x \right) = 2$ thì giá trị của $P = 3 + sin2x_{0}$ $P = 3 + sin2x_{0}$ là

A. $P = 3$. B. $P = 2$. C. $P = 0$. D. $P = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ $P = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 18. Phương trình $\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 + \cos x} = m$ $\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 + \cos x} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi

A. $\sqrt{2} \leq m \leq 2$ $\sqrt{2} \leq m \leq 2$. B. $1 \leq m \leq \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ $1 \leq m \leq \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.

C. $1 \leq m \leq 2$ $1 \leq m \leq 2$. D. $0 \leq m \leq 1$ $0 \leq m \leq 1$.

Câu 19. Tổng các nghiệm của phương trình $\sin x\cos x + \left| \sin x + \cos x \right| = 1$ $\sin x\cos x + \left| \sin x + \cos x \right| = 1$ trên khoảng $(0;2\pi)$ $(0;2\pi)$ là:

A. $2\pi$ $2\pi$. B. $4\pi$ $4\pi$. C. $3\pi$ $3\pi$. D. $\pi$ $\pi$.

Câu 20. Từ phương trình $1 + sin^{3}x + cos^{3}x = \frac{3}{2}sin2x$ $1 + sin^{3}x + cos^{3}x = \frac{3}{2}sin2x$, ta tìm được $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ $\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ có giá trị bằng:

A. $\pm \ \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $\pm \ \frac{\sqrt{2}}{2}.$ B. $- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $- \frac{\sqrt{2}}{2}.$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ D. $1.$

Câu 21. Cho $x$ thỏa mãn $2sin2x - 3\sqrt{6}\left| \sin x + \cos x \right| + 8 = 0$ $2sin2x - 3\sqrt{6}\left| \sin x + \cos x \right| + 8 = 0$. Tính $sin2x.$

A. $sin2x = - \frac{1}{2}.$ $sin2x = - \frac{1}{2}.$ B. $sin2x = - \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $sin2x = - \frac{\sqrt{2}}{2}.$

C. $sin2x = \frac{1}{2}.$ $sin2x = \frac{1}{2}.$ D. $sin2x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$ $sin2x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

B. Đáp án Chuyên đề Phương trình lượng giác đối xứng

Dạng 1. Không có điều kiện của nghiệm

Câu 1. Chọn B

Đặt $t = \sin x + \cos x\ \ \ \left( |t| \leq \sqrt{2} \right)$ $t = \sin x + \cos x\ \ \ \left( |t| \leq \sqrt{2} \right)$ $\Rightarrow \sin2x = \frac{1 - t^{2}}{2}$ $\Rightarrow \sin2x = \frac{1 - t^{2}}{2}$

$\Rightarrow t = 1 - \frac{1}{2}.\frac{1- t^2}{2} \Leftrightarrow t^{2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}t = 1 \\t = 3\ \ (loai) \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow t = 1 - \frac{1}{2}.\frac{1- t^2}{2} \Leftrightarrow t^{2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}t = 1 \\t = 3\ \ (loai) \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \sin x + \cos x = 1\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) =1$ $\Rightarrow \sin x + \cos x = 1\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) =1$

$\Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\frac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.$

Câu 2. Chọn A

Đặt $t = \sin x + \cos x =\sqrt{2}\sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$ $t = \sin x + \cos x =\sqrt{2}\sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.

Vì $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \in \lbrack - \ 1;1\rbrack \Rightarrow t \in \left\lbrack - \ \sqrt{2};\sqrt{2} \right\rbrack$ $\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \in \lbrack - \ 1;1\rbrack \Rightarrow t \in \left\lbrack - \ \sqrt{2};\sqrt{2} \right\rbrack$.

Ta có $t^{2} = \left( \sin x + \cos x \right)^{2} = sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinx\cos x$ $t^{2} = \left( \sin x + \cos x \right)^{2} = sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinx\cos x$

$\Rightarrow \sin x\cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$ $\Rightarrow \sin x\cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $\frac{t^{2} - 1}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow t^{2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 5(L) \\ \end{matrix} \right.\ .$ $\frac{t^{2} - 1}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow t^{2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 5(L) \\ \end{matrix} \right.\ .$

Với $t = 1$, ta được

$\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\frac{\pi}{4}$ $\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin\frac{\pi}{4}$.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \ k\mathbb{\in Z}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \ k\mathbb{\in Z}$.

Câu 3. Chọn A

Đặt $t = \sin x + \cos x \Rightarrow sin2x = t^{2} - 1.$ $t = \sin x + \cos x \Rightarrow sin2x = t^{2} - 1.$

Phương trình đã cho trở thành $3\sqrt{2}\ t + 2\left( t^{2} - 1 \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow 2t^{2} + 3\sqrt{2}\ t + 2 = 0.$ $3\sqrt{2}\ t + 2\left( t^{2} - 1 \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow 2t^{2} + 3\sqrt{2}\ t + 2 = 0.$

Câu 4. Chọn A

Đặt $t = \sin x + \cos x =\sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ $t = \sin x + \cos x =\sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$.

Điều kiện $- \ \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}.$ $- \ \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}.$

Ta có $t^{2} = \left( \sin x + \cos x \right)^{2} = sin^{2}x + cos^{2}x + 2.sinx.cosx$ $t^{2} = \left( \sin x + \cos x \right)^{2} = sin^{2}x + cos^{2}x + 2.sinx.cosx$

$\Rightarrow sin2x = t^{2} - 1.$ $\Rightarrow sin2x = t^{2} - 1.$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành $5\left( t^{2} - 1 \right) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5t^{2} + t + 1 = 0$ $5\left( t^{2} - 1 \right) + t + 6 = 0 \Leftrightarrow 5t^{2} + t + 1 = 0$: vô nghiệm.

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình $1 + tan^{2}x = 0.$ $1 + tan^{2}x = 0.$

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

------------------------------------------------------------------

Qua bài viết chuyên sâu về phương trình lượng giác dạng đối xứng, bạn đã được trang bị một nền tảng kiến thức vững chắc để giải quyết các bài toán lượng giác phức tạp trong chương trình Toán 11. Nhận diện biểu thức đối xứng, vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và công thức lượng giác cơ bản sẽ là kỹ năng quan trọng giúp bạn rút gọn và giải nhanh phương trình.

Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài toán phân loại từ dễ đến khó sẽ hỗ trợ bạn củng cố kiến thức và nâng cao tư duy biến đổi đại số. Đây không chỉ là dạng toán thường xuất hiện trong kiểm tra học kỳ mà còn có mặt trong các đề thi thử, đề thi THPT với mức độ vận dụng và vận dụng cao.

Nếu bạn đang tìm kiếm thêm tài liệu bổ trợ, hãy khám phá thêm các chuyên đề lượng giác khác trong mục Toán lớp 11 để xây dựng một lộ trình học bài bản, giúp bạn tự tin trước mọi kỳ thi quan trọng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: