Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Trong hình học không gian Toán 11, dạng toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc giữ vai trò then chốt khi giải các bài toán về góc và quan hệ không gian. Nếu không nắm vững tiêu chí và cách lập luận, học sinh rất dễ nhầm lẫn giữa các mối quan hệ song song – vuông góc.

Bài viết này sẽ trình bày cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc một cách rõ ràng, giúp người học hiểu đúng bản chất và áp dụng hiệu quả trong quá trình làm bài.

A. Hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh:

• Một đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) hoặc ngược lại, một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng \((Q)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P).\)

• Góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng \(90^{0}\).

B. Bài tập minh họa chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Do \(SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB\bot BC.\)

Do đó \(BC\bot(SAB) \Rightarrow (SBC)\bot(SAB).\)

b) Ta có: \(BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH\) mà \(AH\bot SC\)

\(\Rightarrow AH\bot(SBC) \Rightarrow (AHK)\bot(SBC).\)

c) Ta có: \(AH\bot(SBC) \Rightarrow AH\bot SC\)

Mặt khác \(AK\bot SC \Rightarrow SC\bot(AHK)\) hay \(SC\bot(AKD).\)

Suy ra \(AD\bot SC\) mà \(SA\bot AD \Rightarrow AD\bot(SAC).\)

Do vậy \((SAD)\bot(SAC).\)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} BE\bot CD \\ AB\bot CD \end{matrix} \right.\ \Rightarrow CD\bot(ABE)\) mà \(CD \subset (ACD)\)

\(\Rightarrow (ADC)\bot(ABE).\)

Lại có: \(\left\{ \begin{matrix} DF\bot BC \\ DF\bot AB \end{matrix} \right.\ \Rightarrow DF\bot(ABC) \Rightarrow DF\bot AC.\)

Mặt khác: \(DK\bot AC \Rightarrow AC\bot(DKF)\)

\(\Rightarrow (ACD)\bot(DFK).\)

b) Do \(CD\bot(ABE) \Rightarrow CD\bot AE.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} (ACD)\bot(ABE) \\ (ACD)\bot(DFK) \\ OH = (ABE) \cap (DFK) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow OH\bot(ACD).\)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Do \(SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD.\)

Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD.\)

Do đó \(BD\bot(SAC) \Rightarrow (SBD)\bot(SAC).\)

b) Dựng \(OH\bot SC\).

Do \(BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SC\) suy ra \(SC\bot(DHB).\)

Như vậy \(\widehat{DHB}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((SBC).\)

Tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\) nên \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt{3}.\)

Dựng \(AK\bot SC\)

\(\Rightarrow AK = \frac{SA.OC}{\sqrt{SA^{2} + OC^{2}}} = a\)

\(\Rightarrow OH = \frac{AK}{2} = \frac{a}{2}.\)

Tam giác \(DHB\) có đường trung tuyến \(HO = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow \Delta DHB\) vuông tại \(H\) hay \(\widehat{DHB} = 90^{o}.\)

Do đó \((SCD)\bot(SBC).\)

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, biết \(AB = a,\ \ AD = a\sqrt{2},\ \ SA = a\) và \(SA\bot(ABCD).\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD,\) \(I\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \((SAC)\bot(SMB).\)

Bài tập 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a,\) tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\) Biết \(SA = SB = a\sqrt{2}.\)

a) Chứng minh rằng \(SH\bot(ABCD).\)

b) Chứng minh tam giác \(SBC\) vuông.

c) Chứng minh \((SAD)\bot(SAB);\ \ (SAD)\bot(SBC).\)

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

---------------------------------------

Việc nắm chắc phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc sẽ giúp học sinh xử lý chính xác nhiều dạng bài toán hình học không gian ở chương trình Toán 11. Khi hiểu rõ bản chất của quan hệ vuông góc giữa các mặt phẳng, người học sẽ chủ động hơn trong việc phân tích và giải các bài toán nâng cao.