Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao

Trong các bài toán Toán 11, dạng tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao thường gây khó khăn do phải xác định đúng mặt phẳng và đường vuông góc liên quan. Nếu không hiểu rõ bản chất hình học, học sinh rất dễ chọn sai góc cần tính. Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao một cách rõ ràng, kèm bài tập có đáp án, giúp người học tiếp cận bài toán đúng hướng và giải quyết hiệu quả.

A. Cách xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao

Hình vẽ minh họa:

Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng \((SHA)\) với \((SHA)\bot(ABH)\).

Dựng \(BK\bot AH\), có \(BK\bot SH \Rightarrow BK\bot(SHA)\).

Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng \(( S A H )\).

Vậy \(\widehat{\left( SB;(SAH) \right)} = \widehat{(SB;SK)} = \widehat{BSK}\).

B. Bài tập minh họa tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy chứa đường cao

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Do \(SA\bot(ABCD) \Rightarrow\widehat{\left( SC;(ABCD) \right)} = \widehat{SCA} =60^0\).

Lại có: \(AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2a \Rightarrow SA = ACtan60{^\circ} = 2a\sqrt{3}\).

Khi đó \(\left\{ \begin{matrix} SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{13} \\ SD = \sqrt{SA^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{15} \\ SC = \sqrt{SA^{2} + AC^{2}} = 4a \end{matrix} \right.\)

Do \(\left\{ \begin{matrix} CB\bot SA \\ CB\bot AB \end{matrix} \right.\ \Rightarrow CB\bot(SAB) \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAB) \right)} = \widehat{CSB}\).

Mặt khác \(\cos\widehat{CSB} = \frac{SB}{SC} = \frac{\sqrt{13}}{4}\).

Tương tự \(CD\bot(SAD) \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAD) \right)} = \widehat{CSD}\) và \(\cos\widehat{CSD} = \frac{SD}{SC} = \frac{\sqrt{15}}{4}\).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Ta có: \(AC\bot BD\) tại \(O\). Khi đó \(OA = OC,OB = OD\).

Xét tam giác vuông \(OAB\) ta có: \(\sin\widehat{OAB} = \frac{OB}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat{OAB} = 60{^\circ} \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh \(a\).

Mặt khác \(SA\bot(ABCD) \Rightarrow\widehat{\left( SC;(ABCD) \right)} = \widehat{SCA} =60^0\).

Suy ra \(SA = ACtan60{^\circ} = a\sqrt{3}\).

Dựng \(CH\bot AB \Rightarrow CH\bot(SAB) \Rightarrow \widehat{\left( SC;(SAB) \right)} = \widehat{CSH}\).

Do \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Ta có: \(CH = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \tan\widehat{CSH} = \frac{CH}{SH}\) trong đó \(SH = \sqrt{SA^{2} + AH^2} =\frac{a\sqrt{13}}{2}\).

Do đó \(\tan\widehat{CSH} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} DO\bot AC \\ DO\bot SA \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \widehat{\left( SD;(SAC) \right)} = \widehat{DSO}\) và \(\tan\widehat{DSO} = \frac{OD}{SO}\).

Trong đó \(OD = \frac{a\sqrt{3}}{2};SO = \sqrt{SA^{2} + OA^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}\)

\(\Rightarrow \tan\widehat{DSO} = \frac{\sqrt{39}}{13}\).

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD\), hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow{HB} = - 2\overrightarrow{HA}\). Biết \(AB = 3,AD = 6\) và \(SH = 2\). Tính tan góc tạo bởi:

a) \(SA\) và mặt phẳng \((SHD)\).              b) \(SB\) và mặt phẳng \((SHC)\).

Bài tập 2: Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = 2a,AD = 2a\sqrt{3}\), hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) trùng với tâm \(O\) của hình chữ nhật \(ABCD,\)biết cạnh bên \(AA'\) tạo với đáy một góc \(60{^\circ}\). Tính cosin góc tạo với \(A'C\) và mặt phẳng \((A'BD)\).

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

-------------------------------------

Việc nắm chắc phương pháp xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao sẽ giúp học sinh tránh nhầm lẫn khi giải các bài toán không gian. Thông qua hệ thống bài tập Toán 11 có đáp án, người học có thể rèn luyện kỹ năng xác định góc, củng cố kiến thức và nâng cao khả năng vận dụng trong các dạng bài tương tự.