VnDoc.com

Chứng minh Dãy số là dãy tăng: Cách làm chuẩn nhất

Bài toán chứng minh dãy số tăng toán 11 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán chứng minh dãy số tăng Toán 11 có đáp án

Trong chương Dãy số Toán 11, dạng toán chứng minh dãy số là dãy tăng luôn xuất hiện với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Nếu không nắm rõ bản chất và trình tự lập luận, học sinh rất dễ mắc sai sót khi biến đổi hoặc so sánh các số hạng.

Bài viết này trình bày cách làm chuẩn nhất để chứng minh dãy số tăng, kèm theo bài toán minh họa có đáp án, giúp người học hiểu rõ phương pháp và áp dụng hiệu quả khi làm bài.

A. Cách chứng minh dãy số tăng

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$:

$\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng $\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ $\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} > 0,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} > 0,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $\Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}\ \ \ \ \left( u_{n} > 0 \right)$ $\Leftrightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} > 1,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}\ \ \ \ \left( u_{n} > 0 \right)$

B. Bài tập minh họa chứng minh dãy số là dãy tăng

Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau, biết:

a) $u_{n} = 2n + 3$ $u_{n} = 2n + 3$ b) $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$ c) $u_{n} = 2n^{2} + 5$ $u_{n} = 2n^{2} + 5$

d) $u_{n} = \frac{2n^{2} - 1}{n^{2} + 1}$ $u_{n} = \frac{2n^{2} - 1}{n^{2} + 1}$ e) $u_{n} = \frac{3n^{2} - 2n + 1}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{3n^{2} - 2n + 1}{n + 1}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$u_{n} = 2n + 3;u_{n + 1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5$ $u_{n} = 2n + 3;u_{n + 1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = (2n + 5) - (2n + 3) > 0$ $\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = (2n + 5) - (2n + 3) > 0$

Suy ra $u_{n + 1} > u_{n} \Rightarrow$ $u_{n + 1} > u_{n} \Rightarrow$dãy số đã cho là dãy tăng.

b) Ta có: $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1}$

Khi đó: $u_{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 2}$ $u_{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 2}$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \left( 1 - \frac{2}{n + 2} \right) - \left( 1 - \frac{2}{n + 1} \right) = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} > 0$ $\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \left( 1 - \frac{2}{n + 2} \right) - \left( 1 - \frac{2}{n + 1} \right) = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} > 0$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ $\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$.

Vậy dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng.

c) Ta có: $u_{n} = 2n^{2} + 5 \Rightarrow u_{n + 1} = 2(n + 1)^{2} + 5$ $u_{n} = 2n^{2} + 5 \Rightarrow u_{n + 1} = 2(n + 1)^{2} + 5$

Khi đó $u_{n + 1} - u_{n} = 2(n + 1)^{2} + 5 - \left( 2n^{2} + 5 \right) = 4n + 2 > 0$ $u_{n + 1} - u_{n} = 2(n + 1)^{2} + 5 - \left( 2n^{2} + 5 \right) = 4n + 2 > 0$

$\Rightarrow u_{n + 1} > u_{n} \Rightarrow \left( u_{n} \right)$ $\Rightarrow u_{n + 1} > u_{n} \Rightarrow \left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng

d)Ta có: $u_{n} = \frac{2n^{2} - 1}{n^{2} + 1} = 2 - \frac{3}{n^{2} + 1}$ $u_{n} = \frac{2n^{2} - 1}{n^{2} + 1} = 2 - \frac{3}{n^{2} + 1}$

$\Rightarrow u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{(n + 1)^{2} + 1}$ $\Rightarrow u_{n + 1} = 2 - \frac{3}{(n + 1)^{2} + 1}$

Với $n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow (n + 1)^{2} > n^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{(n + 1)^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2} + 1}$ $n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow (n + 1)^{2} > n^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{(n + 1)^{2} + 1} < \frac{1}{n^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow 2 - \frac{3}{(n + 1)^{2} + 1} > 2 - \frac{3}{n^{2} + 1} \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ $\Leftrightarrow 2 - \frac{3}{(n + 1)^{2} + 1} > 2 - \frac{3}{n^{2} + 1} \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$

$\Rightarrow \left( u_{n} \right)$ $\Rightarrow \left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng.

e) Ta có:

$u_{n} = \frac{3n^{2} - 2n + 1}{n + 1} = 3n - 5 + \frac{6}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{3n^{2} - 2n + 1}{n + 1} = 3n - 5 + \frac{6}{n + 1}$

$\Rightarrow u_{n + 1} = 3n - 2 + \frac{6}{n + 1}$ $\Rightarrow u_{n + 1} = 3n - 2 + \frac{6}{n + 1}$

Khi đó: $u_{n + 1} - u_{n} = 3n - 2 + \frac{6}{n + 2} - \left( 3n - 5 + \frac{6}{n + 1} \right) = 3 - \frac{6}{(n + 1)(n + 2)}$ $u_{n + 1} - u_{n} = 3n - 2 + \frac{6}{n + 2} - \left( 3n - 5 + \frac{6}{n + 1} \right) = 3 - \frac{6}{(n + 1)(n + 2)}$

Với $\left\{ \begin{matrix} n \geq 1 \\ n \in N \end{matrix} \Rightarrow (n + 1)(n + 2) \geq 6 \Leftrightarrow \frac{6}{(n + 1)(n + 2)} \leq 1 \right.$ $\left\{ \begin{matrix} n \geq 1 \\ n \in N \end{matrix} \Rightarrow (n + 1)(n + 2) \geq 6 \Leftrightarrow \frac{6}{(n + 1)(n + 2)} \leq 1 \right.$

$\Leftrightarrow 3 - \frac{6}{(n + 1)(n + 2)} \geq 2 \Rightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ $\Leftrightarrow 3 - \frac{6}{(n + 1)(n + 2)} \geq 2 \Rightarrow u_{n + 1} > u_{n}$

$\Rightarrow \left( u_{n} \right)$ $\Rightarrow \left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng.

Ví dụ 2. Trong các dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$ sau, dãy số nào tăng?

A. $u_{n} = \frac{\sin n}{n}.$ $u_{n} = \frac{\sin n}{n}.$ B. $u_{n} = \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{2n + 1}.$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{2n + 1}.$ C. $u_{n} = \frac{3^{n}}{n^{2}}.$ $u_{n} = \frac{3^{n}}{n^{2}}.$ D. $u_{n} = 4n^{3} - 3n^{2} + 1.$ $u_{n} = 4n^{3} - 3n^{2} + 1.$

Hướng dẫn giải

Với $n \in (k2\pi;\pi + k2\pi),k\mathbb{\in N}$ $n \in (k2\pi;\pi + k2\pi),k\mathbb{\in N}$

$\Rightarrow \sin n > 0 \Rightarrow \frac{\sin n}{n} > 0n \in (\pi + k2\pi;\ 2\pi + k2\pi),\ k\mathbb{\in N}$ $\Rightarrow \sin n > 0 \Rightarrow \frac{\sin n}{n} > 0n \in (\pi + k2\pi;\ 2\pi + k2\pi),\ k\mathbb{\in N}$

$\Rightarrow \sin n < 0 \Rightarrow \frac{\sin n}{n} < 0$ $\Rightarrow \sin n < 0 \Rightarrow \frac{\sin n}{n} < 0$.

Ta có $u_{n} = \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{2n + 1} = \sqrt{\frac{n^{2} + 1}{(2n + 1)^{2}}}$ $u_{n} = \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{2n + 1} = \sqrt{\frac{n^{2} + 1}{(2n + 1)^{2}}}$.

Xét dãy $\left( v_{n} \right)$ $\left( v_{n} \right)$ với $v_{n} = \frac{n^{2} + 1}{(2n + 1)^{2}}$ $v_{n} = \frac{n^{2} + 1}{(2n + 1)^{2}}$

$v_{n + 1} - v_{n} = \frac{n^{2} + 2n + 2}{4n^{2} + 12n + 9} - \frac{n^{2} + 1}{4n^{2} + 4n + 1} = \frac{4n^{2} - 2n - 7}{(2n + 3)^{2}(2n + 1)^{2}}$ $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{n^{2} + 2n + 2}{4n^{2} + 12n + 9} - \frac{n^{2} + 1}{4n^{2} + 4n + 1} = \frac{4n^{2} - 2n - 7}{(2n + 3)^{2}(2n + 1)^{2}}$

Do $v_{n + 1} - v_{n}$ $v_{n + 1} - v_{n}$ vừa nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy số $\left( v_{n} \right)$ $\left( v_{n} \right)$không tăng, không giảm

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3.3^{n}}{(n + 1)^{2}} - \frac{3^{n}}{n^{2}} = \frac{3^{n}\left( 2n^{2} - 2n - 1 \right)}{(n + 1)^{2}n^{2}}$ $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3.3^{n}}{(n + 1)^{2}} - \frac{3^{n}}{n^{2}} = \frac{3^{n}\left( 2n^{2} - 2n - 1 \right)}{(n + 1)^{2}n^{2}}$.

Do $u_{n + 1} - u_{n}$ $u_{n + 1} - u_{n}$ nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy đã cho không tăng, không giảm

Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ biết: $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$?

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}$ $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}$

Xét tỉ số $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}.\frac{n^{2}}{5^{n}} = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1}$ $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}.\frac{n^{2}}{5^{n}} = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1}$

$= \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}$ $= \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}$

$= 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $= 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\ \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$là dãy số tăng.

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1. Trong các dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_{n}$ $u_{n}$ sau, dãy số nào tăng?

A. $u_{n} = \frac{1}{3^{n}}.$ $u_{n} = \frac{1}{3^{n}}.$ B. $u_{n} = \frac{1}{2n + 1}.$ $u_{n} = \frac{1}{2n + 1}.$ C. $u_{n} = \frac{n + 1}{3n + 2}.$ $u_{n} = \frac{n + 1}{3n + 2}.$ D. $u_{n} = \frac{4n - 2}{n + 3}.$ $u_{n} = \frac{4n - 2}{n + 3}.$

Bài tập 2. Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ biết $u_{n} = \frac{an + 2}{3n + 1}$ $u_{n} = \frac{an + 2}{3n + 1}$. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.

A. $a = 6$ B. $a > 6$ C. $a < 6$ D. $a \geq 6$ $a \geq 6$

Bài tập 3. Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ biết $u_{n} = 2^{n} - an$ $u_{n} = 2^{n} - an$. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.

A. $a = 2$ B. $a > 2$ C. $a < 2$ D. $a \geq 2$ $a \geq 2$

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

------------------------------

Việc nắm vững phương pháp chứng minh dãy số tăng sẽ giúp học sinh xử lý chính xác nhiều dạng bài toán dãy số trong chương trình Toán 11. Thông qua hệ thống bài toán chứng minh dãy số tăng có đáp án, người học có thể rèn luyện tư duy logic và nâng cao kỹ năng giải toán một cách bền vững.

Tải về

Chọn file muốn tải về: