Bài tập tính Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Toán 11 - Có đáp án
Trong chương Dãy số Toán 11, các bài tập tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn giúp học sinh tiếp cận khái niệm tổng vô hạn và điều kiện hội tụ của dãy. Dạng toán này thường yêu cầu vận dụng chính xác công thức tính tổng cấp số nhân cùng khả năng nhận biết công bội phù hợp. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp các dạng bài tiêu biểu, hỗ trợ học sinh luyện tập hiệu quả và có hệ thống.
A. Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là 
\(|q| < 1.\)
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( u_{n} \right)\):
\(S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} + ... =
\frac{u_{1}}{1 - q}\)
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10:
\(X = N,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}... = N +
\frac{a_{1}}{10} + \frac{a_{2}}{10^{2}} + \frac{a_{3}}{10^{3}} + ... +
\frac{a^{n}}{10^{n}} + ...\)
B. Bài tập minh họa tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1,\ \ - \frac{1}{2},\ \ \frac{1}{4},\ \ -
\frac{1}{8},...,\left( - \frac{1}{2} \right)^{n - 1},...\)
Hướng dẫn giải
Theo đề cho ta có: \(u_{1} = 1,\ \ q = -
\frac{1}{2}\) nên suy ra \(S =
\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} =
\frac{2}{3}.\)
Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(a = 0,212121...\) (chu kỳ là 21). Tìm \(a\) dưới dạng phân số.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Giải bằng tự luận
Ta có: \(a = 0,212121\ldots = 0,21 + 0,0021
+ 0,000021 + \ldots\)
\(= 21\left( \frac{1}{10^{2}} +
\frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + ... \right)\)
Tổng \(S = \frac{1}{10^{2}} +
\frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + ...\) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có \(u_{1} = \frac{1}{10^{2}},\ \ q
= \frac{1}{10^{2}}.\)
Khi đó: \(S = \frac{u_{1}}{1 - q} =
\frac{\frac{1}{10^{2}}}{1 - \frac{1}{10^{2}}} = \frac{1}{99}.\) Do đó \(A = 21.\frac{1}{99} =
\frac{7}{33}.\)
Cách 2: Giải nhanh bằng máy tính:
Nhập vào màn hình \(0,(21)\) và ấn phím \(\boxed{=}\) ta được kết quả \(\frac{7}{33}.\)
Ví dụ 3: Tổng \(S_{n} = 1 + 0,9 + (0,9)^{2}
+ (0,9)^{3} + ... + (0,9)^{n - 1} + ...\) có kết quả bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(S = 1 + 0,9 + (0,9)^{2} +
(0,9)^{3} + ... + (0,9)^{n - 1} + ...\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng có \(u_{1} = 1,\ \ q = 0,9\) nên \(S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - 0,9} =
10.\)
Ví dụ 4: Cho \(S = 1 + q + q^{2} + q^{3} +
...,\ \ |q| < 1\)
\(T = 1 + Q + Q^{2} + Q^{3} + \ldots,\ \
|Q| < 1\ \ ;\ E = 1 + qQ + q^{2}Q^{2} + q^{3}Q^{3} + ...\). Biểu thị biểu thức \(E\) theo \(S,T\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(S = 1 + q + q^{2} + q^{3} + ...,\ \ |q|
< 1\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có \(u_{1} = 1,\ \ q = q.\)
Khi đó: \(S = \frac{u_{1}}{1 - q} =
\frac{1}{1 - q} \Rightarrow q = \frac{S - 1}{S}\) \((1)\)
Tương tự: \(T = \frac{1}{1 - Q} \Rightarrow
Q = \frac{T - 1}{T}.\) \((2)\)
\(E = 1 + q.Q + q^{2}.Q^{2} + q^{3}.Q^{3} +
...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạng công bội \(qQ\) (vì \(|qQ|
< 1\), và \(u_{1} = 1\)).
\(E = \frac{u_{1}}{1 - qQ}\) \((3)\)
Thay \((1),\ (2)\) vào \((3)\): \(E =\dfrac{u_{1}}{1 - \dfrac{T - 1}{T}.\dfrac{S - 1}{S}} \Rightarrow E =\dfrac{ST}{S + T - 1}.\)
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1: Tìm số hạng \(U_{1}\) của cấp số nhân lùi vô hạn, biết \(S = 4;\ \ q =
\frac{1}{2}.\)
Bài tập 2. Tổng \(S = \frac{1}{3} -
\frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \ldots + \frac{( - 1)^{n + 1}}{3^{n}} +
\ldots\) bằng bao nhiêu (kết quả viết dưới dạng số thập phân)?
Bài tập 3. Biết số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,212121... = \frac{a}{b}\)( với \(a,b\) là các số dương có ước chung lớn nhất là 1). Tính giá trị \(a + b\).
Bài tập 4: Tìm tổng \(S = \frac{1}{3} -
\frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \ldots + \frac{( - 1)^{n + 1}}{3^{n}} +
\ldots\)
Bài tập 5. Giá trị của tổng \(T = 1 +
\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}}\ldots + \left(
\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n} + \ldots = a + \sqrt{b}\) với a;b là các số tự nhiên. Tính giá trị \(S = (a + b)^{2}\).
Bài tập 6. Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,271414\ldots\) viết dạng phân số có dạng \(\frac{m}{n}\) với m;n là các số tự nhiên và \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tính \(n - 3m\).
📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.
-------------------------------------------------
Khi nắm chắc điều kiện hội tụ và công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, việc giải bài toán tổng dãy số sẽ trở nên nhanh chóng và chính xác hơn. Hy vọng chuyên đề này sẽ là tài liệu hữu ích cho quá trình học tập Toán 11 và rèn luyện kỹ năng giải toán.
