VnDoc.com

Bài tập tính Giới hạn dãy số dạng căn thức

Chuyên đề Giới hạn của dãy số Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 11: Giới hạn của dãy số chứa căn

A. Cách tính giới hạn dãy sô dạng căn thức
B. Bài tập minh họa tính giới hạn dãy số dạng căn thức
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Trong chuyên đề Giới hạn của dãy số Toán 11, các bài tập tính giới hạn dãy số dạng căn thức thường gây khó khăn do yêu cầu học sinh xử lý biểu thức chứa căn một cách khéo léo. Dạng toán này giúp rèn luyện kỹ năng biến đổi liên hợp, so sánh mức độ tăng của các biểu thức dưới dấu căn. Bài viết sau sẽ hệ thống các dạng bài tiêu biểu, hỗ trợ bạn học đúng trọng tâm và hiệu quả.

A. Cách tính giới hạn dãy sô dạng căn thức

Phương pháp: Ở dạng toán này ta thường gặp 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Đơn giản thì ta chỉ rút nhân tử chung (như dạng 2)

Lưu ý: $\sqrt[{2a}]{n^{2a}} = |n| = \left\{ \begin{matrix} n\ \ \ \ \ \ khi\ \ n \geq 0 \\ - n\ \ \ khi\ \ n < 0 \end{matrix} \right.$ $\sqrt[{2a}]{n^{2a}} = |n| = \left\{ \begin{matrix} n\ \ \ \ \ \ khi\ \ n \geq 0 \\ - n\ \ \ khi\ \ n < 0 \end{matrix} \right.$ ở đây ta chỉ có $n \rightarrow + \infty$ $n \rightarrow + \infty$ nên $\sqrt[{2a}]{n^{2a}} = n$ $\sqrt[{2a}]{n^{2a}} = n$

Trường hợp 2: Nhân lượng liên hợp, khi giới hạn ở dạng vô định: $\frac{0}{0}\ ;\ 0.\infty\ ;\ \frac{\infty}{\infty}$ $\frac{0}{0}\ ;\ 0.\infty\ ;\ \frac{\infty}{\infty}$

$\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$ $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$ $\sqrt{A} - B = \frac{A - B^{2}}{\sqrt{A} + B}$ $\sqrt{A} - B = \frac{A - B^{2}}{\sqrt{A} + B}$

$\sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} = \frac{A - B}{\left( \sqrt[3]{A} \right)^{2} + \sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B} + \left( \sqrt[3]{B} \right)^{2}}$ $\sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B} = \frac{A - B}{\left( \sqrt[3]{A} \right)^{2} + \sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B} + \left( \sqrt[3]{B} \right)^{2}}$ $\sqrt[3]{A} - B = \frac{A - B^{3}}{\left( \sqrt[3]{A} \right)^{2} + \sqrt[3]{A}.B + (B)^{2}}$ $\sqrt[3]{A} - B = \frac{A - B^{3}}{\left( \sqrt[3]{A} \right)^{2} + \sqrt[3]{A}.B + (B)^{2}}$

Bên cạnh đó áp dụng các tính chất để tính được kết quả của giới hạn:

a) $\lim\frac{1}{n} = 0;lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ $\lim\frac{1}{n} = 0;lim\frac{1}{n^{k}} = 0$ ( với $k$ là số nguyên dương).

b) $\lim q^{n} = 0$ $\lim q^{n} = 0$ (nếu $|q| < 1$).

c) Nếu $u_{n} = c$ $u_{n} = c$ (với $c$ là hằng số) thì $\lim u_{n} = \lim c = c$ $\lim u_{n} = \lim c = c$.

B. Bài tập minh họa tính giới hạn dãy số dạng căn thức

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây:

a) $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 7} - \sqrt{n^{2} + 5} \right)$ $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 7} - \sqrt{n^{2} + 5} \right)$ b) $\lim\left( \sqrt{n^{2} - n + 1} - n \right)$ $\lim\left( \sqrt{n^{2} - n + 1} - n \right)$

c) $\lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) \right\rbrack$ $\lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) \right\rbrack$ d) $\lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}}$ $\lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\lim\left( \sqrt{n^{2} + 7} - \sqrt{n^{2} + 5} \right) = \lim\frac{n^{2} + 7 - n^{2} - 5}{\sqrt{n^{2} + 7} + \sqrt{n^{2} + 5}}$ $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 7} - \sqrt{n^{2} + 5} \right) = \lim\frac{n^{2} + 7 - n^{2} - 5}{\sqrt{n^{2} + 7} + \sqrt{n^{2} + 5}}$

$= \lim\frac{2}{\sqrt{n^{2} + 7} + \sqrt{n^{2} + 5}} = 0$ $= \lim\frac{2}{\sqrt{n^{2} + 7} + \sqrt{n^{2} + 5}} = 0$

b) Ta có:

$\sqrt{n^{2} - n + 1} - n\sim\sqrt{n^{2}} - n = 0\overset{\rightarrow}{}$ $\sqrt{n^{2} - n + 1} - n\sim\sqrt{n^{2}} - n = 0\overset{\rightarrow}{}$ nhân lượng liên hợp:

$\lim\left( \sqrt{n^{2} - n + 1} - n \right) = \lim\frac{- n + 1}{\sqrt{n^{2} - n + 1} + n}$ $\lim\left( \sqrt{n^{2} - n + 1} - n \right) = \lim\frac{- n + 1}{\sqrt{n^{2} - n + 1} + n}$ $= \lim\frac{- 1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 1} = - \frac{1}{2}$ $= \lim\frac{- 1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + 1} = - \frac{1}{2}$

c) Ta có:

$\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right)\sim\sqrt{n}\left( \sqrt{n} - \sqrt{n} \right) = 0\overset{\rightarrow}{}$ $\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right)\sim\sqrt{n}\left( \sqrt{n} - \sqrt{n} \right) = 0\overset{\rightarrow}{}$ nhân lượng liên hợp:

$\lim\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) = \lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ $\lim\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) = \lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ $= \lim\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{2}$ $= \lim\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{2}$

d) Ta có:

$\lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}} = \lim\sqrt{\frac{n\left( 8 + \frac{2}{n} \right)}{n\left( 2 - \frac{1}{n} \right)}}$ $\lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}} = \lim\sqrt{\frac{n\left( 8 + \frac{2}{n} \right)}{n\left( 2 - \frac{1}{n} \right)}}$ $= \lim\sqrt{\frac{8 + \frac{2}{n}}{2 - \frac{1}{n}}} = \sqrt{\frac{8 + 0}{2 - 0}} = 2$ $= \lim\sqrt{\frac{8 + \frac{2}{n}}{2 - \frac{1}{n}}} = \sqrt{\frac{8 + 0}{2 - 0}} = 2$

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau đây:

a) $A = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 3} - 2n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2n} + 3n}$ $A = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 3} - 2n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2n} + 3n}$ b) $C = \lim\frac{\sqrt{3n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 1}}{n}$ $C = \lim\frac{\sqrt{3n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 1}}{n}$

c) $E = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} - 1} + \sqrt[3]{8n^{3} + 2n^{2} - 3}}{\sqrt{16n^{2} + 4n} - \sqrt[4]{n^{4} + 1}}$ $E = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} - 1} + \sqrt[3]{8n^{3} + 2n^{2} - 3}}{\sqrt{16n^{2} + 4n} - \sqrt[4]{n^{4} + 1}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$A = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 3} - 2n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2n} + 3n}$ $A = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 3} - 2n + 1}{\sqrt{n^{2} + 2n} + 3n}$ $= \lim\frac{n\sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} - 2n + 1}{n\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 3n}$ $= \lim\frac{n\sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} - 2n + 1}{n\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 3n}$

$= \lim\frac{n\left( \sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} - 2 + \frac{1}{n} \right)}{n\left( \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 3 \right)} = \lim\frac{\sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} - 2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 3} = 0$ $= \lim\frac{n\left( \sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} - 2 + \frac{1}{n} \right)}{n\left( \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 3 \right)} = \lim\frac{\sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} - 2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 3} = 0$.

b) Ta có:

$C = \lim\frac{\sqrt{3n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 1}}{n} = \lim\frac{n\sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}} - n\sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}}}{n}$ $C = \lim\frac{\sqrt{3n^{2} + 1} - \sqrt{n^{2} - 1}}{n} = \lim\frac{n\sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}} - n\sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}}}{n}$

$= \lim\frac{n\left( \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}} - \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} \right)}{n} = \lim\left( \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}} - \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} \right) = \sqrt{3} - 1.$ $= \lim\frac{n\left( \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}} - \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} \right)}{n} = \lim\left( \sqrt{3 + \frac{1}{n^{2}}} - \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} \right) = \sqrt{3} - 1.$

c) Ta có:

$E = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} - 1} + \sqrt[3]{8n^{3} + 2n^{2} - 3}}{\sqrt{16n^{2} + 4n} - \sqrt[4]{n^{4} + 1}}$ $E = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} - 1} + \sqrt[3]{8n^{3} + 2n^{2} - 3}}{\sqrt{16n^{2} + 4n} - \sqrt[4]{n^{4} + 1}}$ $= \lim\frac{\sqrt{4 - \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt[3]{8 + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^{3}}}}{\sqrt{16 + \frac{4}{n}} - \sqrt[4]{1 + \frac{1}{n^{4}}}} = \frac{2 + 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$ $= \lim\frac{\sqrt{4 - \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt[3]{8 + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^{3}}}}{\sqrt{16 + \frac{4}{n}} - \sqrt[4]{1 + \frac{1}{n^{4}}}} = \frac{2 + 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}$.

Bài tập 3. Tính giới hạn $L = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$ $L = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có

$L = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$ $L = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$

$L = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - n^{12} \right) + \lim\left( n^{12} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$ $L = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - n^{12} \right) + \lim\left( n^{12} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$ $= L_{1} + L_{2}$ $= L_{1} + L_{2}$.

Trong đó

+ $L_{1} = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - n^{12} \right)$ $L_{1} = \lim\left( \sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} - n^{12} \right)$

$= \lim\frac{6n^{12} + 1}{\sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} + n^{12}} = \lim\frac{6 + \frac{1}{n^{12}}}{\sqrt{1 + \frac{6}{n^{12}} + \frac{1}{n^{24}}} + 1} = 3$ $= \lim\frac{6n^{12} + 1}{\sqrt{n^{24} + 6n^{12} + 1} + n^{12}} = \lim\frac{6 + \frac{1}{n^{12}}}{\sqrt{1 + \frac{6}{n^{12}} + \frac{1}{n^{24}}} + 1} = 3$.

+ $L_{2} = \lim\left( n^{12} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$ $L_{2} = \lim\left( n^{12} - \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)$

$= \lim\frac{- 3n^{24} - 2}{n^{24} + n^{12}\sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} + \left( \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)^{2}}$ $= \lim\frac{- 3n^{24} - 2}{n^{24} + n^{12}\sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} + \left( \sqrt[3]{n^{36} + 3n^{24} + 2} \right)^{2}}$

$= \lim\frac{- 3 - \frac{2}{n^{24}}}{1 + \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} + \left( \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} \right)^{2}} = - 1$ $= \lim\frac{- 3 - \frac{2}{n^{24}}}{1 + \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} + \left( \sqrt[3]{1 + \frac{3}{n^{12}} + \frac{2}{n^{36}}} \right)^{2}} = - 1$.

Vậy $L = 3 + ( - 1) = 2$.

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây:

a) $\lim\left( \sqrt[3]{n^{2} - n^{3}} + n \right)$ $\lim\left( \sqrt[3]{n^{2} - n^{3}} + n \right)$ b) $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}}$ $\lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}}$

c) $\lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 1} + 2n - 1}{\sqrt{n^{2} + 4n + 1} + n}$ $\lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 1} + 2n - 1}{\sqrt{n^{2} + 4n + 1} + n}$ d) $\lim\frac{n^{2} + \sqrt[3]{1 - n^{6}}}{\sqrt{n^{4} + 1} + n^{2}}$ $\lim\frac{n^{2} + \sqrt[3]{1 - n^{6}}}{\sqrt{n^{4} + 1} + n^{2}}$

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau đây:

a) $B = \lim\frac{2n + 1 - \sqrt{n^{2} + 2n - 4}}{3n + \sqrt{n^{2} + 7}}$ $B = \lim\frac{2n + 1 - \sqrt{n^{2} + 2n - 4}}{3n + \sqrt{n^{2} + 7}}$

b) $D = \lim\frac{\sqrt[3]{n^{6} + n + 1} - 4\sqrt{n^{4} + 2n - 1}}{(2n + 3)^{2}}$ $D = \lim\frac{\sqrt[3]{n^{6} + n + 1} - 4\sqrt{n^{4} + 2n - 1}}{(2n + 3)^{2}}$

c) $F = \lim\frac{n^{2} + \sqrt[3]{1 - n^{6}}}{\sqrt{n^{4} + 1} - n^{2}}$ $F = \lim\frac{n^{2} + \sqrt[3]{1 - n^{6}}}{\sqrt{n^{4} + 1} - n^{2}}$

Bài tập 3. $\lim\ \frac{n.\ \sqrt{n^{2} + 1}}{- 2n^{2} + n + 1}$ $\lim\ \frac{n.\ \sqrt{n^{2} + 1}}{- 2n^{2} + n + 1}$ bằng bao nhiêu (kết quả viết dưới dạng số thập phân)?

Bài tập 4. Cho $\lim_{n \rightarrow + \infty}\left\lbrack \sqrt{4n^{2} - 3n + 1} - (an + b) \right\rbrack = 0,\left( a,b\mathbb{\in R} \right)$ $\lim_{n \rightarrow + \infty}\left\lbrack \sqrt{4n^{2} - 3n + 1} - (an + b) \right\rbrack = 0,\left( a,b\mathbb{\in R} \right)$. Tính $S = a + 8b$.

Bài tập 5. Giới hạn $\lim\dfrac{2n^{2} -3\sqrt{n} + 1}{3n\sqrt{n} + 2n} = \lim\dfrac{a\sqrt{n} - \dfrac{3}{n} +\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}{b + \dfrac{2}{\sqrt{n}}}$ $\lim\dfrac{2n^{2} -3\sqrt{n} + 1}{3n\sqrt{n} + 2n} = \lim\dfrac{a\sqrt{n} - \dfrac{3}{n} +\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}{b + \dfrac{2}{\sqrt{n}}}$ với $a;b$ là các số tự nhiên. Tính $P = a + b^{2}$ $P = a + b^{2}$.

Bài tập 6. Giá trị của giới hạn $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 2n - 2} - n \right) = \lim\frac{a.\left( 1 - \frac{1}{n} \right)}{\sqrt{1 + b.\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right)} + 1}$ $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 2n - 2} - n \right) = \lim\frac{a.\left( 1 - \frac{1}{n} \right)}{\sqrt{1 + b.\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} \right)} + 1}$ với $a;b$ là các số tự nhiên. Tính $S = (a + b)^{2}$ $S = (a + b)^{2}$.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

--------------------------------------------------

Khi nắm vững cách biến đổi biểu thức căn thức và hiểu rõ bản chất giới hạn, việc giải các bài toán dạng này sẽ trở nên dễ dàng hơn. Hy vọng chuyên đề này sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và tự tin xử lý các bài giới hạn dãy số Toán 11 trong quá trình học tập.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: