Bài tập tính Giới hạn dãy số dạng phân thức
Bài tập Toán 11: Tính giới hạn dãy số phân thức
Trong chuyên đề Giới hạn của dãy số Toán 11, các bài tập tính giới hạn dãy số dạng phân thức là dạng toán quen thuộc nhưng dễ gây nhầm lẫn nếu không nắm vững cách biến đổi. Dạng bài này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng so sánh bậc, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa thích hợp, từ đó xác định chính xác giá trị giới hạn. Bài viết sau sẽ tổng hợp các dạng bài tiêu biểu, hỗ trợ học tập hiệu quả.
A. Cách tính giới hạn dãy số dạng phân thức
Phương pháp: Tính giới hạn 
\(\lim\frac{f(n)}{g(n)}\) trong đó \(f(n)\) và \(g(n)\)là các đa thức bậc \(n\).
- Bước 1: Đặt \(n^{k},\ \ n^{i}\)với \(k\) là số mũ cao nhất của đa thức \(f(n)\) và \(i\) là số mũ cao nhất của đa thức \(g(n)\) ra làm nhân tử chung.
- Bước 2: Áp dụng kết quả \(\lim\frac{1}{n^{k}} = 0\) suy ra \(\lim\frac{f(n)}{g(n)} = ...\)
B. Bài tập minh họa tính giới hạn dãy số dạng phân thức
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây:
a) \(\lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n
- 2}\) b) \(\lim\frac{n^{3} - 7n}{1 +
2n^{2}}\) c) \(\lim\frac{- 4n^{2} + n +
2}{2n^{2} + n + 1}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\lim\dfrac{n^{2} -4n^{3}}{2n^{3} + 5n - 2} = \lim\dfrac{n^{3}\left( \dfrac{1}{n} - 4\right)}{n^{3}\left( 2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}\right)}\)
\(= \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 +\dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} = \dfrac{- 4}{2} = - 2\).
b) Ta có:
\(\lim\dfrac{n^{3} - 7n}{1 +2n^{2}} = \lim\dfrac{n^{3}\left( 1 - \dfrac{7}{n^{2}} \right)}{n^{2}\left(\dfrac{1}{n^{2}} + 2 \right)}\)\(= \lim\left( n.\dfrac{1 -\dfrac{7}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}} + 2} \right) = + \infty\).
Vì \(\lim\left( \dfrac{1 -\dfrac{7}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}} + 2} \right) = \frac{1}{2} > 0;\lim n = + \infty\).
c) Ta có:
\(\lim\dfrac{- 4n^{2} + n + 2}{2n^{2} + n +1} = \lim\dfrac{- 4 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}}{2 + \dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n^{2}}} = \dfrac{- 4}{2} = - 2\)
Bài tập 2: Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) \(u_{n} = \frac{- 3n^{3} + 2n^{2} +
1}{2n^{3} - n}\) b) \(u_{n} = \frac{2n
+ 1}{n^{2} + n + 3}\) c) \(u_{n} =
\frac{2025n + 2024}{n - 2023}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\lim u_{n} = \lim\frac{- 3n^{3} + 2n^{2}+ 1}{2n^{3} - n} = \lim\dfrac{n^{3}\left( - 3 + \dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}} \right)}{n^{3}\left( 2 - \dfrac{1}{n^{2}}\right)}\)
\(= \lim\dfrac{- 3 + \dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{3}}}{2 - \dfrac{1}{n^{2}}} = - \dfrac{3}{2}\)
b) Ta có:
\(\lim u_{n} = \lim\dfrac{2n + 1}{n^{2} + n+ 3} = \lim\dfrac{n\left( 2 + \dfrac{1}{n} \right)}{n^{2}\left( 1 +\dfrac{1}{n} + \dfrac{3}{n^{2}} \right)}\)\(= \lim\dfrac{1}{n}.\dfrac{\dfrac{2}{n} +\dfrac{1}{n^{2}}}{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{3}{n^{2}}} = 0\)
c) Ta có:
\(\lim u_{n} = \lim\dfrac{2025n + 2024}{n -2023} = \lim\dfrac{n\left( 2025 + \dfrac{2024}{n} \right)}{n\left( 1 -\dfrac{2023}{n} \right)}\)\(= \lim\dfrac{2025 + \dfrac{2024}{n}}{1 -\dfrac{2023}{n}} = 2025\).
C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có hướng dẫn giải
Bài tập 1: Tính các giới hạn sau đây:
a) \(\lim\frac{n + 2}{n^{2} + n +
1}\) b) \(\lim\frac{n^{4}}{(n + 1)(2 +
n)\left( n^{2} + 1 \right)}\) c) \(\lim\frac{5n^{2} + 3n - 7}{n^{2}}\)
Bài tập 2: Cho dãy số \(\left( u_{n}
\right)\) với \(u_{n} = \frac{2n +
b}{5n + 3}\) trong đó \(b\) là tham số thực. Để dãy số \(\left( u_{n}
\right)\) có giới hạn hữu hạn, giá trị của \(b\) bằng bào nhiêu?
Bài tập 3: Cho dãy số \(\left( u_{n}
\right)\) với \(u_{n} = \frac{4n^{2} +
n + 2}{an^{2} + 5}.\) Để dãy số đã cho có giới hạn bằng \(2\), giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?
📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.
-------------------------------------------------
Việc luyện tập thường xuyên giới hạn dãy số dạng phân thức sẽ giúp học sinh nắm chắc quy tắc xử lý phân thức và tránh sai sót khi làm bài. Hy vọng chuyên đề này sẽ là tài liệu hữu ích cho quá trình học và ôn tập Toán 11.
