VnDoc.com

Chuyên đề Dãy số bị chặn Toán 11 – Bài tập có đáp án

Hướng dẫn chứng minh dãy bị chặn trên – chặn dưới dễ hiểu

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách chứng minh dãy số bị chặn dễ hiểu

A. Cách xét tính bị chặn của dãy số
B. Bài tập minh họa về dãy số bị chặn
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết

Trong chương Dãy số Toán 11, nội dung dãy số bị chặn là kiến thức nền tảng, thường xuất hiện trong bài kiểm tra và các đề ôn luyện nâng cao. Việc chứng minh dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới đòi hỏi học sinh hiểu rõ bản chất và lựa chọn phương pháp phù hợp. Bài viết này xây dựng chuyên đề dãy số bị chặn, hệ thống bài tập Toán 11 có đáp án cùng hướng dẫn trình bày rõ ràng, giúp người học tiếp cận vấn đề một cách dễ hiểu và hiệu quả.

A. Cách xét tính bị chặn của dãy số

Phương pháp: Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn

Dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_{n} \leq M$ $u_{n} \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$.
Dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_{n} \geq m$ $u_{n} \geq m$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$.
Dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m,M$ sao cho $m \leq u_{n} \leq M$ $m \leq u_{n} \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$.

B. Bài tập minh họa về dãy số bị chặn

Ví dụ 1: Trong các dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n} = n - 1$ $u_{n} = n - 1$ b) $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ c) $u_{n} = \sin n$ $u_{n} = \sin n$ d) $u_{n} = ( - 1)^{n - 1}n^{2}$ $u_{n} = ( - 1)^{n - 1}n^{2}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $u_{n} = n - 1 \geq 0;\left( \forall n \in N^{*} \right)$ $u_{n} = n - 1 \geq 0;\left( \forall n \in N^{*} \right)$ suy ra $u_{n}$ $u_{n}$ bị chặn dưới.

b) Ta có:

$u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2} < 1;u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2} \geq 0\left( \forall n \in N^{\star} \right)$ $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2} < 1;u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2} \geq 0\left( \forall n \in N^{\star} \right)$ suy ra $u_{n}$ $u_{n}$ bị chặn.

c) $u_{n} = \sin n$ $u_{n} = \sin n$ do đó $- 1 \leq u_{n} \leq 1\left( \forall n \in N^{*} \right)$ $- 1 \leq u_{n} \leq 1\left( \forall n \in N^{*} \right)$ suy ra $u_{n}$ $u_{n}$ bị chặn.

d) Ta có: $u_{n} = ( - 1)^{n - 1}n^{2} > 0$ $u_{n} = ( - 1)^{n - 1}n^{2} > 0$ nếu $n$ là số tự nhiên lẻ.

$u_{n} = ( - 1)^{n - 1}n^{2} < 0$ $u_{n} = ( - 1)^{n - 1}n^{2} < 0$ nếu $n$ là số tự nhiên chẵn.

Dãy không bị chặn trên cũng không bị chăn dưới.

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ với

a) $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ b) $u_{n} = \frac{1 - n}{n + 1}$ $u_{n} = \frac{1 - n}{n + 1}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} - \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{(n + 2)^{2} - (n + 3)(n + 1)}{(n + 2)(n + 3)}$ $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} - \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{(n + 2)^{2} - (n + 3)(n + 1)}{(n + 2)(n + 3)}$

$= \frac{1}{(n + 2)(n + 3)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $= \frac{1}{(n + 2)(n + 3)} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra $u_{n + 1} > u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n + 1} > u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$.

Vậy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng.

Mặt khác ta có: $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn dưới.

$u_{n} = 1 - \frac{1}{n + 2} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ suy\ ra\ \left( u_{n} \right)$ $u_{n} = 1 - \frac{1}{n + 2} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ suy\ ra\ \left( u_{n} \right)$bị chặn trên.

Ta thấy dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, suy ra dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn.

Vậy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng và bị chặn.

b) Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1 - (n + 1)}{n + 2} - \frac{1 - n}{n + 1} = - \frac{n}{n + 2} - \frac{1 - n}{n + 1}$ $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1 - (n + 1)}{n + 2} - \frac{1 - n}{n + 1} = - \frac{n}{n + 2} - \frac{1 - n}{n + 1}$

$= \frac{- n(n + 1) - (1 - n)(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)} = - \frac{2}{(n + 2)(n + 1)} < 0,\forall n \geq 1$ $= \frac{- n(n + 1) - (1 - n)(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)} = - \frac{2}{(n + 2)(n + 1)} < 0,\forall n \geq 1$

Do đó $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số giảm.

Do $u_{n} = \frac{1 - n}{n + 1} = \frac{- (n + 1) + 2}{n + 1} = - 1 + \frac{2}{n + 1} > - 1,\forall n \geq 1$ $u_{n} = \frac{1 - n}{n + 1} = \frac{- (n + 1) + 2}{n + 1} = - 1 + \frac{2}{n + 1} > - 1,\forall n \geq 1$, nên dãy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn dưới.

Dãy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ cũng bị chặn trên vì $u_{n} = - 1 + \frac{2}{n + 1} \leq - 1 + \frac{2}{1 + 1} = 0,\forall n \geq 1$ $u_{n} = - 1 + \frac{2}{n + 1} \leq - 1 + \frac{2}{1 + 1} = 0,\forall n \geq 1$.

Do đó $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số bị chặn.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}$ $u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}$ bị chặn.

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_{n} > 0$ $u_{n} > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$ nên dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn dưới.

Do $n^{2} + n \geq 2$ $n^{2} + n \geq 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$ nên $u_{n} \leq \frac{1}{2}$ $u_{n} \leq \frac{1}{2}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn trên.

Vậy dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn.

Ví dụ 4: Xét tính bị chặn của các dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ cho bởi

a) $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \ldots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$ $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \ldots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$.

b) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có

$u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \ldots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$ $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \ldots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$

$= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} -\frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right)$ $= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} -\frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right)$

$= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2(2n + 1)}.$ $= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2n + 1} \right) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2(2n + 1)}.$

Do đó : $0 < u_{n} < \frac{1}{2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $0 < u_{n} < \frac{1}{2},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Vậy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số bị chặn.

b) Ta có:

$0 < \frac{1}{\sqrt{n^{2} +1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ $0 < \frac{1}{\sqrt{n^{2} +1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$

$< \frac{1}{\sqrt{n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2}}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt{n^{2}}} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}}} = 1,\forall n \in\mathbb{N}^{*}$ $< \frac{1}{\sqrt{n^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2}}} + \ldots +\frac{1}{\sqrt{n^{2}}} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}}} = 1,\forall n \in\mathbb{N}^{*}$

Do đó: $0 < u_{n} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $0 < u_{n} < 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Vậy $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ là dãy số bị chặn.

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1. Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$, biết $u_{n} = \sqrt{3}\cos n - \sin n.$ $u_{n} = \sqrt{3}\cos n - \sin n.$ Dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn dưới và chặn trên lần lượt bởi các số $m$ và $M$. Tính $m + M$.

Bài tập 2. Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$. Dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ bị chặn dưới bởi số nào?

a) Biết $u_{n} = \sin n - \cos n.$ $u_{n} = \sin n - \cos n.$ b) Biết $u_{n} = \cos n + \sin n.$ $u_{n} = \cos n + \sin n.$ c) Biết $u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}.$ $u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}.$

Bài tập 3. Xét tính bị chặn của các dãy số $\left( u_{n} \right)$ $\left( u_{n} \right)$ cho bởi:

a) $u_{n} = \frac{n^{2} + 2n}{n^{2} + n + 1}$ $u_{n} = \frac{n^{2} + 2n}{n^{2} + n + 1}$ b) $u_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 2n} + n}$ $u_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 2n} + n}$

c) $u_{n} = ( - 1)^{n}\cos\frac{\pi}{2n}$ $u_{n} = ( - 1)^{n}\cos\frac{\pi}{2n}$ d) $u_{n} = \frac{4sinn + 4cos\left( 3n^{2} + 1 \right)}{5n^{2} + n}$ $u_{n} = \frac{4sinn + 4cos\left( 3n^{2} + 1 \right)}{5n^{2} + n}$

Bài tập 4. Vi khuẩn $E$. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn $E$. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể tử khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn $E$. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn $E$. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thẻ. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn $E$. Coli trong cơ thể?

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

------------------------------

Nắm vững cách chứng minh dãy số bị chặn sẽ giúp học sinh giải quyết chính xác nhiều dạng toán liên quan đến dãy số. Thông qua hệ thống bài tập dãy số bị chặn Toán 11 có đáp án, người học có thể rèn luyện kỹ năng, củng cố kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập cũng như ôn thi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: