Cách tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác dễ hiểu nhất
Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
Việc xác định chu kỳ tuần hoàn của hàm số lượng giác là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán THPT, đặc biệt trong chuyên đề hàm số. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn khi áp dụng công thức vào các bài toán thực tế. Trong bài viết này, VnDoc sẽ hướng dẫn bạn cách tìm chu kỳ tuần hoàn của các hàm số lượng giác như sin, cos, tan, cot một cách dễ hiểu, nhanh chóng và chính xác nhất, kèm theo ví dụ minh họa thực tế giúp bạn nắm chắc kiến thức chỉ trong vài phút.
A. Cách xác định chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
Định nghĩa: Hàm số 
\(y = f(x)\) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số \(T \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có:
- \(\left\{ \begin{matrix}
x - T \in D \\
x + T \in D \\
\end{matrix} \right.\)
- \(f(x + T) = f(x)\)
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được:
Chu kì tuần hoàn của các hàm cơ bản
- \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\)
- \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\)
- \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
- \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\)
Công thức tìm chu kì tuần hoàn của các hàm lượng giác cơ bản
- Hàm số \(y = \sin(ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{2\pi}{|a|}\)
- Hàm số \(y = \cos(ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{2\pi}{|a|}\)
- Hàm số \(y = \tan(ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{\pi}{|a|}\)
- Hàm số \(y = \cot(ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{\pi}{|a|}\)
Công thức mở rộng
- Hàm số \(y = a\sin mx + b\cos nx + c,\left(
m,n\mathbb{\in Z} \right)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{2\pi}{(m,n)}\)với (m, n) là ước chung lớn nhất
- Hàm số \(y = a\tan mx + b\cot nx + c,\left(
m,n\mathbb{\in Z} \right)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi}{(m,n)}\)với (m, n) là ước chung lớn nhất
B. Bài tập tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y = \tan3\pi x.\)
A. \(T = \frac{\pi}{3}.\) B. \(T = \frac{4}{3}.\) C. \(T = \frac{2\pi}{3}.\) D. \(T = \frac{1}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \tan(ax + b)\) tuần hoàn với chu kì \(T\ \ = \ \
\frac{\pi}{|a|}\).
Áp dụng: Hàm số \(y = \tan3\pi x\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{1}{3}.\)
Ví dụ 2. Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y = \cos2x + \sin\frac{x}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \cos2x\) tuần hoàn với chu kì \(T_{1} = \frac{2\pi}{2} =
\pi.\)
Hàm số \(y = \sin\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì \(T_{2} =\frac{2\pi}{\dfrac{1}{2}} = 4\pi.\)
Suy ra hàm số \(y = \cos2x +\sin\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì \(T = 4\pi.\)
Ví dụ 3. Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y = \cos3x + \cos5x.\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \cos3x\) tuần hoàn với chu kì \(T_{1} = \frac{2\pi}{3}.\)
Hàm số \(y = \cos5x\) tuần hoàn với chu kì \(T_{2} = \frac{2\pi}{5}.\)
Suy ra hàm số \(y = \cos3x + \cos5x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi.\)
Ví dụ 4: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a. \(y = 1 + \sin^{2}2x\) b. \(y = \frac{1}{\sin2x}\)
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
\(y = 1 + \sin^{2}(2x) = 1 + \frac{1 -\cos4x}{2}\)\(= \frac{3}{2} - \frac{\cos4x}{2}\)
Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T
\(\Rightarrow f(x + T) = f(x)\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{2} -\frac{\cos4x}{2} = \frac{3}{2} - \frac{\cos4(x + T)}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos4x = \cos4(x +T)\) chọn \(x = 0\)
\(\Rightarrow \cos4T = 1 \Leftrightarrow T= \frac{k\pi}{2}\)
Chọn \(k = 1 \rightarrow T =
\frac{\pi}{2}\) vậy chu kì là \(T =
\frac{\pi}{2}\).
b. Giả sử hàm số trên tuần hoàn với chu kì T
\(\Rightarrow f(x + T) = f(x)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{\sin2(x + T)} =\frac{1}{\sin2x}\)
\(\Leftrightarrow \sin2(x + T) = \sin2x\)
Chọn \(x = 0 \Rightarrow \sin T = 0
\Rightarrow T = k\pi\)
Chọn \(k = 1 \Rightarrow T =
\pi\)
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì \(T =
\pi\) .
Ví dụ 5: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a. \(y = 1 - \sin5x\) b. \(y = \cos^{2}x - 1\)
Hướng dẫn giải
a. Hàm số \(y = 1 - \sin5x\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{2\pi}{5}\).
b. Hàm số \(y = \cos^{2}x - 1 = \frac{\cos2x- 1}{2}\)tuần hoàn với chu kì \(T =
\pi\) .
C. Bài tập tự rèn luyện tìm chu kì của hàm số lượng giác
Bài tập 1. Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y = - \frac{1}{2}\sin(100\pi x +
50\pi).\)
A. \(T = \frac{1}{50}.\) B. \(T = \frac{1}{100}.\) C. \(T = \frac{\pi}{50}.\) D. \(T = 200\pi^{2}.\)
Bài tập 2. Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y = 3cos(2x + 1) - 2sin\left( \frac{x}{2} -
3 \right).\)
Bài tập 3. Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y = \sin\left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) +
2cos\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right).\)
Bài tập 4: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a. \(y = \sin(2x + 1)\) b. \(y = \cos\left( \frac{1}{2} - 3x
\right)\)
Bài tập 5: Xét tính tuần hoàn và chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a. \(y = \sin\left( \frac{2x}{5}\right).\cos\left( \frac{2x}{5} \right)\) b. \(y = \cos x + \cos\left( \sqrt{3}x
\right)\)
D. Đáp án bài tập tự rèn luyện tìm chu kì của hàm số lượng giác
Bài tập 1
Hàm số \(y = - \frac{1}{2}\sin(100\pi x +
50\pi)\) tuần hoàn với chu kì \(T =
\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}.\)
Bài tập 2
Hàm số \(y = 3\cos(2x + 1)\) tuần hoàn với chu kì \(T_{1} = \frac{2\pi}{2} =
\pi.\)
Hàm số \(y = - 2\sin\left( \frac{x}{2} - 3\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T_{2}
= \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi.\)
Suy ra hàm số \(y = 3\cos(2x + 1) -2\sin\left( \frac{x}{2} - 3 \right)\) tuần hoàn với chu kì \(T = 4\pi.\)
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-----------------------------
Trên đây là toàn bộ kiến thức nền tảng và hướng dẫn chi tiết về cách tìm chu kỳ tuần hoàn của hàm số lượng giác từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng với cách trình bày dễ hiểu cùng ví dụ cụ thể, bạn có thể tự tin áp dụng kiến thức này trong các bài kiểm tra và đề thi Toán. Đừng quên lưu lại công thức, luyện tập thường xuyên và theo dõi thêm nhiều bài viết hữu ích khác trên [Tên website] để học tốt môn Toán mỗi ngày!
