VnDoc.com

Biến đổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích

Chuyên đề Phương trình lượng giác Toán 11

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải phương trình lượng giác Toán 11

A. Bài tập biến đổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích
- Dạng 1. Không có điều kiện của nghiệm
- Dạng 2. Có điều kiện của nghiệm
B. Đáp án Bài tập Biến đổi đưa về phương trình tích

Trong chương trình Toán 11, việc biến đổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích là một kỹ thuật quan trọng giúp rút gọn và giải nhanh nhiều dạng bài toán phức tạp. Đây là phương pháp thường gặp trong các bài kiểm tra và đề thi học kỳ, giúp học sinh nhận diện được biểu thức có thể tách nhân tử và áp dụng các công thức lượng giác cơ bản để đưa về dạng dễ giải hơn. Bài viết này sẽ hệ thống kiến thức lý thuyết, cung cấp phương pháp giải từng bước và bài tập vận dụng giúp bạn nắm chắc chuyên đề phương trình lượng giác Toán 11.

A. Bài tập biến đổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích

Dạng 1. Không có điều kiện của nghiệm

Câu 1. Giải phương trình $\sin3x -4\sin x\cos2x = 0.$ $\sin3x -4\sin x\cos2x = 0.$

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{k2\pi}{3} \\ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{k2\pi}{3} \\ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{k\pi}{2} \\ x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{k\pi}{2} \\ x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$

Câu 2. Tập tất cả các nghiệm của phương trình $\sin2x + 2\sin^{2}x - 6\sin x - 2\cos x + 4 = 0$ $\sin2x + 2\sin^{2}x - 6\sin x - 2\cos x + 4 = 0$ là

A. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$ $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$. B. $x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

C. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$. D. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

Dạng 2. Có điều kiện của nghiệm

Câu 3. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\cos x + cos2x + cos3x = 0$ $\cos x + cos2x + cos3x = 0$ trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là

A. $6$. B. $5$. C. $4$. D. $2$.

Câu 4. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\sin5x\cos7x = \cos4x\sin8x$ $\sin5x\cos7x = \cos4x\sin8x$ trên $(0;2\pi)$ $(0;2\pi)$ bằng

A. $\frac{19\pi}{3}$ $\frac{19\pi}{3}$. B. $\frac{9\pi}{2}$ $\frac{9\pi}{2}$. C. $5\pi$ $5\pi$. D. $7\pi$ $7\pi$.

Câu 5. Phương trình $\sin2x + 3\cos x =0$ $\sin2x + 3\cos x =0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0;\pi)$ $(0;\pi)$

A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.

Câu 6. Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;\ 13\pi\rbrack$ $\lbrack 0;\ 13\pi\rbrack$ của phương trình $2\cos^{3}x + \cos^{2}x + \cos2x = 0$ $2\cos^{3}x + \cos^{2}x + \cos2x = 0$. Tính tổng các phần tử của $S$.

A. $\frac{380\pi}{3}$ $\frac{380\pi}{3}$ B. $\frac{420\pi}{3}$ $\frac{420\pi}{3}$ C. $120\pi$ $120\pi$ D. $\frac{400\pi}{3}$ $\frac{400\pi}{3}$

Câu 7. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\cos3x - \cos2x + 9\sin x - 4 = 0$ $\cos3x - \cos2x + 9\sin x - 4 = 0$ trên khoảng $(0;3\pi)$ $(0;3\pi)$ là

A. $5\pi$ $5\pi$. B. $\frac{11\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{3}$. C. $\frac{25\pi}{6}$ $\frac{25\pi}{6}$. D. $6\pi$ $6\pi$.

Câu 8. Cho phương trình $(2sinx - 1)\left( \sqrt{3}\tan x + 2sinx \right) = 3 - 4cos^{2}x$ $(2sinx - 1)\left( \sqrt{3}\tan x + 2sinx \right) = 3 - 4cos^{2}x$. Gọi $T$ là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0\ ;\ 20\pi\rbrack$ $\lbrack 0\ ;\ 20\pi\rbrack$ của phương trình trên. Tính tổng các phần tử của $T$.

A. $\frac{570}{3}\pi$ $\frac{570}{3}\pi$. B. $\frac{875}{3}\pi$ $\frac{875}{3}\pi$. C. $\frac{880}{3}\pi$ $\frac{880}{3}\pi$. D. $\frac{1150}{3}\pi$ $\frac{1150}{3}\pi$.

Câu 9. Số nghiệm của phương trình $2\sin^{2}2x + \cos2x + 1 = 0$ $2\sin^{2}2x + \cos2x + 1 = 0$ trong $\lbrack 0;2018\pi\rbrack$ $\lbrack 0;2018\pi\rbrack$ là

A. $1008$. B. $2018$. C. $2017$. D. $1009$.

Câu 10. Số nghiệm của phương trình $\sin x+ 4\cos x = 2 + \sin2x$ $\sin x+ 4\cos x = 2 + \sin2x$ trong khoảng $(0;\ 5\pi)$ $(0;\ 5\pi)$ là:

A. $5$. B. $4$. C. $3$. D. $6$.

Câu 11. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình $8cot2x\left( sin^{6}x + cos^{6}x \right) = \frac{1}{2}sin4x$ $8cot2x\left( sin^{6}x + cos^{6}x \right) = \frac{1}{2}sin4x$ trên đường tròn lượng giác là :

A. $2$. B. $4$. C. $6$. D. $0$.

Câu 12. Số nghiệm thuộc $\left\lbrack - \frac{3\pi}{2}; - \pi \right\rbrack$ $\left\lbrack - \frac{3\pi}{2}; - \pi \right\rbrack$ của phương trình $\sqrt{3}\sin x = \cos\left( \frac{3\pi}{2} - 2x \right)$ $\sqrt{3}\sin x = \cos\left( \frac{3\pi}{2} - 2x \right)$ là:

A. $3$. B. $1$. C. $2$. D. $0$.

Câu 13. Số nghiệm thuộc khoảng $\left\lbrack - \frac{4\pi}{3};\frac{\pi}{2} \right)$ $\left\lbrack - \frac{4\pi}{3};\frac{\pi}{2} \right)$ của phương trình $\cos(\pi + x) + \sqrt{3}\sin x = \sin\left( 3x - \frac{\pi}{2} \right)$ $\cos(\pi + x) + \sqrt{3}\sin x = \sin\left( 3x - \frac{\pi}{2} \right)$ là

A. $4$. B. $3$. C. $6$. D. $2$.

Câu 14. Với $- \pi < x < \pi$ $- \pi < x < \pi$ số nghiệm của phương trình $\cos x + \cos2x + \cos3x + \cos4x = 0$ $\cos x + \cos2x + \cos3x + \cos4x = 0$ là

A. $3$. B. $6$. C. $8$. D. $0$.

Câu 15. Phương trình $(1 + \cos4x)\sin 2x =3\cos^{2}2x$ $(1 + \cos4x)\sin 2x =3\cos^{2}2x$ có tổng các nghiệm trong đoạn $\lbrack 0;\pi\rbrack$ $\lbrack 0;\pi\rbrack$ là:

A. $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{3}$. B. $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$. C. $\pi$ $\pi$. D. $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{2\pi}{3}$.

B. Đáp án Bài tập Biến đổi đưa về phương trình tích

Dạng 1. Không có điều kiện của nghiệm

Câu 1.

Cách 1: ĐK: $x\mathbb{\in R}$ $x\mathbb{\in R}$ (*)

Phương trình $\Leftrightarrow \sin x\left( 3 - 4sin^{2}x \right) - 4sinxcos2x = 0$ $\Leftrightarrow \sin x\left( 3 - 4sin^{2}x \right) - 4sinxcos2x = 0$

$\Leftrightarrow \sin x\left( 3 - 4.\frac{1 - cos2x}{2} - 4cos2x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x(1 - 2cos2x) = 0$ $\Leftrightarrow \sin x\left( 3 - 4.\frac{1 - cos2x}{2} - 4cos2x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x(1 - 2cos2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 0 \\ cos2x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 0 \\ cos2x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ thỏa mãn (*).

Cách 2: Phương trình $\Leftrightarrow sin3x - 2\left( sin3x - \sin x \right) = 0$ $\Leftrightarrow sin3x - 2\left( sin3x - \sin x \right) = 0$

$\Leftrightarrow - sin3x + 2sinx = 0$ $\Leftrightarrow - sin3x + 2sinx = 0$ $\Leftrightarrow \sin x\left( 4sin^{2}x - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow \sin x\left( 4sin^{2}x - 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \sin x(1 - 2cos2x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \sin x(1 - 2cos2x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$

Câu 2.

Cách 1:

Ta có: $sin2x + 2sin^{2}x - 6sinx - 2cosx + 4 = 0$ $sin2x + 2sin^{2}x - 6sinx - 2cosx + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( 2sinx\cos x - 2cosx \right) + \left( 2sin^{2}x - 6sinx + 4 \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( 2sinx\cos x - 2cosx \right) + \left( 2sin^{2}x - 6sinx + 4 \right) = 0$

$\Leftrightarrow 2cosx\left( \sin x - 1 \right) + 2\left( \sin x - 2 \right)\left( \sin x - 1 \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2cosx\left( \sin x - 1 \right) + 2\left( \sin x - 2 \right)\left( \sin x - 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( \sin x - 1 \right)\left( \sin x + \cos x - 2 \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( \sin x - 1 \right)\left( \sin x + \cos x - 2 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 1 \\ \sin x + \cos x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}(VN) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = 1 \\ \sin x + \cos x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}(VN) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, $k\mathbb{\in Z}$ $k\mathbb{\in Z}$.

Dạng 2. Có điều kiện của nghiệm

Câu 3.

Ta có $\cos x + cos2x + cos3x = 0$ $\cos x + cos2x + cos3x = 0$

$\Leftrightarrow \left( cos3x + \cos x \right) + cos2x = 0$ $\Leftrightarrow \left( cos3x + \cos x \right) + cos2x = 0$

$\Leftrightarrow 2cos2x.cosx + cos2x = 0 \Leftrightarrow cos2x(2cosx + 1) = 0$ $\Leftrightarrow 2cos2x.cosx + cos2x = 0 \Leftrightarrow cos2x(2cosx + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = 0 \\ \cos x = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = - \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = 0 \\ \cos x = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = - \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = - \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = - \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)$

Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình $\cos x + cos2x + cos3x = 0$ $\cos x + cos2x + cos3x = 0$ trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là $6$.

Câu 4.

Ta có phương trình $sin5xcos7x = cos4xsin8x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(sin12x - sin2x) = \frac{1}{2}(sin12x + sin4x)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(sin12x - sin2x) = \frac{1}{2}(sin12x + sin4x)$

$\Leftrightarrow sin4x + sin2x = 0 \Leftrightarrow 2sin3x\cos x = 0$ $\Leftrightarrow sin4x + sin2x = 0 \Leftrightarrow 2sin3x\cos x = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin3x = 0 \\ \cos x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{k\pi}{3} \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ (I)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} sin3x = 0 \\ \cos x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{k\pi}{3} \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ (I)$.

Vì $x \in (0;2\pi)$ $x \in (0;2\pi)$nên từ $(I)$suy ra $x \in \left\{ \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right\}$ $x \in \left\{ \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \right\}$.

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \pi + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 7\pi$ $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \pi + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 7\pi$.

Câu 5.

Ta có:

$sin2x + 3cosx = 0$

$\Leftrightarrow 2sinx.cosx + 3cosx = 0$ $\Leftrightarrow 2sinx.cosx + 3cosx = 0$ $\Leftrightarrow \cos x.(2sinx + 3) = 0$ $\Leftrightarrow \cos x.(2sinx + 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi\ \ \ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right) \\ \sin x = - \frac{3}{2}\ \ \ \ \left( loai\ \ \ \ vì\ \ \ \ \ \sin x \in \lbrack - 1;1\rbrack \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi\ \ \ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right) \\ \sin x = - \frac{3}{2}\ \ \ \ \left( loai\ \ \ \ vì\ \ \ \ \ \sin x \in \lbrack - 1;1\rbrack \right) \\ \end{matrix} \right.$

Theo đề: $x \in (0;\pi) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$ $x \in (0;\pi) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.

Câu 6.

Ta có:

$2cos^{3}x + cos^{2}x + cos2x = 0$ $2cos^{3}x + cos^{2}x + cos2x = 0$

$\Leftrightarrow 2cos^{3}x + cos^{2}x + 2cos^{2}x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2cos^{3}x + cos^{2}x + 2cos^{2}x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2cos^{3}x + 3cos^{2}x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2cos^{3}x + 3cos^{2}x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \\ \cos x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \\ \cos x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}$.

Vì $x \in \lbrack 0;\ 13\pi\rbrack$ $x \in \lbrack 0;\ 13\pi\rbrack$ nên

$S = \{ \frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, \frac{19\pi}{3}, \frac{25\pi}{3},\frac{31\pi}{3},\frac{37\pi}{3}, \frac{5\pi}{3},$ $S = \{ \frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, \frac{19\pi}{3}, \frac{25\pi}{3},\frac{31\pi}{3},\frac{37\pi}{3}, \frac{5\pi}{3},$ $\frac{11\pi}{3},\frac{17\pi}{3},\frac{23\pi}{3},\ \frac{29\pi}{3},$ $\frac{11\pi}{3},\frac{17\pi}{3},\frac{23\pi}{3},\ \frac{29\pi}{3},$ $\frac{35\pi}{3},\pi,3\pi, 5\pi, 7\pi, 9\pi, 11\pi, 13\pi \}$ $\frac{35\pi}{3},\pi,3\pi, 5\pi, 7\pi, 9\pi, 11\pi, 13\pi \}$

Vậy tổng các phần tử của $S$ là: $\frac{400\pi}{3}$ $\frac{400\pi}{3}$.

-------------------------------------------------------------------------

Có thể thấy, việc biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích không chỉ là một kỹ năng giải toán thông thường mà còn là nền tảng để giải quyết hiệu quả nhiều dạng phương trình lượng giác khác nhau. Khi nắm vững phương pháp tách nhân tử, sử dụng công thức lượng giác và nhận biết điều kiện giải, học sinh sẽ dễ dàng xử lý được cả những bài toán có yếu tố vận dụng cao.

Ngoài ra, đây cũng là bước đệm để làm quen với những kỹ thuật giải phương trình phức tạp hơn trong lớp 12 như biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, và các bài toán kết hợp hàm số lượng giác trong hình học.

Để học tốt chuyên đề này, bạn nên luyện tập thường xuyên, chú ý đến cách phân tích biểu thức và luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải. Hãy tiếp tục theo dõi các bài viết khác trong chuyên mục Toán lớp 11 để mở rộng kiến thức và làm chủ các kỹ thuật giải phương trình lượng giác một cách toàn diện.

Tải về

Chọn file muốn tải về: