Chuyên đề Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu

Trong quá trình học Toán 11, học sinh sẽ gặp những bài phương trình lượng giác có ẩn nằm ở mẫu số – một dạng bài đòi hỏi sự cẩn trọng trong việc xét điều kiện xác định và biến đổi biểu thức. Khác với các phương trình thông thường, dạng bài này yêu cầu học sinh xác định rõ các giá trị không được nhận để tránh sai lầm khi giải. Bài viết chuyên đề phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu sẽ giúp bạn nắm chắc lý thuyết, nhận diện nhanh cấu trúc bài toán, kết hợp giải từng bước và luyện tập với bài tập có đáp án chi tiết để nâng cao kỹ năng làm bài.

A Bài tập phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu

Câu 1. Nghiệm của phương trình \(\frac{\cos\ 2x + 3sin\ x - 2}{\cos\ x} = 0\) là:

A. \(\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\).                   B. \(\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\).

C. \(\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\).                   D. \(\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\).

Câu 2. Tìm nghiệm của phương trình \(\frac{\cos x - \sqrt{3}\sin x}{2sinx - 1} = 0\).

A. \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\); \(k\mathbb{\in Z}\).                      B. \(x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi\); \(k\mathbb{\in Z}\).

C. \(x = \frac{7\pi}{6} + k\pi\); \(k\mathbb{\in Z}\).                    D. \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\); \(k\mathbb{\in Z}\).

Câu 3. Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\frac{sin2x + 2cosx - \sin x - 1}{\tan x + \sqrt{3}} = 0\) trên đường tròn lượng giác là:

A. \(4\).                   B. \(1\).                   C. \(2\).                     D. \(3\).

Câu 4. Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \(\frac{(2cosx - 1)\left( sin2x - \cos x \right)}{\sin x - 1} = 0\) trên \(\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} \right\rbrack\) ta được kết quả là:

A. \(T = \frac{2\pi}{3}\).                 B. \(T = \frac{\pi}{2}\).                   C. \(T = \pi\).                 D. \(T = \frac{\pi}{3}\).

Câu 5. Tính tổng các nghiệm thuộc \(\lbrack 0;100\pi\rbrack\) của phương trình \(\frac{3 - cos2x + sin2x - 5sinx - \cos x}{2cosx - \sqrt{3}} = 0\).

A. \(\frac{7475}{3}\pi\).                B. \(\frac{7375}{3}\pi\).               C. \(4950\pi\).                   D. \(\frac{7573}{3}\pi\).

Câu 6. Cho phương trình \(\frac{cos4x - cos2x + 2sin^{2}x}{\cos x + \sin x} = 0.\) Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

A. \(\sqrt{2}.\)                 B. \(2\sqrt{2}.\)                C. \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\)                      D. \(\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Câu 7. Số nghiệm của phương trình \(\frac{\sin xsin2x + 2\sin x\cos^{2}x + \sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} = \sqrt{3}\cos2x\) trong khoảng \(( - \pi;\pi)\) là:

A. 2.                      B. \(4\).                   C. \(3\).                         D. \(5\).

Câu 8. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(cos2x - tan^{2}x = \frac{cos^{2}x - cos^{3}x - 1}{cos^{2}x}\) trên đoạn \(\lbrack 1;70\rbrack\)

A. \(188\pi\)                 B. \(263\pi\)                    C. \(363\pi\)                     D. \(365\pi\)

Câu 9. Số nghiệm của phương trình \(\frac{sin3x + cos3x - 2\sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 1}{\sin x} = 0\) trong khoảng \(\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)\) là

A. \(2\).                   B. \(1\).                    C. \(0\).                   C. \(3\).

Câu 10. Để phương trình \(\frac{a^{2}}{1 -\tan^{2}x} = \frac{\sin^{2}x + a^{2} - 2}{\cos2x}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:

A. \(a \neq \pm \sqrt{3}\).                B. \(\left\{ \begin{matrix} |a| > 1 \\ |a| \neq \sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.\).                C. \(|a| \geq 4\).              D. \(|a| \geq 1\).

Câu 11. Các nghiệm của phương trình \(2\left( 1 + \cos x \right)\left( 1 + cot^{2}x \right) = \frac{\sin x - 1}{\sin x + \cos x}\) được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác?

A. \(3\).                  B. \(2\).                   C. \(4\).                   D. \(1\).

Câu 12. Cho phương trình \(sin^{2018}x + cos^{2018}x = 2\left( sin^{2020}x + cos^{2020}x \right)\). Tính tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0;2018)\)

A. \(\left( \frac{1285}{4} \right)^{2}\pi\).                       B. \((643)^{2}\pi\).                 C. \((642)^{2}\pi\).                 D. \(\left( \frac{1285}{2} \right)^{2}\pi\).

Câu 13. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\left( 1 + \tan\ x\tan\ \frac{x}{2} \right)\sin\ x + \cot\ x = 4\) là

A. \(- \frac{\pi}{6}\).                     B. \(\frac{\pi}{2}\).                  C. \(\frac{\pi}{6}\).                    D. \(- \frac{\pi}{2}\).

Câu 14. Phương trình \(\sin x =\dfrac{x}{2019}\) có bao nhiêu nghiệm thực?

A. \(1290\).                  B. \(1287\).                  C. \(1289\).                  D. \(1288\).

Câu 15. Phương trình \(\cos2x.\sin5x + 1 =0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2};\ 2\pi \right\rbrack\)?

A. \(4\).               B. \(3\).                     C. \(2\).                           D. \(1\).

Câu 16. Số nghiệm của phương trình: \(\sin^{2015}x - \cos^{2016}x = 2\left( \sin^{2017}x -\cos^{2018}x \right) + cos2x\) trên \(\lbrack - 10;30\rbrack\) là:

A. \(46\).                  B. \(51\).                        C. \(50\).                            D. \(44\).

B. Đáp án Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu

Câu 1.

Cách 1: Điều kiện xác định: \(\cos\ x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + l\pi\) với \(l\mathbb{\in Z}\).

Khi đó phương trình trở thành

\(\cos\ 2x + 3sin\ x - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow - 2sin^{2}\ x + 3sin\ x - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin\ x = 1\ \ \ \ (1) \\ \sin\ x = \frac{1}{2}\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.\)

Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình \((1)\). Giải phương trình \((2)\) được \(\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\)

với \(k\mathbb{\in Z}\).

Câu 2.

TXĐ: \(D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi,\frac{5\pi}{6} + k2\pi,k\mathbb{\in Z} \right\}\).

Phương trình trở thành:

\(\sqrt{3}\sin x - \cos x = 0\) \(\Leftrightarrow 2sin\left( x - \frac{\pi}{6} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)\).

Câu 3.

Điều kiện xác định: \(\tan x \neq - \sqrt{3}\).

Phương trình tương đương: \(2sinx\cos x + 2cosx - \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow (2cosx - 1)\left( \sin x + 1 \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = \frac{1}{2} \\ \sin x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\).

Do \(\tan x \neq - \sqrt{3}\) nên \(x = - \frac{\pi}{3} + k2\pi\) loại.

\(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\) biểu diễn trên đường tròn lượng giác có \(1\) điểm.

\(x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\) biểu diễn trên đường tròn lượng giác có \(1\) điểm.

Vậy có \(2\) vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Câu 4.

Điều kiện xác định \(\sin x \neq 1\).

Phương trình tương đương \((2cosx - 1)\cos x.(2sinx - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\).

Vì \(x \in \left\lbrack 0;\ \frac{\pi}{2} \right\rbrack\) và \(\sin x \neq 1\) nên \(\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} \\ x = \frac{\pi}{6} \\ \end{matrix} \right.\). Do đó \(T = \frac{\pi}{2}\).

Câu 5. Chọn A

Điều kiện xác định: \(2cosx - \sqrt{3} \neq0 \Leftrightarrow \cos x \neq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Leftrightarrow x \neq\pm \frac{\pi}{6} + l2\pi\left( l\mathbb{\in Z} \right)\).

Với \(\forall x \neq \pm \frac{\pi}{6} + l2\pi\left( l\mathbb{\in Z} \right)\) phương trình \(\frac{3 - cos2x + sin2x - 5sinx - \cos x}{2cosx - \sqrt{3}} = 0\)

\(\Leftrightarrow 3 - cos2x + sin2x - 5sinx - \cos x = 0\)

\(\Leftrightarrow 3 - 1 + 2sin^{2}x + 2sinx\cos x - 5sinx - \cos x = 0\)

\(\Leftrightarrow (2sinx\cos x - \cos x) + 2sin^{2}x - 5sinx + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \cos x(2\sin x - 1) +(2\sin^{2}x - \sin x) - (4\sin x - 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow (2\sin x - 1)(\cos x + \sin x - 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2\sin x - 1 = 0\) (vì \(\cos x + \sin x - 2 = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) - 2 \leq \sqrt{2} - 2 < 0\))

\(\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \left( k\mathbb{\in Z} \right)\)

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right)\).

Mà \(x \in \lbrack 0;100\pi\rbrack \Rightarrow 0 \leq \frac{5\pi}{6} + k2\pi \leq 100\pi \Leftrightarrow - \frac{5}{12} \leq k \leq \frac{595}{12}\)

\(k\mathbb{\in Z \Rightarrow}k = 0;1;2;3;...;49.\)

Vậy tổng các nghiệm thuộc \(\lbrack 0;100\pi\rbrack\) của phương trình bằng \(\sum_{k = 0}^{49}\left( \frac{5\pi}{6} + k2\pi \right) = \frac{7475\pi}{3}.\)

---------------------------------------------------------

Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu là một chuyên đề không chỉ quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, mà còn giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng đặt điều kiện xác định và biến đổi biểu thức chính xác. Khi làm chủ được kỹ thuật giải loại bài này, bạn sẽ tránh được các lỗi sai phổ biến như quên loại nghiệm, thiếu điều kiện hoặc sai khi nhân với biểu thức chứa ẩn.

Việc luyện tập thường xuyên với bài tập có đáp án giúp học sinh tự kiểm tra được kết quả và hiểu rõ từng bước biến đổi, từ đó củng cố kiến thức chắc chắn hơn. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra cuối kỳ, bài thi thử hoặc các đề thi chọn học sinh giỏi.

Đừng quên tiếp tục mở rộng kiến thức với các chuyên đề lượng giác khác trong chương trình Toán 11 để có cái nhìn toàn diện và trang bị nền tảng vững chắc cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới. Hãy chủ động luyện tập, ghi chú các phương pháp đặc trưng, và tận dụng tối đa các tài liệu có hướng dẫn cụ thể như bài viết này.