Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giới hạn một bên

Công thức tính giới hạn

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn một bên của hàm số Toán 11

Giới hạn phải, giới hạn trái
Bài tập minh họa tính giới hạn một bên

Trong chương trình Toán 11, giới hạn một bên của hàm số là kiến thức nền tảng giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính liên tục và giới hạn tổng quát. Việc nắm vững công thức và phương pháp tính giới hạn một bên sẽ giúp bạn giải quyết nhanh nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Giới hạn phải, giới hạn trái

Giả sử hàm số xác định trên khoảng $\left( x_{0};b \right)$ , $\left( x_{0} \in R \right)$ . Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên phải là số thực khi dần đến $x_{0}$ (hoặc tại điểm $x_{0}$ ) nếu với mọi dãy số bất kì $\left( x_{n} \right)$ những số thuộc khoảng $\left( x_{0};b \right)$ mà $\lim x_{n} = x_{0}$ ta đều có $\lim f\left( x_{n} \right) = L$ . Khi đó ta viết

$\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = L$ hoặc $f(x) \rightarrow L$ khi $x \rightarrow {x_{0}}^{+}$ .

Giả sử hàm số xác định trên khoảng $\left( a;x_{0} \right)$ , $\left( x_{0} \in R \right)$ . Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực khi dần đến $x_{0}$ (hoặc tại điểm $x_{0}$ ) nếu với mọi dãy bất kì $\left( x_{n} \right)$ những số thuộc khoảng $\left( a;x_{0} \right)$ mà $\lim x_{n} = x_{0}$ ta đều có $\lim f\left( x_{n} \right) = L$ . Khi đó ta viết

$\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = L$ hoặc $f(x) \rightarrow L$ khi $x \rightarrow {x_{0}}^{-}$ .

Các định nghĩa $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = + \infty$ , $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = - \infty$ , $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = - \infty$ được phát biểu tương tự
Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay $x \rightarrow x_{0}$ bởi $x \rightarrow {x_{0}}^{-}$ hoặc $x \rightarrow {x_{0}}^{+}$ .
$\lim_{x \rightarrow x_{o}}f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow {x_{o}}^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow {x_{o}}^{-}}f(x) = L$

Bài tập minh họa tính giới hạn một bên

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính giới hạn sau: $\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}\frac{\sqrt{3x^{2} + 1} - x}{x - 1}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}\frac{\sqrt{3x^{2} + 1} - x}{x - 1} = \frac{\sqrt{4} + 1}{- 1 - 1} = - \frac{3}{2}$ .

Bài 2. Tính giới hạn sau: $\lim_{x \rightarrow 3}\frac{- 3x + 4}{x - 2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \rightarrow 3}\frac{- 3x + 4}{x - 2} = \frac{- 3.3 + 4}{3 - 2} = - 5$ .

Bài 3. Tính giới hạn sau: $\lim_{x \rightarrow 4}\frac{x^{5} - 3x^{2} + 2x - 1}{4 - 2x}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \rightarrow 4}\frac{x^{5} - 3x^{2} + 2x - 1}{4 - 2x} = \frac{4^{5} - 3.4^{2} + 2.4 - 1}{4 - 2.4} = - \frac{983}{4}$ .

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Chọn khẳng định đúng:

A. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x)$

B. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = L$

C. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = L$

D. $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = L$

Câu 2. Cho hàm số thỏa mãn $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}f(x) = 5$ và $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = - 5$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\lim_{x \rightarrow 3}f(x) = 5$ . B. $\lim_{x \rightarrow 3}f(x) = 0$ .

C. Không tồn tại $\lim_{x \rightarrow 3}f(x)$ . D. $\lim_{x \rightarrow 3}f(x) = - 5$ .

Câu 3. Cho hàm số thỏa mãn $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = 2$ và $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = a + 1$ . Xác định giá trị của sao cho tồn tại $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ .

A. . B. . C. Không tồn tại . D. .

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{1}{x} = + \infty$ . B. $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ . C. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x^{5}} = + \infty$ . D. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x}} = + \infty$ .

Câu 5. Giới hạn $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{- 2x + 1}{x - 1}$ bằng

A. $+ \infty.$ B. $- \frac{5}{2}$ C. $\frac{2}{3}.$ D. $\frac{1}{3}.$

Câu 6. Giới hạn $\lim_{x \rightarrow 2a^{-}}\frac{1}{x - a},a \neq 0$ bằng:

A. $- \frac{1}{2a}$ . B. . C. $+ \infty$ . D. $\frac{1}{a}$ .

Câu 7. Giới hạn $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}(x - 2)\sqrt{\frac{x}{x^{2} - 4}}$ bằng:

A. $+ \infty$ . B. . C. $\frac{1}{2}$ . D. Kết quả khác.

Câu 8. Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .

A. . B. . C. $\frac{13}{2}$ . D. .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

---------------------------------------

Nắm chắc khái niệm và công thức giới hạn một bên sẽ giúp bạn xử lý hiệu quả các bài toán giới hạn trong Toán 11. Hãy luyện tập đa dạng bài tập để rèn tư duy và nâng cao kỹ năng giải toán một cách hệ thống và chính xác.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: