VnDoc.com

Giới hạn dãy phân thức (có mũ n)

Cách tính giới hạn dãy số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn dãy phân thức có mũ n Toán 11

Dạng 1. Lũy thừa
Dạng 2. Chứa căn cơ bản
Dạng 3. Chứa căn thức bậc cao

Trong chương trình Toán 11, bài toán giới hạn dãy phân thức có mũ n là dạng nâng cao, thường xuất hiện trong kiểm tra và đề thi. Việc nắm vững cách biến đổi biểu thức và lựa chọn phương pháp phù hợp sẽ giúp học sinh giải nhanh, chính xác và tránh sai sót. Bài viết này tổng hợp lý thuyết trọng tâm và bài tập minh họa, giúp bạn hiểu rõ cách tính giới hạn dãy số hiệu quả.

Dạng 1. Lũy thừa

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính giới hạn $\lim\frac{2 - 5^{n - 2}}{3^{n} + 2.5^{n}}.$

Hướng dẫn giải

Ta có : $\lim\frac{2 - 5^{n - 2}}{3^{n} + 2.5^{n}} = \lim\frac{2.\left( \frac{1}{5} \right)^{n} - \frac{1}{25}}{\left( \frac{3}{5} \right)^{n} + 2} = - \frac{1}{50}.$

Bài 2. Tính giới hạn $\lim\frac{3 - 5^{n + 2}}{4^{n + 1} + 3.5^{n}}.$

Hướng dẫn giải

Ta có :

$\lim\frac{3 - 5^{n + 2}}{4^{n +1} + 3.5^{n}} = \lim\frac{3 - 25.5^{n}}{4.4^{n} + 3.5^{n}}$ $=\lim\frac{3.\left( \frac{1}{5} \right)^{n} - 25}{4.\left( \frac{4}{5}\right)^{n} + 3} = - \frac{25}{3}.$

Bài 3. Cho các số thực thỏa $|a| < 1;\ |b| < 1$ . Tìm giới hạn $I = \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $1,a,a^{2},...,a^{n}$ là một cấp số nhân công bội nên $1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}.$

$1,b,b^{2},...,b^{n}$ là một cấp số nhân công bội nên $1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}.$

Suy ra

$I = \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}} = \lim\frac{\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}} = \frac{1 - b}{1 - a}.$

Vì $|a| < 1,\ |b| < 1$ nên $\lim a^{n + 1} = \lim b^{n} = 0.$

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Kết quả của giới hạn $\lim\frac{1}{2^{n}}$ là

A. B. C. $\frac{1}{2}.$ D. $\frac{1}{4}.$

Câu 2. Kết quả của giới hạn $\lim\frac{3^{n} - 1}{5^{n} + 1}$ là

A. B. $\frac{1}{5}.$ C. $\frac{4}{5}.$ D.

Câu 3. Kết quả của giới hạn $\lim\frac{3.2^{n} - 3^{n}}{2^{n + 1} + 3^{n + 1}}$ là

A. $- \frac{1}{3}.$ B. $\frac{1}{3}.$ C. D. $\frac{3}{2}.$

Câu 4. Kết quả của giới hạn $\lim\sqrt[4]{\frac{4^{n} + 2^{n + 1}}{3^{n} + 4^{n + 2}}}$ là

A. $\frac{1}{2}.$ B. $\frac{1}{4}.$ C. $\frac{1}{3}.$ D. $\frac{1}{16}.$

Dạng 2. Chứa căn cơ bản

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính giới hạn $L = \lim\frac{\sqrt{2n^{2} + 3n + 5} - n}{2n - 1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có

$L = \lim\frac{\sqrt{2n^{2} + 3n + 5} - n}{2n - 1}$ $= \lim\frac{n\left(\sqrt{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - 1 \right)}{n\left( 2 -\frac{1}{n} \right)}$ $= \lim\frac{\sqrt{2 + \frac{3}{n} +\frac{5}{n^{2}}} - 1}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{2}$ .

Bài 2. Tính giới hạn $L = \lim\frac{\sqrt{9n^{2} + 2n - 1} - \sqrt{4n^{2} + 1}}{1 - 3n}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có

$L = \lim\frac{\left\lbrack \sqrt{n^{2}\left( \frac{2n^{2} + 3n + 5}{n^{2}} \right)} - n \right\rbrack}{n\left( \frac{1}{n} - 3 \right)}$ $= \lim\frac{n\left( \sqrt{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - 1 \right)}{n\left( \frac{1}{n} - 3 \right)}$

$= \lim\frac{\left( \sqrt{2 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^{2}}} - 1 \right)}{\left( \frac{1}{n} - 3 \right)} = - \frac{1}{3}$

Bài 3. Tính giới hạn $L = \lim\frac{\sqrt{2n + 1} - \sqrt{n + 3}}{\sqrt{4n - 5}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có

$L = \lim\frac{\sqrt{2n + 1} - \sqrt{n +3}}{\sqrt{4n - 5}} = \lim\frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{1 +\frac{3}{n}}}{\sqrt{4 - \frac{5}{n}}}$ $= \frac{\sqrt{2 + 0} - \sqrt{1 +0}}{\sqrt{4 - 0}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ .

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. $\lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 1} - \sqrt{n + 2}}{2n - 3}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$ . B. . C. . D. $+ \infty$ .

Câu 2. Cho $I = \lim\frac{\sqrt{4n^{2} + 5} + n}{4n - \sqrt{n^{2} + 1}}$ . Khi đó giá trị của là

A. . B. $I = \frac{5}{3}$ . C. . D. $I = \frac{3}{4}$ .

Câu 3. Tìm $\lim u_{n}$ biết $u_{n} = \frac{n\sqrt{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)}}{2n^{2} + 1}$

A. $\frac{1}{2}$ . B. $+ \infty$ . C. . D. $- \infty$ .

Câu 4. Tính $\lim\sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{3} + \ldots + n^{2}}{2n(n + 7)(6n + 5)}}$ .

A. $\frac{1}{6}$ . B. $\frac{1}{2\sqrt{6}}$ . C. $\frac{1}{2}$ . D. $+ \infty$ .

Dạng 3. Chứa căn thức bậc cao

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính $\lim\left( \sqrt[3]{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1} - \sqrt{4n^{2} + n - 1} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim\left( \sqrt[3]{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1} - \sqrt{4n^{2} + n - 1} \right)$

$= \lim\left( \sqrt[3]{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1} - 2n \right) + \lim\left( 2n - \sqrt{4n^{2} + n - 1} \right)$

$= \lim\frac{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1 -8n^{3}}{\left( \sqrt[3]{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1} \right)^{2} +2n.\sqrt[3]{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1} + 4n^{2}}$ $+ \lim\frac{4n^{2} -4n^{2} - n + 1}{2n + \sqrt{4n^{2} + n - 1}}$

$= \lim\frac{- 2n^{2} + 3n - 1}{\left(\sqrt[3]{8n^{3} - 2n^{2} + 3n - 1} \right)^{2} + 2n.\sqrt[3]{8n^{3} -2n^{2} + 3n - 1} + 4n^{2}}$ $+ \lim\frac{- n + 1}{2n + \sqrt{4n^{2} + n -1}}$

$= \lim\frac{- 2 + \frac{3}{n} -\frac{1}{n^{2}}}{\left( \sqrt[3]{8 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}} -\frac{1}{n^{3}}} \right)^{2} + 2.\sqrt[3]{8 - \frac{2}{n} +\frac{3}{n^{2}} - \frac{1}{n^{3}}} + 4}$ $+ \lim\frac{- 1 + \frac{1}{n}}{2+ \sqrt{4 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}}}$

$= \frac{- 2}{\left( \sqrt[3]{8} \right)^{2} + 2.\sqrt[3]{8} + 4} + \frac{- 1}{2 + \sqrt{4}} = \frac{- 1}{6} + \frac{- 1}{4} = - \frac{5}{12}$

Bài 2. Tính $\lim\frac{n^{2} + \sqrt[3]{1 - n^{6}}}{\sqrt{4n^{4} + 1} - 2n^{2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim\frac{n^{2} + \sqrt[3]{1 - n^{6}}}{\sqrt{4n^{4} + 1} - 2n^{2}}$

$= \lim\frac{\left( n^{6} + 1 - n^{6} \right)\left( \sqrt{4n^{4} + 1} + 2n^{2} \right)}{\left( 4n^{4} + 1 - 4n^{4} \right)\left\lbrack n^{4} - n^{2}.\sqrt[3]{1 - n^{6}} + \left( \sqrt[3]{1 - n^{6}} \right)^{2} \right\rbrack}$

$= \lim\frac{\left( \sqrt{4n^{4} + 1} + 2n^{2} \right)}{\left\lbrack n^{4} - n^{2}.\sqrt[3]{1 - n^{6}} + \left( \sqrt[3]{1 - n^{6}} \right)^{2} \right\rbrack}$

$= \lim\frac{\left( \sqrt{4 + \frac{1}{n^{4}}} + 2 \right)}{\left\lbrack 1 - .\sqrt[3]{\frac{1}{n^{6}} - 1} + \left( \sqrt[3]{\frac{1}{n^{6}} - 1} \right)^{2} \right\rbrack} = \frac{4}{3}$

Bài 3. Tính $\lim\left( \sqrt{n + 2021} - \sqrt{n} \right).\sqrt{n}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\lim\left( \sqrt{n + 2021} - \sqrt{n} \right).\sqrt{n}$ $= \lim\frac{2021}{\sqrt{n + 2021} + \sqrt{n}}.\sqrt{n}$

$= \lim\frac{2021\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1 + \frac{2021}{n}} + 1 \right)}$ $= \lim\frac{2021}{\sqrt{1 + \frac{2021}{n}} + 1} = \frac{2021}{2}$

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các biến đổi sau, đâu là biến đổi đúng ?

A. $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 4n} - n \right) = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 4n} + n}{4n}$ .

B. $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 4n} - n \right) = \lim\frac{4n}{\sqrt{n^{2} + 4n} + n}$ .

C. $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 4n} - n \right) = \lim(4n)$ .

D. $\lim\left( \sqrt{n^{2} + 4n} - n \right) = \lim\frac{1}{4n}$ .

Câu 2. Tính $\lim\left( \sqrt{n^{2} + n + 1} - n \right)$ ?

A. . B. $+ \infty$ . C. . D. .

Câu 3. Biết giới hạn $\lim\left\lbrack n\sqrt{9n^{2} + 3} - \sqrt{9n^{2} + 2} \right\rbrack = \frac{a}{b}\ \ \left( a,b\mathbb{\in N} \right)$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của biểu thức $A = a^{2} + b$ là bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. Cho hai dãy số $\left( u_{n} \right)\ ,\ \left( v_{n} \right)$ thỏa mãn $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}\ ,\ \forall n \geq 1$ . Trong đó, $u_{1} = 1$ và $\left( v_{n} \right)$ là cấp số cộng có $v_{1} = 3$ , công sai là . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Tính $\lim\left( \sqrt[3]{2S_{n} - 2n^{2}} - n \right)$ .

Biết rằng:

$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ và $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

A. $+ \infty$ . B. $- \frac{2}{3}$ . C. $\frac{3}{4}$ . D. .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

-------------------------------------------------

Qua nội dung trên, bạn đã nắm được cách xử lý giới hạn dãy phân thức có mũ n bằng các phương pháp biến đổi phổ biến. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán Toán 11 và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra, kỳ thi quan trọng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: