VnDoc.com

Chuyên đề Phương trình lượng giác dạng đẳng cấp

Cách giải phương trình đẳng cấp

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải phương trình lượng giác dạng đẳng cấp

A. Bài tập Phương trình lượng giác dạng đẳng cấp
B. Đáp án Chuyên đề Phương trình đẳng cấp

Trong chương trình Toán học lớp 11, các dạng phương trình lượng giác dạng đẳng cấp thường khiến học sinh nhầm lẫn do tính chất đặc biệt trong mối quan hệ giữa các bậc của hàm lượng giác. Đây là một chuyên đề quan trọng, giúp học sinh nắm bắt sâu hơn bản chất của các hàm lượng giác khi được đưa về dạng đồng bậc. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải phương trình đẳng cấp qua lý thuyết trọng tâm, công thức áp dụng nhanh và các bài tập minh họa giúp bạn dễ dàng vận dụng vào thực tế làm bài.

A. Bài tập Phương trình lượng giác dạng đẳng cấp

Dạng 1. Không có điều kiện của nghiệm

Câu 1. Khi đặt $t = \tan x$ $t = \tan x$ thì phương trình $2sin^{2}x + 3sinx\cos x - 2cos^{2}x = 1$ $2sin^{2}x + 3sinx\cos x - 2cos^{2}x = 1$ trở thành phương trình nào sau đây?

A. $2t^{2} - 3t - 1 = 0$ $2t^{2} - 3t - 1 = 0$ B. $3t^{2} - 3t - 1 = 0$ $3t^{2} - 3t - 1 = 0$

C. $2t^{2} + 3t - 3 = 0$ $2t^{2} + 3t - 3 = 0$ D. $t^{2} + 3t - 3 = 0$ $t^{2} + 3t - 3 = 0$

Câu 2. Giải phương trình $2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 3$ $2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 3$.

A. $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$. B. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. C. $x = \frac{4\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{4\pi}{3} + k\pi$. D. $x = \frac{5\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{5\pi}{3} + k\pi$.

Câu 3. Phương trình: $3\cos^{2}4x +5\sin^{2}4x = 2 - 2\sqrt{3}\sin4x\cos4x$ $3\cos^{2}4x +5\sin^{2}4x = 2 - 2\sqrt{3}\sin4x\cos4x$ có nghiệm là:

A. $x = - \frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3}$ $x = - \frac{\pi}{18} + k\frac{\pi}{3}$. B. $x = - \frac{\pi}{24} + k\frac{\pi}{4}$ $x = - \frac{\pi}{24} + k\frac{\pi}{4}$.

C. $x = - \frac{\pi}{6} + k\pi$ $x = - \frac{\pi}{6} + k\pi$. D. $x = - \frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2}$ $x = - \frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2}$.

Câu 4. Cho phương trình $\cos^{2}x -3\sin x\cos x + 1 = 0$ $\cos^{2}x -3\sin x\cos x + 1 = 0$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu chia hai vế của phương trình cho $cos^{2}x$ $cos^{2}x$ thì ta được phương trình $\tan^{2}x - 3\tan x + 2 = 0$ $\tan^{2}x - 3\tan x + 2 = 0$.

B. Nếu chia 2 vế của phương trình cho $sin^{2}x$ $sin^{2}x$ thì ta được phương trình $2cot^{2}x + 3cotx + 1 = 0$ $2cot^{2}x + 3cotx + 1 = 0$.

C. Phương trình đã cho tương đương với $cos2x - 3sin2x + 3 = 0$.

D. $x = k\pi$ $x = k\pi$ không là nghiệm của phương trình.

Câu 5. Phương trình: $\left( \sqrt{3} + 1 \right)sin^{2}x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + \left( \sqrt{3} - 1 \right)cos^{2}x = 0$ $\left( \sqrt{3} + 1 \right)sin^{2}x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + \left( \sqrt{3} - 1 \right)cos^{2}x = 0$ có các nghiệm là:

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ (Với $\tan\alpha = 2 - \sqrt{3}$ $\tan\alpha = 2 - \sqrt{3}$). B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{8} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{8} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi \\ \end{matrix} \right.$(Với $\tan\alpha = - 1 + \sqrt{3}$ $\tan\alpha = - 1 + \sqrt{3}$).

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{8} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{8} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.$(Với $\tan\alpha = 1 - \sqrt{3}$ $\tan\alpha = 1 - \sqrt{3}$). D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \alpha + k\pi\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.$(Với $\tan\alpha = - 2 + \sqrt{3}$ $\tan\alpha = - 2 + \sqrt{3}$).

Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình $sin^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}\ cos^{2}x = \sqrt{3}$ $sin^{2}x - \left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}\ cos^{2}x = \sqrt{3}$.

A. $\sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 1$ $\sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 1$. B. $\left( \cos x - 1 \right)\left( \tan x - \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \right) = 0$ $\left( \cos x - 1 \right)\left( \tan x - \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \right) = 0$.

C. $\left( \tan x + 2 + \sqrt{3} \right)\left( cos^{2}x - 1 \right) = 0$ $\left( \tan x + 2 + \sqrt{3} \right)\left( cos^{2}x - 1 \right) = 0$. D. $\sin x = 0$ $\sin x = 0$.

Câu 7. Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $2sin^{2}x + 3\sqrt{3}\sin x\cos x - cos^{2}x = 2$ $2sin^{2}x + 3\sqrt{3}\sin x\cos x - cos^{2}x = 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left\{ \frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12} \right\} \subset S.$ $\left\{ \frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12} \right\} \subset S.$ B. $\left\{ \frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6} \right\} \subset S.$ $\left\{ \frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6} \right\} \subset S.$

C. $\left\{ \frac{\pi}{3};\pi \right\} \subset S.$ $\left\{ \frac{\pi}{3};\pi \right\} \subset S.$ D. $\left\{ \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} \right\} \subset S.$ $\left\{ \frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} \right\} \subset S.$

Câu 8. Cho phương trình $\left( \sqrt{2} - 1 \right)sin^{2}x + sin2x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)cos^{2}x - \sqrt{2} = 0$ $\left( \sqrt{2} - 1 \right)sin^{2}x + sin2x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)cos^{2}x - \sqrt{2} = 0$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu chia hai vế của phương trình cho $cos^{2}x$ $cos^{2}x$ thì ta được phương trình $tan^{2}x - 2tanx - 1 = 0$ $tan^{2}x - 2tanx - 1 = 0$.

B. Nếu chia hai vế của phương trình cho $sin^{2}x$ $sin^{2}x$ thì ta được phương trình $cot^{2}x + 2cotx - 1 = 0$ $cot^{2}x + 2cotx - 1 = 0$.

C. Phương trình đã cho tương đương với $cos2x - sin2x = 1$.

D. $x = \frac{7\pi}{8}$ $x = \frac{7\pi}{8}$ là một nghiệm của phương trình.

Câu 9. Giải phương trình $2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 3$ $2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 3$.

A. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. B. $x = \frac{4\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{4\pi}{3} + k\pi$. C. $x = \frac{5\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{5\pi}{3} + k\pi$. D. $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$.

Câu 10. Phương trình $6\sin^{2}x +7\sqrt{3}\sin2x - 8\cos^{2}x = 6$ $6\sin^{2}x +7\sqrt{3}\sin2x - 8\cos^{2}x = 6$ có các nghiệm là:

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$. B. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$.

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$. D. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{8} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{8} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \\ \end{matrix} \right.$.

Câu 11. Giải phương trình $\sin^{2}x -\left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}\cos^{2}x =0.$ $\sin^{2}x -\left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}\cos^{2}x =0.$

A. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\ \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ B. $x = \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $x = \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

C. $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \\ \end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ D. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\ \left( k\mathbb{\in Z} \right).$

Câu 12. Giải phương trình $2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 3$ $2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x = 3$.

A. $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$. B. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. C. $x = \frac{4\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{4\pi}{3} + k\pi$. D. $x = \frac{5\pi}{3} + k\pi$ $x = \frac{5\pi}{3} + k\pi$.

Dạng 2 Có điều kiện của nghiệm

Câu 13. Phương trình $4\sin^{2}2x -3\sin2x\cos2x - \cos^{2}2x = 0$ $4\sin^{2}2x -3\sin2x\cos2x - \cos^{2}2x = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0;\ \pi)$ $(0;\ \pi)$?

A. $4$. B. $2$. C. $3$. D. $1$.

Câu 14. Số nghiệm của phương trình $\cos^{2}x - 3\sin x\cos x + 2\sin^{2}x = 0$ $\cos^{2}x - 3\sin x\cos x + 2\sin^{2}x = 0$ trên $( - 2\pi;2\pi)$ $( - 2\pi;2\pi)$?

A. $4$. B. $6$. C. $8$. D. $2$.

Câu 15. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $2\sin^{2}x + \left( 1 - \sqrt{3} \right)\sin x\cos x + \left( 1 - \sqrt{3} \right)\cos^{2}x = 1$ $2\sin^{2}x + \left( 1 - \sqrt{3} \right)\sin x\cos x + \left( 1 - \sqrt{3} \right)\cos^{2}x = 1$là:

A. $- \frac{2\pi}{3}$ $- \frac{2\pi}{3}$. B. $- \frac{\pi}{12}$ $- \frac{\pi}{12}$. C. $- \frac{\pi}{6}$ $- \frac{\pi}{6}$. D. $- \frac{\pi}{4}$ $- \frac{\pi}{4}$.

Câu 16. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt $4\sin^{2}x + 3\sqrt{3}\sin2x - 2\cos^{2}x =4$ $4\sin^{2}x + 3\sqrt{3}\sin2x - 2\cos^{2}x =4$ là:

A. $x = \frac{\pi}{2}$ $x = \frac{\pi}{2}$. B. $x = \frac{\pi}{6}$ $x = \frac{\pi}{6}$. C. $x = \frac{\pi}{4}$ $x = \frac{\pi}{4}$. D. $x = \frac{\pi}{3}$ $x = \frac{\pi}{3}$.

Câu 17. Gọi $x_{0}$ $x_{0}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $3\sin^{2}x +2\sin x\cos x - \cos^{2}x = 0$ $3\sin^{2}x +2\sin x\cos x - \cos^{2}x = 0$. Chọn khẳng định đúng?

A. $x_{0} \in \left( \pi;\frac{3\pi}{2} \right)$ $x_{0} \in \left( \pi;\frac{3\pi}{2} \right)$ B. $x_{0} \in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ $x_{0} \in \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)$ C. $x_{0} \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ $x_{0} \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ D. $x_{0} \in \left( \frac{3\pi}{2};2\pi \right)$ $x_{0} \in \left( \frac{3\pi}{2};2\pi \right)$

Câu 18. Phương trình $4\sin^{2}2x -3\sin2x\cos2x - \cos^{2}2x = 0$ $4\sin^{2}2x -3\sin2x\cos2x - \cos^{2}2x = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0;\pi)$ $(0;\pi)$?.

A. $1$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.

Dạng 3 Định m để phương trình có nghiệm

Câu 19. Với giá trị lớn nhất của $a$ bằng bao nhiêu để phương trình $a\sin^{2}x + 2\sin2x + 3a\cos^{2}x = 2$ $a\sin^{2}x + 2\sin2x + 3a\cos^{2}x = 2$ có nghiệm?

A. $2$. B. $\frac{11}{3}$ $\frac{11}{3}$. C. $4$. D. $\frac{8}{3}$ $\frac{8}{3}$.

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $3sin^{2}x + msin2x - 4cos^{2}x = 0$ $3sin^{2}x + msin2x - 4cos^{2}x = 0$ có nghiệm.

A. $m \in \varnothing$ $m \in \varnothing$. B. $m\mathbb{\in R}$ $m\mathbb{\in R}$. C. $m \geq 4$ $m \geq 4$. D. $m = 4$.

B. Đáp án Chuyên đề Phương trình đẳng cấp

Dạng 1 Không có điều kiện của nghiệm

Câu 1. Chọn D

Do $\cos x = 0$ $\cos x = 0$ không thỏa mãn phương trình nên chia hai vế của phương trình cho $cos^{2}x \neq 0$ $cos^{2}x \neq 0$ ta có $2tan^{2}x + 3tanx - 2 = 1 + tan^{2}x \Leftrightarrow tan^{2}x + 3tanx - 3 = 0$ $2tan^{2}x + 3tanx - 2 = 1 + tan^{2}x \Leftrightarrow tan^{2}x + 3tanx - 3 = 0$

Đặt $t = \tan x$ $t = \tan x$ thì ta có phương trình $t^{2} + 3t - 3 = 0$ $t^{2} + 3t - 3 = 0$.

Câu 2.

Cách 1: Xét $\cos x = 0:$ $\cos x = 0:$ Phương trình tương đương $2 = 3(ktm)$

Xét $\cos x \neq 0$ $\cos x \neq 0$, chia cả hai vế cho $cos^{2}x$ $cos^{2}x$ ta có:

$2tan^{2}x + 2\sqrt{3}\tan x = 3\left( tan^{2}x + 1 \right) \Leftrightarrow tan^{2}x - 2\sqrt{3}\tan x + 3 = 0$ $2tan^{2}x + 2\sqrt{3}\tan x = 3\left( tan^{2}x + 1 \right) \Leftrightarrow tan^{2}x - 2\sqrt{3}\tan x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow \tan x = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi,k \in \mathbb{Z}$

Cách 2: Phương trình $\Leftrightarrow - \left( 1 - 2sin^{2}x \right) + \sqrt{3}sin2x = 2$ $\Leftrightarrow - \left( 1 - 2sin^{2}x \right) + \sqrt{3}sin2x = 2$

$\Leftrightarrow 2sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) = 2 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi$ $\Leftrightarrow 2sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) = 2 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

Câu 3. Chọn B

Ta có:

$3cos^{2}4x + 5sin^{2}4x = 2 - 2\sqrt{3}sin4xcos4x$ $3cos^{2}4x + 5sin^{2}4x = 2 - 2\sqrt{3}sin4xcos4x$

$\Leftrightarrow 3\frac{1 + cos8x}{2} + 5\frac{1 - cos8x}{2} = 2 - \sqrt{3}sin8x$ $\Leftrightarrow 3\frac{1 + cos8x}{2} + 5\frac{1 - cos8x}{2} = 2 - \sqrt{3}sin8x$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}sin8x - cos8x = - 2$ $\Leftrightarrow \sqrt{3}sin8x - cos8x = - 2$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sin8x - \frac{1}{2}cos8x = - 1$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sin8x - \frac{1}{2}cos8x = - 1$

$\Leftrightarrow sin8x\cos\frac{\pi}{6} - cos8x\sin\frac{\pi}{6} = - 1$ $\Leftrightarrow sin8x\cos\frac{\pi}{6} - cos8x\sin\frac{\pi}{6} = - 1$

$\Leftrightarrow \sin\left( 8x - \frac{\pi}{6} \right) = - 1$ $\Leftrightarrow \sin\left( 8x - \frac{\pi}{6} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow 8x - \frac{\pi}{6} = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{24} + k\frac{\pi}{4}\left( k\mathbb{\in Z} \right).$ $\Leftrightarrow 8x - \frac{\pi}{6} = - \frac{\pi}{2} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} \right) \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{24} + k\frac{\pi}{4}\left( k\mathbb{\in Z} \right).$

----------------------------------------------------

Như vậy, chuyên đề phương trình lượng giác dạng đẳng cấp không chỉ cung cấp cho bạn phương pháp giải một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, mà còn giúp bạn rèn luyện tư duy biến đổi biểu thức lượng giác linh hoạt. Qua việc hiểu rõ bản chất của các phương trình đẳng cấp – nơi các hàm lượng giác được nâng lên lũy thừa đồng bậc – học sinh có thể xử lý bài toán nhanh hơn, chính xác hơn.

Hãy thường xuyên luyện tập với nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, ghi nhớ các công thức lượng giác cơ bản, đặc biệt là các kỹ thuật đưa phương trình về dạng thuần nhất hoặc thay ẩn để rút gọn bài toán. Đây sẽ là chìa khóa giúp bạn tự tin bước vào các kỳ thi học kỳ, thi thử hoặc thi tốt nghiệp THPT. Nếu bạn đang tìm kiếm cách học phương trình lượng giác hiệu quả, đừng quên theo dõi thêm các bài viết chuyên sâu khác trong chuyên mục Toán 11 của chúng tôi!

Tải về

Chọn file muốn tải về: