Các quy tắc tính xác suất cần nhớ trong Toán 11

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất là một trong những nội dung quan trọng, giúp học sinh hiểu và áp dụng các quy tắc xác định khả năng xảy ra của các biến cố. Để làm tốt các bài tập xác suất, việc ghi nhớ và vận dụng đúng các quy tắc tính xác suất cơ bản như quy tắc cộng, quy tắc nhân, xác suất biến cố đối, xác suất hợp – giao các biến cố là điều không thể thiếu. Bài viết này sẽ hệ thống hóa đầy đủ và dễ hiểu nhất các quy tắc tính xác suất quan trọng trong Toán 11, kèm theo ví dụ minh họa giúp bạn học nhanh – nhớ lâu.

A. Công thức cộng xác suất

B. Công thức nhân xác suất

C. Các dạng bài tập xác suất

Bài 1. Một xưởng sản xuất có hai động cơ chạy độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,7 và 0,8. Tính xác suất của biến cố $C$: "Cả hai động cơ đều chạy tốt".

Hướng dẫn giải

Xét biến cố $A$: "Động cơ I chạy tốt", ta có: $P(A)=0,7$.

Xét biến cố $B$: "Động cơ II chạy tốt", ta có: $P(B)=0,8$.

Ta thấy $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập và $C=A\cap B$.

Suy ra $P(C)=P(A\cap B)=P(A).P(B)=0,7.0,8=0,56$.

Bài 2. Trong một giải bóng đá có hai đội Tín Phát và An Bình ở hai bảng khác nhau. Mỗi bảng chọn ra một đội để vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua vòng bảng của hai đội Tín Phát và $An$ Bình lần lượt là 0,6 và 0,7. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $A$: "Cả hai đội Tín Phát và An Bình lọt vào vòng chung kết";

b) $B$: "Có ít nhất một đội lọt vào vòng chung kết";

c) $C$: "Chỉ có đội Tín Phát lọt vào vòng chung kết".

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố:

E: "Đội Tín Phát lọt vào vòng chung kết";

G: "Đội An Bình lọt vào vòng chung kết".

Vì hai đội ở hai bảng khác nhau nên hai biến cố $E$ và $G$ là hai biến cố độc lập, ta có: $P(E)=0,6$ và $P(G)=0,7$.

a) Vì $A=E\cap G$ nên $P(A)=P(E\cap G)=P(E).P(G)$$=0,6\cdot 0,7=0,42$.

b) Vì $B=E\cup G$ nên $P(B)=P(E\cup G)$$=P(E)+P(G)-P(E\cap G)$$=0,6+0,7-0,42=0,88.$

c) Xét biến cố đối $\bar{G}$ của biến cố $G$. Ta có: $P\left(\bar{G}\right)=1-P(G)=1-0,7=0,3$.

Vì $E$ và $\bar{G}$ là hai biến cố độc lập và $C=E\cap \bar{G}$ nên

$P(C)=P(E\cap \bar{G})=P(E)\cdot P\left(\bar{G}\right)=0,6\cdot 0,3=0,18.$

Bài 3. Một công ty đón đoàn khách bao gồm khách đến từ nước Anh và khách đến từ nước Pháp. Công ty chọn 3 cán bộ phiên dịch từ một nhóm cán bộ phiên dịch có 19 người, trong đó có 10 cán bộ phiên dịch tiếng Anh và 9 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, mỗi người chỉ phiên dịch được một thứ tiếng.

a) Công ty có bao nhiêu cách chọn 3 cán bộ sao cho có cả cán bộ phiên dịch tiếng Anh và cán bộ phiên dịch tiếng Pháp?

b) Tính xác suất của biến cố "Trong 3 cán bộ được chọn có cả cán bộ phiên dịch tiếng Anh và cán bộ phiên dịch tiếng Pháp".

Hướng dẫn giải

a) Xét các biến cố:

$A$: "Trong 3 cán bộ được chọn có cả cán bộ phiên dịch tiếng Anh và cán bộ phiên dịch tiếng Pháp".

$B$: "Trong 3 cán bộ được chọn có 1 cán bộ phiên dịch tiếng Anh và 2 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp".

C: "Trong 3 cán bộ được chọn có 2 cán bộ phiên dịch tiếng Anh và 1 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp".

Ta có: $A=B\cup C,B\cap C=\varnothing$, suy ra $n(A)=n(B)+n(C)$.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là $n(B)=C_{10}^1\cdot C_9^2=360$.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là $n(C)=C_9^1\cdot C_{10}^2=405$.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $n(A)=n(B)+n(C)=360+405=765$.

Vậy công ty có 765 cách chọn 3 cán bộ sao cho có cả cán bộ phiên dịch tiếng Anh và cán bộ phiên dịch tiếng Pháp

b) Mỗi cách chọn 3 cán bộ từ 19 cán bộ phiên dịch cho ta một tổ hợp chập 3 của 19 phần tử. Do đó, không gian mẫu $\mathrm{\Omega }$ gồm các tổ hợp chập 3 của 19 phần tử và $n(\mathrm{\Omega })=C_{19}^3=969$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{765}{969}=\frac{15}{19}$.

Bài 4. Hai bệnh nhân cùng nhiễm một loại virus. Xác suất biến chứng nặng của bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,25; khả năng bị biến chứng nặng của hai bệnh nhân là độc lập. Tính xác suất của các biến cố:

a) $M$: "Bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai đều bị biến chứng nặng";

b) $N$: "Bệnh nhân thứ nhất không bị biến chứng nặng và bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng";

c) $Q$: "Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng và bệnh nhân thứ hai không bị biến chứng nặng";

d) $R$: "Bệnh nhân thứ nhất và bệnh nhân thứ hai đều không bị biến chứng nặng";

e) $S$: "Có ít nhất một trong hai bệnh nhân bị biến chứng nặng".

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố $A$: "Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng”;

$B$: "Bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng".

$A$ và $B$ là hai biến cố độc lập, $n(A)=0,2,n(B)=0,25$.

a) $P(M)=P(A\cap B)=0,2\cdot 0,25=0,05$.

b) $P(N)=P(\bar{A}\cap B)=0,8\cdot 0,25=0,2$.

c) $P(Q)=P(A\cap \bar{B})=0,2\cdot 0,75=0,15$.

d) $P(R)=P(\bar{A}\cap \bar{B})=0,8\cdot 0,75=0,6$.

e) $P(S)=1-P(R)=1-0,6=0,4$

D. Bài tập xác suất có lời giải

Bài 1. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích chơi cầu lông, 20 học sinh thích chơi bóng bàn, 12 học sinh thích chơi cà cầu lông và bóng bàn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất của các biến cố:

a) $A$: "Học sinh được chọn thích chơi cầu lông";

b) $B$: "Học sinh được chọn thích chơi bóng bàn";

c) $C$: "Học sinh được chọn vừa thích chơi cầu lông vừa thích chơi bóng bàn";

d) $D$: "Học sinh được chọn thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao là câu lông hoặc bóng bàn”.

Bài 2: Một nồi cơm điện gồm hai van bảo hiểm hoạt động độc lập. Xác suất hoạt động tốt của van $I$ và van $II$ lần lượt là 0,8 và 0,6. Nồi cơm điện hoạt động an toàn khi có ít nhất một van hoạt động tốt. Tính xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn.

Bài 3: Bạn Nam có 10 quyển sách sinh học, 20 quyển sách khoa học và 5 quyển sách văn học muốn mang đi quyên góp cho các thư viện gần nhà. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách để mang tới thư viện trường. Tính xác suất ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau.

Bài 4: Một câu lạc bộ cờ của trường có 10 bạn, trong đó có 4 bạn biết chơi cờ tướng, 6 bạn biết chơi cờ vua, mỗi bạn chỉ biết chơi một loại cờ. Nhà trường chọn ngẫu nhiên 4 bạn để tham gia buổi giao lưu cờ giữa các học sinh trong thành phố. Tính xác suất của biến cố "Trong 4 bạn được chọn, có ít nhất một bạn biết chơi cờ tướng, ít nhất một bạn biết chơi cờ vua”.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

----------------------------------------------------------

Việc nắm vững các quy tắc tính xác suất trong Toán 11 không chỉ giúp bạn giải quyết tốt các dạng bài tập trong chương trình phổ thông mà còn là nền tảng quan trọng cho các khối kiến thức xác suất – thống kê nâng cao. Hãy luyện tập thường xuyên và ứng dụng các công thức vừa học vào thực tế để ghi nhớ lâu hơn. Đừng quên lưu lại bài viết để ôn tập trước các kỳ thi quan trọng nhé!