Giải bài toán Min Max bằng điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất lượng giác

Giải bài toán Min Max bằng điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác là một phương pháp giải nhanh, hiệu quả và được ứng dụng nhiều trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt ở phần phương trình lượng giác. Bằng cách sử dụng điều kiện để phương trình có nghiệm, học sinh có thể xác định nhanh giá trị nhỏ nhất (Min) và lớn nhất (Max) của biểu thức lượng giác, từ đó rút gọn lời giải và tiết kiệm thời gian trong bài thi. Bài viết này nằm trong chuyên đề phương trình lượng giác Toán 11, giúp bạn nắm vững kỹ thuật quan trọng để ôn thi học kỳ hoặc chuẩn bị cho kỳ thi THPT.

Hướng dẫn giải

Ta có \(\sin x + \cos x + 2 > 0,\forall x\) nên hàm số có tập xác định là \(D\mathbb{= R}\).

Xét phương trình ẩn \(x\): \(y = \frac{\sin x + 2\cos x + 1}{\sin x + \cos x +2}\)

\(\Leftrightarrow (y - 1)\sin x + (y - 2)\cos x = 1 - 2y\).

Phương trình này có nghiệm \(\Leftrightarrow (y - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \geq (1 - 2y)^{2}\)

\(\Leftrightarrow 2y^{2} + 2y - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 1\).

Vì phương trình luôn có nghiệm, suy ra \(\left\{ \begin{matrix} \min_{x\mathbb{\in R}}y = - 2 = m \\ \max_{x\mathbb{\in R}}y = 1 = M \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow M^{2} - m^{2} = 1 - 4 = - 3\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(y = \frac{\cos x + 2\sin x + 3}{2\cos x -\sin x + 4}\) (1)

Điều kiện: \(2cosx - \sin x + 4 \neq 0\) (luôn đúng)

Gọi \(y_{o}\) là một giá trị của hàm số (1).

Khi đó: \(y_{o} = \frac{\cos x + 2\sin x +3}{2\cos x - \sin x + 4}\)

\(\Leftrightarrow \ y_{o}\left( 2\cos x -\sin x + 4 \right) = \cos x + 2\sin x + 3\)

\(\Leftrightarrow \ \left( y_{o} + 2 \right)\sin x + \left( 1 - 2y_{o} \right)\cos x = 4y_{o} - 3\) (2)

Do phương trình (2) luôn có nghiệm \(x\) nên: \(\left( 4y_{o} - 3 \right)^{2} \leq \left( y_{o} + 2 \right)^{2} + \left( 1 - 2y_{o} \right)^{2}\)

\(\begin{matrix}\Leftrightarrow \ 11{y_{o}}^{2} - 24y_{o} + 4 \leq 0 \hfill \\\Leftrightarrow \ \dfrac{2}{11} \leq y_{o} \leq 2 \hfill\end{matrix}\)

Tập giá trị của hàm số (1) là \(\left\lbrack \frac{2}{11}\ ;\ 2 \right\rbrack\).

Các giá trị nguyên là: \(1\); \(2\).

Vậy có hai giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có

\(y = \frac{\sin x + 2\cos x + 1}{\sin x + \cos x + 2}\)\(\Leftrightarrow (y - 1)\sin x + (y - 2)\cos x = 1 -2y\) \((*)\)

Phương trình \((*)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow (y - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \geq (1 - 2y)^{2}\)

\(\Leftrightarrow y^{2} + y - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq y \leq 1\).

Vậy \(m = - 2\); \(M = 1\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(P =\frac{\sin x - 2\cos x - 3}{2\sin x + \cos x - 4}\) \(\Leftrightarrow (2P - 1)\sin x+ (2 + P)\cos x + 3 - 4P = 0\)

Áp dụng điều kiện có nghiệm ta có: \((2P - 1)^{2} + (2 + P)^{2} \geq (3 - 4P)^{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{11} \leq P \leq 2\).

Hướng dẫn giải

Ta có : \(y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2} \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x + 1 - 2y = 0\).

Điều kiện phương trình \((1)\) có nghiệm là \(y^{2} + m^{2} \geq (1 - 2y)^{2}\)

\(\Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0\)

\(\Rightarrow y \leq \frac{2 + \sqrt{1 + 3m^{2}}}{3}\).

Do đó, suy ra \(\frac{2 + \sqrt{1 + 3m^{2}}}{3} < 3 \Leftrightarrow m^{2} < 16 \Leftrightarrow - 4 < m < 4\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1;2;3 \right\}\).

--------------------------------------------------------

Dạng toán tìm Min Max bằng điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác không chỉ giúp rút gọn thời gian giải mà còn thể hiện khả năng tư duy logic cao của học sinh. Việc luyện tập thường xuyên với phương pháp này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi học kỳ. Đừng quên ôn lại kiến thức về điều kiện có nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và luyện thêm bài tập để củng cố kỹ năng. Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao trong phần phương trình lượng giác Toán 11!