Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số

Toán 11 - Giới hạn của dãy số

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và chính xác hơn.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Bài 1.1 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Biết rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (v_n) với v_n=|u_n| cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không?

Giải:

Vì (u_n) có giới hạn là 0 nên |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, |v_n|=|u_n|=|u_n|. Do đó, |v_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy, (v_n) có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Bài 1.2 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Vì sao dãy số (u_n) với u_n=(−1)ⁿ không thể có giới hạn là 0 khi n→+∞?

Giải:

Vì |u_n|=∣(−1)ⁿ∣=1 nên |u_n| không thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, |u_n| không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.

Do đó, dãy số (u_n) không thể có giới hạn là 0.

Bài 1.3 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số (v_n) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số (u_n+v_n) có thể có giới hạn hữu hạn không?

Giải:

Dãy (u_n+v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại, (u_n+v_n) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số (u_n+v_n) và (u_n) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúng cũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là u_n+v_n−u_n=v_n có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết (v_n) không có giới hạn hữu hạn.

Bài 1.4 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a) Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết limu_n=−∞ và v_n≤u_n với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v_n) khi n→+∞?

b) Tìm vn với v_n=−n!

Giải :

a) Vì limu_n=−∞ nên lim(−u_n)=+∞. Do đó, (−u_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)

Mặt khác, vì v_n≤u_n với mọi n nên (−v_n)≥(−u_n) với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (−v_n) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim(−v_n)=+∞ hay limv_n=−∞

b) Xét dãy số (u_n)=−n

Ta có - n! < - n hay v_n<u_n với mọi n. Mặt khác, limu_n=lim(−n)=−∞

Từ kết quả câu a) suy ra limv_n=lim(−n!)=−∞

Bài 1.5 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi n→+∞

a) a_n=2n−3n³+1/n³+n²

b) b_n=3n³−5n+1/n²+4

c) c_n=2n√n/n²+2n−1

d) d_n=(2−3n)³(n+1)²/1−4n⁵

e) u_n=2ⁿ+1/n

f) v_n=(−√2/π)n+3ⁿ/4ⁿ

g) u_n=3ⁿ−4ⁿ+1/2.4ⁿ+2ⁿ

h) \(v_n=\frac{\sqrt{n^2+n-1}-\sqrt{4n^2-2}}{n+3}\)

Giải:

a) -3 ; b) +∞ ; c) 0 ; d) 27/4

e) lim(2ⁿ+1/n)=lim2ⁿ(1+1/n.1/2ⁿ)=+∞

f) 0; g) −1/2; h) - 1;

Bài 1.6 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau :

a) lim(n²+2n−5);

b) lim(−n³−3n²−2);

c) lim[4ⁿ+(−2)ⁿ]

d) limn\(\left(\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2+2}\right)\)

Giải:

a) +∞;

b) -∞;

c) +∞;

d) −3/2;

Bài 1.7 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu limv_n=0 và |u_n|≤v_n với mọi n thì limu_n=0

Giải:

limv_n=0⇒|v_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

Vì |u_n|≤v_n và v_n≤|v_n| với mọi n, nên |u_n|≤|v_n| với mọi n. (2)

Từ (1) và (2) suy ra |u_n| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limu_n=0

Bài 1.8 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Biết |uⁿ−2|≤1/3ⁿ. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u_n)?

Giải:

limu_n=2

Bài 1.9 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Nếu limv_n=0 và |u_n|≤v_n với mọi n thì limu_n=0. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a) u_n=1n!

b) u_n=(−1)ⁿ/2n−1

c) u_n=2−n(−1)ⁿ/1+2n²

d) u_n=(0,99)ⁿcosn

e) u_n=5ⁿ−cos√nπ

Giải:

a) Vì ∣1/n!∣<1/n với mọi n và lim 1/n=0 nên lim 1/n!=0

b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;

e) Ta có u_n=5ⁿ−cos√nπ=5ⁿ(1−cos√nπ/5ⁿ) (1)

Vì ∣cos√nπ/5ⁿ∣≤1/5ⁿ| và lim1/5ⁿ=0 nên lim cos√nπ/5ⁿ=0

Do đó, lim(1−cos√nπ/5ⁿ)=1>0 (2)

Mặt khác, lim5ⁿ=+∞ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra lim(5ⁿ−cos√nπ)=lim5ⁿ(1−cos√nπ/5ⁿ)=+∞

Bài 1.15 trang 155 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 34,121212... (chu kì là 12). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Giải:

Giải tương tự Ví dụ 13, ta có a=34,121212...=1126/33

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 bài 1: Giới hạn của dãy số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.