Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Toán 11 - Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, chắc chắn tài liệu sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3

Bài 1 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng

a) n⁵−n chia hết cho 5 với mọi n∈N∗;

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9;

c) n³−n chia hết cho 6 với mọi n∈N∗;

Giải:

a) HD: Xem ví dụ 1

b) HD: Đặt A_n=n³+(n+1)³+(n+2)³ dễ thấy A1⋮9A1⋮9

Giả sử đã có A₁⋮9 với k≥1. Ta phải chứng minh A_k+1⋮9

Tính A_k+1=A_k+9k²+27k+27

c) Làm tương tự như 1.a).

Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*

a) A_n=1/1.2.3+1/2.3.4+...+1/n(n+1)(n+2)=n(n+3)/4(n+1)(n+2)

b) B_n=1+3+6+10+...+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6

c) S_n=sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx=\(\frac{\sin\frac{nx}{2}.\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\)

Giải:

a) HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

A_k+1=A_k+1/(k+1)(k+2)(k+3)

b) HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã cho B_k=k(k+1)(k+2)/2

Ta cần chứng minh

B_k+1=(k+1)(k+2)(k+3)/2 bằng cách tính B_k+1=B_k+(k+1)(k+2)/2

c) HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã có \(S_k=\frac{\sin\frac{kx}{2}.\sin\frac{\left(k+1\right)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\)

Viết S_k+1=S_k+sin(k+1)x sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có

\(S_{_{k+1}}=\frac{\sin\frac{(k+1)x}{2}.\sin\frac{(k+2)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}\)(đpcm)

Bài 3 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) 3ⁿ⁻¹>n(n+2) với n≥4;

b) 2ⁿ⁻³>3n−1với n≥8

Giải:

a) Với n = 4 thì 3⁴⁻¹=27>4(4+2)=24

Giả sử đã có

3^k−1>k(k+2) với k≥4 (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

3.3^k−1=3^(k+1)−1>3k(k+2)

=(k+1)[(k+1)+2]+2k²+2k−3

3.3^k−1=3^(k+1)−1>3k(k+2)

=(k+1)[(k+1)+2]+2k²+2k−3

Do 2k²+2k−3>0 nên 3^(k+1)−1>(k+1)[(k+1)+2] chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1

b) Giải tương tự câu a).

Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n):

{u₁=1,u₂=2;u_n+1=2u_n−u_n−1+1 với n≥2

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số (v_n) với v_n=u_n+1−u_n. Chứng minh dãy số (v_n) là cấp số cộng;

c) Tìm công thức tính (u_n) theo n.

Giải:

a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b) Từ công thức xác định dãy số ta có

u_n+1=2u_n−u_n−1+1hay u_n+1−u_n=u_n−u_n−1+1 (1)

Vì v_n=u_n+1−u_n nên từ (1), ta có

v_n=v_n−1+1 với n≥2 (2)

Vậy (v_n) là cấp số cộng với v₁=u₂−u₁=1 công sai d = 1

c) Để tính (u_n) ta viết

v₁=1

v₂=u₃−u₂

v₃=u₄−u₃

...

v_n−2=u_n−1−u_n−2

v_n−1=u_n−u_n−1

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

v₁+v₂+...+v_n−1=1−u₂+u_n=1−2+u_n=u_n−1 suy ra

u_n=1+v₁+v₂+...+v_n−1=1+n(n−1)/2

Bài 5 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số (v_n) với v_n=u_n/n. Chứng minh dãy số (v_n) là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính (u_n) theo n.

Giải:

a) Năm số hạng đầu là 13,29,19,481,5243

b) Lập tỉ số v_n+1/v_n=u_n+1/n+1.n/u_n=u_n+1/un.n/n+1 (1)

Theo công thứcđịnh nghĩa ta có u_n+1/u_n=n+1/3n (2)

Từ (1) và (2) suy ra v_n+1/v_n=1/3 hay v_n+1=1/3vn

Vậy, dãy số (v_n) là cấp số nhân, có v₁=1/3,q=1/3

c) Để tính (u_n), ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng 1/3

v_n/v_n−1.v_n−1/v_n−2...v₃/v₂.v₂/v₁=(1/3)ⁿ⁻¹

Hay v_n/v₁=(1/3)ⁿ⁻¹, suy ra v_n=1/3(1/3)ⁿ⁻¹=1/3ⁿ

Vậy u_n=n/3ⁿ

Bài 6 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Giải:

HD: Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là u₂, ta có

u₉=u₂+7d,u₄₄=u₂+42d

Sử dụng tính chất của cấp số nhân u₂.u₄₄=u²₉ và tổng các số là 217, ta có một hệ phương trình để tìm u₂ và d.

ĐS: n = 20

Bài 7 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Giải:

ĐS: Cấp số cộng: 5, 25, 45

Cấp số nhân: 5, 15, 45

Bài 8 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.

Giải:

HD: Gọi 3 số đó là $a - d, a, a + d rồi áp dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân.

Bài 9 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi Sc là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và S_l là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng: q=Sc/Sl

Giải:

Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là u₁ và công bội là q.

Ta có

S₁=u₁+u₁q²+u₁q⁴+...(1)

S_c=u₁q+u₁q³+u₁q⁵+...(2)

Nhân hai vế của (1) với q ta có

qS₁=u₁q+u₁q³+u₁q⁵+...=Sc

Vậy q=S_c/S₁

Bài 10 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không?

Giải:

Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x - d, x, x + d

Theo giả thiết ta có (x+d)²=(x−d)²+x² (1)

Từ (1) tìm được x = 0, x = 4d

Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d. Đặc biệt, nếu d = 1 thì tam giác vuông có các cạnh là 3, 4, 5 (tam giác Ai Cập).

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.