Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Toán 11 - Phương pháp quy nạp toán học

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*)

a) 2+5+8+...+(3n−1)=n(3n+1)/2

b) 3+9+27+...+3ⁿ=1/2(3ⁿ⁺¹−3)

Giải:

a) Đặt vế trái bằng S_n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có S_k=k(3k+1)/2 với k≥1.

Ta phải chứng minh S_k+1=(k+1)(3k+4)/2

Thật vậy

S_k+1=S_k+3(k+1)−1

=k(3k+1)/2+3k+2

=3k²+k+6k+4/2

=3k²+7k+4/2

=(k+1)(3k+4)/2(đpcm)

b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).

Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

a) 1²+3²+5²+...+(2n−1)²=n(4n²−1)/3

b) 1³+2³+3³+...+n³=n²(n+1)²/4

Giải:

a) Đặt vế trái bằng S_n

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1(4.1−1)/3=1

Giả sử đã có S_k=k(4k²−1)/3 với k≥1. Ta phải chứng minh

S_k+1=(k+1)[4(k+1)²−1]/3

Thật vậy, ta có

S_k+1=S_k+[2(k+1)−1]²=S_k+(2k+1)²

=k(4k²−1)/3+(2k+1)²

=(2k+1)[k(2k−1)+3(2k+1)]/3

=(k+1)(2k2+5k+3)/3

=(k+1)(2k+3)(2k+1)/3

=(k+1)[4(k+1)²−1]/3

b) Đặt vế trái bằng A_n

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có A_k=k²(k+1)²/4,(k≥1)

Ta có:

A_k+1=A_k+(k+1)³

=k²(k+1)²/4+(k+1)³

=(k+1)²(k²+4k+4)/4

=(k+1)²(k+2)²/4

Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có

a) 2n³−3n²+n chia hết cho 6.

b) 11ⁿ⁺¹+12²ⁿ⁻¹ chia hết cho 133.

Giải:

a) HD: Đặt B_n=2n³−3n²+n tính B₁

Giả sử đã có B_k=2k³−3k²+k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh B_k+1=2(k+1)³−3(k+1)²+k chia hết cho 6.

b) Đặt A_n=11ⁿ⁺¹+12²ⁿ⁻¹ Dễ thấy A₁=133 chia hết cho 133.

Giả sử A_k=11^k+1+12^2k−1 đã có chia hết cho 133.

Ta có

A_k+1=11^k+2+12^2k+1

=11.11^k+1+12^2k−1.12²

=11.11^k+1+12^2k−1(11+133)

=11.A_k+133.12^2k−1

Vì A_k⋮133Ak⋮133 nên A_k+1⋮133

Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

a) 2ⁿ⁺²>2n+5;

b) sin²ⁿα+cos²ⁿα≤1

Giải:

a) Với n = 1 thì 2¹⁺²=8>7=2.1+5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là 2^k+2>2k+5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là 2^k+3>2(k+1)+5 hay 2^k+3>2k+7 (2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2^k+3>4k+10=2k+7+2k+3

Vì 2k+3>0 nên 2^k+3>2k+7(đpcm)

b) Với n = 1 thì sin²α+cos²α=1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có sin^2kα+cos^2kα≤1 với k≥1, ta phải chứng minh

sin^2k+2α+cos^2k+2α≤1

Thật vậy, ta có:

sin2k+2α+cos2k+2αsin2k+2α+cos2k+2α

=sin^2kα.sin²α+cos^2kα.cos²α≤sin^2kα+cos^2kα≤1

Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) 2ⁿ>2n+1

b) 2ⁿ>n²+4n+5

c) 3ⁿ>2ⁿ+7n?

Giải:

Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

Phương pháp: Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n≥3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

Với n = 3 hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì 2³ = 8 > 2.3 + 1 = 7

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là 2^k>2k+1 (1)

ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

2^k+1>2k+3 (2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2^k+1>4k+2=2k+3+2k−1>2k+3

b) HD: Dùng phép thử.

Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a).

c) Làm tương tự như câu a) và câu b).

Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho tổng

S_n=1/1.5+1/5.9+1/9.13+...+1/(4n−3)(4n+1)

a) Tính S₁,S₂,S₃,S₄

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải:

a) Tính

S₁=1/5,S₂=2/9,S₃=3/13,S₄=4/17

b) Viết lại

S₁=1/5=1/4.1+1,S₂=2/9=2/4.2+1

S₃=3/4.3+1,S₄=4/4.4+1

Ta có thể dự đoán S_n=n/4n+1

Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho n số thực a₁,a₂,...,a_n thoả mãn điều kiện

−1<a_i≤0 với i=1, n¯

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

(1+a₁)(1+a₂)...(1+a_n)≥1+a₁+a₂+...+an

Giải:

Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là

(1+a₁)(1+a₂)...(1+a_k)≥1+a₁+a₂+...+ak (1)

Nhân hai vế của (1) với 1+a_k+1 ta được

(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k)(1+a_k+1)≥(1+a₁+a₂+…+a_n)(1+a_k+1)

=1+a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a₁a_k+1+a₂a_k+1+…+a_ka_k+1

Vì a₁a_k+1+a₂a_k+1+...+a_k.a_k+1>0 nên

(1+a₁)(1+a₂)...(1+a_k)(1+a_k+1)≥1+a₁+a₂+...+a_k+a_k+1, nghĩa là bất đẳng thức đúng với n=k+1.

Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với các số thực a₁,a₂,a₃,...,a_n(n∈N∗), ta có

Giải:

Với n = 1 thì |a₁|=|a₁|

Với n = 2 thì |a₁+a₂|≤|a₁|+|a₂|. Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc và dấu bằng xảy ra khi a₁,a₂$ cùng dấu.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2. Đặt a₁+a₂+...+ak=A ta có

|A|≤|a₁|+|a₂|+...+|ak| (1)

Mà |A+a_k+1|≤|A|+|a_k+1|≤|a₁|+|a₂|+...+|ak|+|a_k+1|

Nên |a₁+a₂+...+ak+a_k+1|≤|a₁|+|a₂|+...+|ak|+|a_k+1|, tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.