1 phần x đạo hàm? Cách đạo hàm phân thức
1/x đạo hàm bằng bao nhiêu? Cách đạo hàm phân số
Toán 11: Đạo hàm phân thức vừa được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
A. 1/x đạo hàm ra gì?
Đáp án: 
\(\left( \frac{1}{x} \right)' =
\frac{- 1}{x^{2}}\)
B. Đạo hàm phân thức
Để tính đạo hàm phân thức ta sử dụng chung một công thức
\(\left( \frac{u}{v} \right)' =
\frac{u'.v - v'.u}{v^{2}}\)
Công thức đặc biệt: \(\left( \frac{1}{x}
\right)' = \frac{- 1}{x^{2}};\left( \frac{1}{u} \right)' = -
\frac{u'}{u^{2}};\left( \frac{k}{u} \right)' = -
\frac{ku'}{u^{2}}\)
Thật vậy, áp dụng công thức chia ta tính đạo hàm 1/x như sau:
\(\left( \frac{1}{x} \right)' =
\frac{(1)'.x - 1.(x)'}{x^{2}} = \frac{- 1}{x^{2}}\)
Từ đó suy ra:
2/x đạo hàm
\(\left( \frac{2}{x} \right)' =
\frac{- 2}{x^{2}}\)
4/x đạo hàm
\(\left( \frac{4}{x} \right)' =
\frac{- 4}{x^{2}}\)
5/x đạo hàm
\(\left( \frac{5}{x} \right)' =
\frac{5}{x^{2}}\)
Mở rộng, ta có công thức hàm hợp: \(\left(
\frac{1}{u} \right)' = - \frac{u'}{u^{2}}\)
B. Cách tính nhanh đạo hàm phân thức
Cách đạo hàm nhanh bậc 1/ bậc 1
\(y = \frac{ax + b}{cx + d} \Rightarrow
y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^{2}}\)
Cách đạo hàm nhanh bậc 2/ bậc 1
\(y = \frac{ax^{2} + bx + c}{dx + e}
\Rightarrow y' = \frac{adx^{2} + 2aex + be - cd}{(dx +
e)^{2}}\)
Cách đạo hàm nhanh bậc 2/ bậc 2
\(y = \frac{a_{1}x^{2} + b_{1}x +
c_{1}}{a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}}\)
\(\Rightarrow y' = \frac{\left|
\begin{matrix}
a_{1} & b_{1} \\
a_{2} & b_{2} \\
\end{matrix} \right|x^{2} + 2\left| \begin{matrix}
a_{1} & c_{1} \\
a_{2} & c_{2} \\
\end{matrix} \right|x + \left| \begin{matrix}
b_{1} & c_{1} \\
b_{2} & c_{2} \\
\end{matrix} \right|}{\left( a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}
\right)^{2}}\)
\(\Rightarrow y' = \frac{\left(
a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \right)x^{2} + 2\left( a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1}
\right)x + b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}}{\left( a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}
\right)^{2}}\)
C. Bài tập đạo hàm phân thức
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:
| a. \(y = \frac{3x - 2}{x -
1}\) |
b. \(y = \frac{x + 5}{2x +
3}\) |
c. \(y = \frac{x - 1}{x^{2} +
1}\) |
Hướng dẫn giải
a. \(y' = \frac{3.( - 1) - ( - 2).1}{(x
- 1)^{2}} = \frac{- 1}{(x - 1)^{2}}\)
b. \(y' = \frac{1.3 - 5.2}{(2x +
3)^{2}} = \frac{- 7}{(2x + 3)^{2}}\)
c. \(y' = \frac{(x - 1)'\left(
x^{2} + 1 \right) - (x - 1)\left( x^{2} + 1 \right)'}{\left( x^{2} +
1 \right)^{2}}\)
\(y' = \frac{x^{2} + 1 - 2x.(x -
1)}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}}\)
\(y' = \frac{- x^{2} + 2x + 1}{\left(
x^{2} + 1 \right)^{2}}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y =
\frac{3x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + x + 2}\)?
Hướng dẫn giải
\(y = \frac{3x^{2} - 2x + 1}{x^{2} + x +
2} \Rightarrow y' = \frac{\left| \begin{matrix}
3 & - 2 \\
1 & 1 \\
\end{matrix} \right| + 2\left| \begin{matrix}
3 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{matrix} \right|x + \left| \begin{matrix}
- 2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{matrix} \right|}{\left( x^{2} + x + 2 \right)^{2}} = \frac{5x^{2} +
10x - 5}{\left( x^{2} + x + 2 \right)^{2}}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y =
\frac{3x^{2} - 2x + 1}{x + 2}\)?
Hướng dẫn giải
\(y = \frac{3x^{2} - 2x + 1}{x + 2}
\Rightarrow y' = \frac{3.1x^{2} + 2.3.2x + ( - 2).2 - 1.1}{(x +
2)^{2}} = \frac{3x^{2} + 12x - 5}{(x + 2)^{2}}\)
