Biến cố giao

Trong xác suất thống kê, khái niệm biến cố giao là một trong những nền tảng quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến cố. Biến cố giao thể hiện khả năng hai hay nhiều biến cố cùng xảy ra đồng thời – một yếu tố then chốt khi áp dụng công thức nhân xác suất. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ biến cố giao là gì, cách biểu diễn, đặc điểm, và ví dụ minh họa cụ thể để dễ hình dung và ghi nhớ.

A. Biến cố giao là gì?

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó \(A,B\) là các tập con của không gian mẫu \(\Omega\).

Đặt \(D = A \cap B\), ta có \(D\) là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\), ki hiệu là \(A \cap B\) hay \(AB\).

Điều kiện xảy ra biến cố giao

Biến cố giao xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra đồng thời.

B. Bài tập biến cố giao

Câu 1: Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

\(A\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ";

\(B\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ".

Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây:

a) Biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ hoặc số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ”.

b) Biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ và số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là số lẻ".

c) Biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là "Tích số chấm xuất hiện ở hai lần gieo là số lẻ".

d) Biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là "Tích số chấm xuất hiện ở hai lần gieo là số chẵn".

Hướng dẫn giải

Phát biểu a) sai

Phát biểu b) đúng

Phát biểu c) đúng

Phát biểu d) sai.

Câu 2: Một hộp đựng 70 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi \(A\) là biến cố: "a là ước của 28 ", \(B\) là biến cố: "a là ước của 70". Xét biến cố \(C\): "a là ước của 14". Chứng tỏ \(C\) là biến cố giao của \(A\) và \(B\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(A = \left\{ 1;2;4;7;14;28 \right\}\)\(;B = \left\{ 1;2;5;7;10;14;35;70 \right\}\)\(;C = \left\{ 1;2;7;14 \right\}\).

Khi đó ta có \(A \cap B = \left\{ 1;2;7;14 \right\}\).

Vậy \(C\) là biến cố giao của \(A\) và \(B\).

Câu 3: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa";

\(B\): "Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa";

\(C\): "Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”;

\(D\): "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa".

Trong hai biến cố \(C,\ D\) biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố \(A,B\)? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố \(A,B\)?

Hướng dẫn giải

Biến cố giao \((A \cap B)\): "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa". \((D)\) là kết quả của việc giao của hai biến cố \(A\ và\ B\), tức là ít nhất một trong \(A\) hoặc \(B\) xảy ra.

Câu 4. Hai vận động viên bắn súng \(A\) và \(B\) mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia một cách độc lập. Xét các biến cố sau:

\(M\): “Vận động viên \(A\) bắn trúng vòng 10”;

\(N\): “Vận động viên \(B\) bắn trủng vòng 10”.

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo biến cố \(M\) và \(N\):

\(C:\) "Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10";

\(D:\) "Cả hai vận động viên bắn trúng vòng 10 ";

\(E\): "Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng 10 ";

\(F:\) "Vận động viên \(A\) bắn trúng và vận động viên \(B\) không bắn trúng vòng 10";

\(G:\) "Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10 ".

Hướng dẫn giải

Biến cố \(C\) có thể biểu diễn là: \(\overline{\left( \overline{M} \cap \overline{N} \right)} = M \cup N\).

Biến cố \(D\) có thể biểu diễn là: \(M \cap N\).

Biến cố \(E\) có thể biểu diễn là: \(\overline{M} \cap \overline{N}\).

Biến cố \(F\) có thể biểu diễn là: \(M \cap \overline{N}\).

Biến cố \(G\) có thể biểu diễn là: \(\left( M \cap \overline{N} \right) \cup \left( \overline{M} \cap N \right)\).

---------------------------------

Nắm vững kiến thức về biến cố giao không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán xác suất mà còn tăng khả năng tư duy logic khi xử lý các tình huống có điều kiện đồng thời xảy ra. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ khái niệm, ý nghĩa và cách áp dụng biến cố giao trong thực tế và bài tập. Nếu còn câu hỏi nào, đừng ngại để lại bình luận – mình sẽ hỗ trợ thêm!