Làm sao để xác định hai biến cố xung khắc?

Trong lý thuyết xác suất, việc xác định xem hai biến cố có xung khắc hay không là bước quan trọng để vận dụng đúng công thức tính xác suất. Biến cố xung khắc là hai biến cố không thể xảy ra đồng thời – điều này ảnh hưởng trực tiếp đến cách tính toán và phân tích kết quả. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, cách nhận biết, và phương pháp xác định hai biến cố xung khắc thông qua định nghĩa, biểu thức toán học và ví dụ minh họa.

A. Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó \(A,B\) là các tập con của không gian mẫu \(\Omega\).

Nếu \(A \cap B = \varnothing\) thì \(A\) và \(B\) gọi là hai biến cố xung khắc.

B. Bài tập xác định biến cố xung khắc

Câu 1: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

\(A\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4";

\(B\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4";

\(C\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4".

Trong các biến cố trên, hãy tìm cặp biến cố xung khắc.

Hướng dẫn giải

Cặp biến cố xung khắc là \(A\ và\ C\), vì nếu \(A\) xảy ra thì \(C\) không thể xảy ra, và ngược lại, nếu \(C\) xảy ra thì \(A\) không thể xảy ra.

Câu 2: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xét các biến cố:

\(A\): "Đồng xu xuất hiện mặt sấp \((S)\) ở lần tung thứ nhất";

\(B\): "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa \((N)\) ở lần tung thứ nhất".

Hai biến cố trên có xung khắc hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \{ SSS\); SSN; SNS; SNN \(\},B = \left\{ NSS;NSN;NNS;NNN \right\}\).

Suy ra \(A \cap B = \varnothing\). Do đó \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc.

Câu 3: Một ban văn nghệ có 20 người, trong đó có 8 nam và 12 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 người để tập múa. Xét các biến cố sau:

M: "Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3";

\(N\): "Trong 5 người được chọn, số nữ nhỏ hơn 3";

\(P\): "Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3 ".

Trong ba biến cố \(M,N,P\), hai biến cố nào là xung khắc?

Hướng dẫn giải

Biến cố \(M\) và biến cố \(P\) là xung khắc

Câu 4: Hộp thứ nhất chứa 3 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 3. Hộp thứ hai chứa 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 thẻ. Gọi A là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ bằng 6”, B là biến cố “Tích các số ghi trên 2 thẻ là số lẻ”.

a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB

b) Hãy tìm một biến cố khác rỗng và xung khắc với cả hai biến cố A và B.

Hướng dẫn giải

a) \(A = \left\{ (1;5);(2;4);(3;3) \right\},B = \left\{ (1;1);(1;3);(1;5);(3;1);(3;3);(3;5) \right\}\)

\(AB = \left\{ (1;5);(3;3) \right\}\)

b) \(D = \left\{ (1;2);(2;2);(3;2) \right\}\): "Hộp thứ 2 lấy ra được thẻ đánh số 2".

Câu 5. a. Một hộp chứa 4 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. Các cây bút có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên 3 cây bút từ hộp. Gọi \(A\) là biến “Có 1 cây bút đỏ trong 3 cây bút được lấy ra”. Gọi \(B\) là biến cố “Có 1 cây bút đen trong 3 cây bút được lấy ra”.

Hãy tìm một biến cố xung khắc với biến cố \(A\) nhưng không xung khắc với biến cố \(B\).

b. Một hộp chứa 4 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. Các cây bút có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên 3 cây bút từ hộp. Gọi \(A\) là biến “Có 1 cây bút đỏ trong 3 cây bút được lấy ra”. Gọi \(B\) là biến cố “Có 1 cây bút đen trong 3 cây bút được lấy ra”. Tìm một biến cố xung khắc với biến cố \(A\) nhưng không xung khắc với biến cố \(B\).

Hướng dẫn giải

a. Biến cố “Lấy ra được 1 bút đen và 2 bút xanh” xung khắc với biến cố \(A\) nhưng không xung khắc với biến cố \(B\).

b. Biến cố “Lấy ra được 1 bút đen và 2 bút xanh” xung khắc với biến cố \(A\) nhưng không xung khắc với biến cố \(B\).

------------------------------------------------

Việc hiểu và xác định đúng biến cố xung khắc sẽ giúp bạn tránh được sai lầm khi áp dụng công thức xác suất và giải bài tập thực tế. Qua bài viết này, bạn đã nắm được cách kiểm tra hai biến cố có xung khắc hay không bằng định nghĩa và ví dụ trực quan. Hãy luyện tập thêm các bài toán xác suất và theo dõi những nội dung tiếp theo để củng cố kỹ năng của mình nhé!