Bài toán tính tổng các số từ tập hợp các chữ số cho trước
Cách tính nhanh tổng các số từ tổ hợp chữ số
Trong chuyên đề tổ hợp – hoán vị – chỉnh hợp thuộc chương trình Toán lớp 11, một dạng bài khá thú vị nhưng cũng không kém phần thử thách chính là bài toán tính tổng các số tạo được từ một tập hợp chữ số cho trước. Dạng toán này thường gắn với yêu cầu lập tất cả các số tự nhiên có thể có từ một tập hợp số nhất định, sau đó tính tổng các số đó một cách nhanh gọn, không cần liệt kê.
Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán lập số và tính tổng bằng phương pháp hoán vị, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp bạn hiểu sâu bản chất vấn đề và áp dụng hiệu quả trong thi cử.
Dạng 1. Tính tổng các số lập được từ tập hợp không chứa chữ số 0
Bài 1. Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập thành từ 6 chữ số 
\(1;3;4;5;7;8\)?
Hướng dẫn giải
Gọi số có 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là:
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 +
a_{5}\)
Khi chữ số 1 nằm ở vị trí hàng đơn vị \(a_{5} = 1\)
Suy ra \(a_{5}\) có 1 cách chọn, số \(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\) có \(5!\) cách chọn.
Vậy có \(1.5! = 120\) số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 1.
Lập luận tương tự ta cũng có
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 3.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 1\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
3;4;5;7;8 \right\}\): có 120 số dạng này.
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 4
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 4\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
1;3;5;7;8 \right\}\): có 120 số dạng này
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 5.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 5\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
1;3;4;7;8 \right\}\): có 120 số dạng này.
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 7.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 7\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
1;3;4;5;8 \right\}\): có 120 số dạng này
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 8.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 8\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
1;3;4;5;7 \right\}\): có 120 số dạng này.
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập được mà chữ số hàng đơn vị lần lượt là 1;3;4;5;7;8 là:
\(\begin{bmatrix}
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).10^{4} + (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).10^{3} + \\
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).10^{2} + (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).10 + (1 + 3 + 4
+ 5 + 7 + 8).1
\end{bmatrix}.120\)
\(= (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).\left( 10^{4} +
10^{3} + 10^{2} + 10 + 1 \right).120 = 37332960\).
Bài 2. Cho \(A = \left\{ 1;2;3;4;5;6
\right\}\). Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ tập A.
Hướng dẫn giải
Gọi số có 4 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đã cho là: \(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}} = a_{1}.10^{3} +
a_{2}.10^{2} + a_{3}.10^{1} + a_{4}\)
Khi chữ số 1 nằm ở vị trí hàng đơn vị \(a_{4} = 1\)
Suy ra \(a_{4}\) có 1 cách chọn, số \(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}\) có 5! cách chọn.
Vậy có \(1.5! = 120\) số có 4 chữ số khác nhau và chữ số hàng đơn vị là 1.
Lập luận tương tự ta cũng có
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 2.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}} =
a_{1}.10^{3} + a_{2}.10^{2} + a_{3}.10^{1} + 2\) với \(a_{1};a_{2};a_{3} \in \left\{ 1;3;4;5;6
\right\}\): có 120 số dạng này.
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 3
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}} =
a_{1}.10^{3} + a_{2}.10^{2} + a_{3}.10^{1} + 3\) với \(a_{1};a_{2};a_{3} \in \left\{ 1;2;4;5;6
\right\}\): có 120 số dạng này
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 4.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}} =
a_{1}.10^{3} + a_{2}.10^{2} + a_{3}.10^{1} + 4\) với \(a_{1};a_{2};a_{3} \in \left\{ 1;2;3;5;6
\right\}\): có 120 số dạng này.
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 5.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}} =
a_{1}.10^{3} + a_{2}.10^{2} + a_{3}.10^{1} + 5\) với \(a_{1};a_{2};a_{3} \in \left\{ 1;2;3;4;6
\right\}\): có 120 số dạng này
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 6.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}} =
a_{1}.10^{3} + a_{2}.10^{2} + a_{3}.10^{1} + 6\) với \(a_{1};a_{2};a_{3} \in \left\{ 1;2;3;4;5
\right\}\): có 120 số dạng này.
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập được mà chữ số hàng đơn vị lần lượt là \(1;2;3;4;5;6\) là:
\(\begin{bmatrix}
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6).10^{4} + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6).10^{3} + \\
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6).10^{2} + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6).10 + (1 + 2 + 3
+ 4 + 5 + 6).1
\end{bmatrix}.120\)
\(= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6).\left( 10^{3} +
10^{2} + 10 + 1 \right).120 = 2799720\).
Dạng 2. Tính tổng các số lập được từ tập hợp chứa chữ số 0
Bài 1. Cho \(A = \left\{ 0;1;2;3;4;5
\right\}\). Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập được từ tập hợp A.
Cách làm: Coi vai trò của số 0 như số khác nghĩa là khi số 0 đứng đầu ta chứ coi như nó có nghĩa. Tính được tổng tương ứng. Tới đây lại tính tổng tất cả các số có 4 chữ số khác nhau lập từ tập hợp các chữ số \(\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\)(chính là số có 5 chữ số mà 0 là số đứng đầu), lấy tổng trên từ tổng dưới là ra kết quả cần tìm.
Hướng dẫn giải
Gọi số có 5 chữ số khác nhau lập từ tập hợp A đã cho là:
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 7\)
Khi chữ số 0 nằm ở vị trí hàng đơn vị \(a_{5} = 0\)
Suy ra \(a_{5}\) có 1 cách chọn, số \(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}\) có 5! Cách chọn
Lập luận tương tự ta cũng có
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 1.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 1\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
0;2;3;4;5 \right\}\): có 120 số dạng này.
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 2
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 4\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
0;1;3;4;5 \right\}\): có 120 số dạng này
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 3.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 5\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
0;1;2;4;5 \right\}\): có 120 số dạng này.
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 4.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 7\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
0;1;2;3;5 \right\}\): có 120 số dạng này
120 số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị là 5.
\(\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}} =
a_{1}.10^{4} + a_{2}.10^{3} + a_{3}.10^{2} + a_{4}.10 + 8\) với \(a_{1};a_{2};a_{3};a_{4} \in \left\{
0;1;2;3;4 \right\}\): có 120 số dạng này.
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập được mà chữ số hàng đơn vị lần lượt là \(\left\{
0;1;2;3;4;5 \right\}\) là:
\(S = \begin{bmatrix}
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5).10^{4} + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5).10^{3} + \\
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5).10^{2} + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5).10 + (0 + 1 + 2
+ 3 + 4 + 5).1
\end{bmatrix}.120\)
\(= (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5).\left( 10^{4} +
10^{3} + 10^{2} + 10 + 1 \right).120 = 19.990.800\).
Tuy nhiên trong tổng trên đã vô tình có tính cả số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà chữ số đứng đầu \(a_{1} =
0\) (thực chất đó chỉ là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau).
Vậy ta cần lấy kết quả trên từ đi tổng các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập nên từ các chữ số \(\left\{
1;2;3;4;5 \right\}\)
Thật vậy, gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ \(\left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\) là:
\(\overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}} =
b_{1}.10^{3} + b_{2}.10^{2} + b_{3}.10 + b_{4}\).
Khi chữ số 1 nằm ở vị trí hàng đơn vị ta có \(b_{4} = 1\)
Suy ra \(b_{4}\) có 1 cách chọn, số \(\overline{b_{1}b_{2}b_{3}}\) có \(4!\) cách chọn.
Vậy có \(1.4! = 24\) số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 1.
Lập luận tương tự ta cũng có
24 số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 2.
24 số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 3
24 số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 4
24 số có 4 chữ số khác nhau mà chữ số hàng đơn vị bằng 5
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số hàng đơn vị lần lượt là \(\left\{ 1;2;3;4;5
\right\}\) là: \(S_{1} = (1 + 2 + 3 + 4
+ 5)\left( 10^{3} + 10^{2} + 10 + 1 \right).24 = 399.960\)
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A là:
\(S_{2} = S - S_{1} = 19.990.800 - 399.960
= 19.599.840\).
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu
-----------------------------------------------------
Qua các ví dụ và bài tập đã trình bày, có thể thấy bài toán tính tổng các số từ tập hợp các chữ số cho trước là dạng toán có tính ứng dụng cao, thường xuyên xuất hiện trong đề thi kiểm tra và đề thi THPT.
Nếu bạn nắm vững quy tắc hoán vị, cách tính tổng chữ số theo vị trí, và hiểu rõ bản chất tổ hợp hoán vị, bạn hoàn toàn có thể giải nhanh các bài toán tưởng chừng phức tạp này mà không cần liệt kê từng số một.
Hãy tiếp tục luyện tập thêm với các biến thể như: tính tổng các số chẵn/lẻ lập được, tổng các số chia hết cho 5, 9,…, hoặc lập số có chữ số đứng đầu khác 0 để thành thạo hơn nữa.
Đừng quên theo dõi các chuyên đề Toán 11 khác như chỉnh hợp có lặp, xác suất cổ điển, để bổ sung toàn diện kiến thức cho kỳ thi sắp tới. Chúc bạn học tốt!
