Bài toán lập số tự nhiên lớp 11
Bài tập lập số từ các chữ số cho trước
Trong chương trình Toán lớp 11, bài toán lập số tự nhiên là một ứng dụng phổ biến của các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Đây là dạng bài đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt quy tắc đếm để lập các số thỏa mãn điều kiện cho trước như: số có bao nhiêu chữ số, không lặp chữ số, chia hết cho một số nào đó, v.v.
Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống hóa các dạng bài toán lập số tự nhiên lớp 11 kèm theo bài tập vận dụng có lời giải chi tiết, hỗ trợ bạn nắm vững kiến thức và sẵn sàng chinh phục mọi đề thi kiểm tra hay kỳ thi THPT Quốc gia.
A. Đề bài các bài toán về lập số chọn số
Bài 1. Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 và chữ số 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số 2, 3, 4, 5 đều có mặt đúng 1 lần?
Bài 2. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
a) Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ số sao cho chữ số 5 có mặt 3 lần, chữ số 6 có mặt 4 lần, còn lại các chữ số khác có mặt 1 lần?
b) Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho có 1 chữ số lặp lại 4 lần, một chữ số khác lặp lại 2 lần và một chữ số khác với hai số trên?
Bài 3. Từ các chữ số 
\(0,1,2,3,4,5\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
Bài 4. Từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?
Bài 5. Từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5,6\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn \(25000\)?
Bài 6. Từ 3 chữ số \(2;3;4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ cả 3 chữ số trên?
\(2; 3 ;4\). Với các số \(0,1,2,3,4,5\) có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không qua 1 lần?
Bài 9. Từ các chữ số \(0;1;2;...;9\) có thể lập đực bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1?
Bài 10. Biển số xe là 1 dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau: Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Có bao nhiêu biển số xe có 2 chữ cái khác nhau, đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó giống nhau?
B. Hướng dẫn giải chi tiết các bài toán lập số chọn số
Bài 1
Chọn vị trí để xếp chữ số 1 có mặt 2 lần có \(C_{8}^{2}\) các
Chọn vị trí để xếp chữ số 6 có mặt 2 lần có \(C_{6}^{2}\) cách
4 vị trí còn lại cho 4 chữ số còn lại có 4! Cách
Vậy có \(C_{8}^{2}.C_{6}^{2}.4! =
10.080\) cách
Bài 2
a. Chữ số 5 có mặt 3 lần trong số có 12 chữ số nên có \(C_{12}^{3}\) cách chọn cho vị trí chữ số 5.
Chữ số 6 có mặt 4 lần trong số 12 – 3 = 9 vị trí còn lại nên có \(C_{9}^{4}\) cách chọn vị trí cho chữ số 6.
Còn 5 chữ số cuối cùng xếp vào 5 vị trí còn lại nên có 5! cách.
Vậy có \(C_{12}^{3}.C_{9}^{4}.5! =
3.326.400\) cách.
b. Có \(C_{7}^{4}\) cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại 4 lần. Tuy nhiên vì chữ số lặp lại 4 lần này ta chưa biết là số nào nên có 7 trường hợp xảy ra. Vậy có \(7.C_{7}^{4}\) cách.
Có \(C_{3}^{2}\) cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại 2 lần. Tuy nhiên vì chữ số lặp lại 2 lần này ta chưa biết là số nào nên có 6 trường hợp xảy ra. Vậy có \(6.C_{3}^{2}\) cách.
Còn 5 chữ số cuối cùng chỉ có thể xuất hiện 1 lần nên có 5 cách chọn.
Vậy có \(7.C_{7}^{4}.6.C_{3}^{2}.5 =
22050\) số.
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu
----------------------------------------
Qua những ví dụ và bài tập đã trình bày, bạn có thể thấy rằng bài toán lập số tự nhiên lớp 11 không hề phức tạp nếu nắm chắc kiến thức về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Dạng toán này giúp bạn phát triển tư duy logic và phản xạ nhanh trong các bài toán đếm có điều kiện.
Hãy tiếp tục luyện tập với các dạng bài nâng cao như lập số chia hết cho 5, chia hết cho 3, hoặc lập số từ các chữ số lẻ, chẵn, không trùng nhau,... để thành thạo hơn nữa.
Đừng quên theo dõi các chuyên đề tiếp theo về toán tổ hợp – xác suất, nhị thức Newton, và nhiều chuyên đề quan trọng khác trong chương trình Toán 11. Chúc bạn học tốt!
