Tìm m để y' < 0

Bài tập Toán 11: Tìm m trong đạo hàm

Trong chuyên đề đạo hàm và bất phương trình của chương trình Toán 11, bài toán tìm m để y' < 0 là dạng toán quen thuộc, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi cũng như thi THPT Quốc gia. Đây là dạng bài tập liên quan đến tham số m trong hàm số, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm, dấu của đạo hàm và bất phương trình để tìm điều kiện của m. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách giải, kèm bài tập đạo hàm chứa tham số m có đáp án giúp bạn luyện tập hiệu quả và ghi nhớ lâu.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 3\left\lbrack (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \right\rbrack\)

Do đó \(y' \geq 0 \Leftrightarrow (m - 1)x^{2} - 2(m + 2)x - 2(m + 2) \geq 0\)

\(m = 1\) thì bất phương trình \(\Leftrightarrow - 6x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1\) nên \(m = 1\)

\(m \neq 1\) thì đúng với \(\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ (m + 1)(4 - m) \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 4\)

Vậy \(m \geq 4\) là những giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = mx^{2} - 2mx + 3m - 1\)

Nên \(y' \leq 0 \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + 3m - 1 \leq 0\)

\(m = 0\) thì trở thành: \(- 1 \leq 0\) đúng với \(\forall x\mathbb{\in R}\)

\(m \neq 0\), khi đó đúng với \(\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m(1 - 2m) \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ 1 - 2m \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 0\)

Vậy \(m \leq 0\) là những giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Chọn A

TXĐ: \(D\mathbb{= R}\)

Ta có: \(f'(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{f(x)}{\sqrt{x^{2} + 1}}\)

Mặt khác: \(f(x) > x + \sqrt{x^{2}} = x + |x| \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}\)

Nên \(2xf'(x) - f(x) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2xf(x)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - f(x) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2x \geq \sqrt{x^{2} + 1}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x^{2} \geq 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Hướng dẫn giải

Chọn A

TXĐ: \(D = \lbrack - 2;2\rbrack\)

Ta có: \(f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\)

\(\Rightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} > x\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x < 0 \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} > x^{2} \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x < 0 \\ 0 \leq x < \sqrt{2} \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow - 2 \leq x < \sqrt{2}\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(- 2 \leq x < \sqrt{2}\).

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:\(f'(x) = \left( \frac{1 - 3x + x^{2}}{x - 1} \right)'\)

\(= \frac{\left( 1 - 3x + x^{2} \right)'(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)(x - 1)'}{(x - 1)^{2}}\)

\(= \frac{( - 3 + 2x)(x - 1) - \left( 1 - 3x + x^{2} \right)}{(x - 1)^{2}}\)

\(= \frac{x^{2} - 2x + 2}{(x - 1)^{2}}\)

\(= \frac{(x - 1)^{2} + 1}{(x - 1)^{2}} > 0,\forall x \neq 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) > 0\) là: \(S\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 \right\}\).

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện: \(x^{2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty;\ 0) \cup (2;\ + \infty)\).

Ta có \(y' = \frac{2x - 2}{- \left(x^{2} - 2x \right)\ln3}\)

\(y' > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2x - 2}{- \left(x^{2} - 2x \right)\ln3} > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty;0) \cup(1;2)\).

So điều kiện \(\Rightarrow\) \(x \in ( - \infty;\ 0)\).

Hướng dẫn giải

Chọn C

Tập xác đinh \(D\mathbb{= R}\)

\(f'(x) = \frac{4x - 4}{x^{2} - 2x + 4}\ln\left( x^{2} - 2x + 4 \right)\)

\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow (4x - 4)\ln\left( x^{2} - 2x + 4 \right) > 0\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x - 1 > 0 \\ \ln\left( x^{2} - 2x + 4 \right) > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x - 1 < 0 \\ \ln\left( x^{2} - 2x + 4 \right) < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > 1 \\ x^{2} - 2x + 4 > 1 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ x^{2} - 2x + 4 < 1 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > 1 \\ x^{2} - 2x + 3 > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ x^{2} - 2x + 3 < 0 \end{matrix} \right.\ (VN) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x > 1\)

Vậy để \(f'(x) > 0\) thì \(x > 1\).

----------------------------------------------

Dạng toán tìm m để y' < 0 không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng xử lý phương trình và bất phương trình, mà còn củng cố tư duy về ý nghĩa của đạo hàm và sự biến thiên của hàm số. Với phần lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập đạo hàm chứa tham số m kèm đáp án chi tiết ở trên, bạn hoàn toàn có thể tự ôn luyện và nâng cao khả năng giải toán. Hãy thường xuyên thực hành nhiều dạng bài tương tự để làm quen với các tình huống biến đổi tham số, từ đó tăng tốc độ và độ chính xác khi làm bài trong các kỳ thi quan trọng.