Cách chứng minh các đẳng thức đạo hàm
Bài tập chứng minh đẳng thức đạo hàm (có đáp án)
Trong chương trình Toán 11, đạo hàm không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức để tính, mà còn mở rộng sang các bài toán chứng minh các đẳng thức đạo hàm. Đây là dạng bài giúp học sinh hiểu rõ bản chất của đạo hàm, vận dụng linh hoạt các quy tắc và công thức, đồng thời rèn luyện kỹ năng biến đổi và lập luận chặt chẽ. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách chứng minh các đẳng thức đạo hàm, kèm Chuyên đề Đạo hàm Toán 11 có đáp án để bạn luyện tập và củng cố kiến thức một cách hiệu quả.
Bài tập 1. Cho hàm số 
\(y = f(x) = \left( 1
- 2x^{2} \right)\sqrt{1 + 2x^{2}}\). Ta xét hai mệnh đề sau:
\((I)\) \(f'(x) = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2}
\right)}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}\)
\((II)\) \(f(x).f'(x) = 2x\left( 12x^{4} - 4x^{2} - 1
\right)\)
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ \((II)\). B. Chỉ \((I)\). C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
\(f'(x) = \left( 1 - 2x^{2}
\right)'\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 - 2x^{2} \right)\left( \sqrt{1
+ 2x^{2}} \right)'\)
\(= - 4x\sqrt{1 + 2x^{2}} + \left( 1 -
2x^{2} \right)\frac{2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}\)
\(= \frac{- 4x\left( 1 + 2x^{2} \right) +
\left( 1 - 2x^{2} \right).2x}{\sqrt{1 + 2x^{2}}}\)
\(= \frac{- 2x - 12x^{3}}{\sqrt{1 +
2x^{2}}} = \frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 +
2x^{2}}}\)
Suy ra
\(f(x).f'(x) = \left( 1 - 2x^{2}
\right)\sqrt{1 + 2x^{2}}.\frac{- 2x\left( 1 + 6x^{2} \right)}{\sqrt{1 +
2x^{2}}}\)
\(= - 2x\left( 1 - 2x^{2} \right)\left( 1
+ 6x^{2} \right)\)
\(= - 2x\left( - 12x^{4} + 4x^{2} + 1
\right)\)
\(= 2x\left( 12x^{4} - 4x^{2} - 1
\right)\)
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = \ln\frac{1}{x +
1}\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. \(xy' + 1 = e^{y}\) B. \(xy' - 1 = - e^y\)
C. \(xy' + 1 = - e^{y}\) D. \(xy' - 1 = e^{y}\)
Hướng dẫn giải
Chọn A
\(y = - \ln(x + 1) \Rightarrow y' = -
\frac{1}{x + 1}\)
Ta có: \(xy' + 1 = x\left( - \frac{1}{x
+ 1} \right) + 1 = \frac{1}{x + 1}\)
\(e^{y} = e^{\ln\frac{1}{x + 1}} =
\frac{1}{x + 1}\)
Bài tập 3. Cho hàm số \(y =
\ln\frac{1}{x}\). Hệ thức nào sau đây đúng?
A. \(e^{y} + y' = 0\) B. \(e^{y} - y' = 0\) C. \(e^{y}.y' = 0\) D. \(e^{y}.y' = \frac{1}{x^2}\)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có \(y' = \frac{1}{\frac{1}{x}} =
\left( \frac{1}{x} \right)^{/} = x.\left( - \frac{1}{x^{2}} \right) = -
\frac{1}{x}\)
\(e^{y} = \ln e^{\frac{1}{x}} =
\frac{1}{x} \Rightarrow y' + e^{y} = 0\)
Bài tập 4. Cho hàm số \(y = - 2017e^{- x} -
3.e^{- 2x}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(y'' + 3y' + 2y = -
2017\). B. \(y'' + 3y' + 2y
= - 3\).
C. \(y'' + 3y' + 2y =0\). D. \(y'' + 3y' + 2y =
2\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đạo hàm cấp một: \(y' = 2017e^{- x} +
6e^{- 2x}\).
Đạo hàm cấp hai: \(y'' = - 2017e^{-
x} - 12e^{- 2x}\).
Khi đó
\(y'' + 3y'+ 2y\)
\(= - 2017e^{- x} - 12e^{- 2x} + 3\left(
2017e^{- x} + 6e^{- 2x} \right) + 2\left( - 2017e^{- x} - 3.e^{- 2x}
\right) = 0\)
Bài tập 5. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định bởi công thức \(f(x) =\sin2x\). Chọn hệ thức đúng?
A. \(y'' + (y')^{2} =
4\) B. \(y = y'.\tan2x\)
C. \(4y - y'' = 0\) C. \(4y + y'' = 0\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y' = 2.\cos2x \Rightarrow y''= - 4.\sin2x\)
\(\Rightarrow 4y + y'' = 4.\sin2x -4.\sin2x = 0\)
Bài tập 6. Cho hàm số \(y = f(x) = \sqrt{1
+ 3x - x^{2}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. \((y')^{2} + y.y'' = -
1\) B. \((y')^{2} + 2y.y''
= 1\)
C. \(y.y'' - (y')^{2} =
1\) D. \((y')^{2} + y.y'' =
1\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y = f(x) = \sqrt{1 + 3x -
x^{2}}\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
y^{2} = 1 + 3x - x^{2} \\
y' = \frac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}}
\end{matrix} \right.\)
Ta có:
\(2.y.y'' = 2.\sqrt{1 + 3x -
x^{2}}.\left( \frac{- 2x + 3}{2\sqrt{1 + 3x - x^{2}}} \right) = 3 -
2x\)
\(\Rightarrow 2(y')^{2} +
2y.y'' = - 2\)
\(\Rightarrow (y')^{2} + y.y''
= - 1\)
-----------------------------------------------------------------
Việc nắm vững cách chứng minh các đẳng thức đạo hàm sẽ giúp bạn tự tin hơn khi gặp những bài toán nâng cao hoặc cần chứng minh trong các kỳ thi. Với phần hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa và hệ thống bài tập chuyên đề Đạo hàm Toán 11 kèm đáp án được trình bày ở trên, bạn hoàn toàn có thể tự học, tự kiểm tra và nâng cao kỹ năng giải toán. Hãy luyện tập thường xuyên, kết hợp nhiều phương pháp biến đổi khác nhau để thành thạo dạng toán này và sẵn sàng chinh phục những thử thách khó hơn trong chương trình THPT.
