Cách tính đạo hàm tại 1 điểm

Trong chương trình Toán 11, đạo hàm là một trong những kiến thức quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Cách tính đạo hàm tại một điểm không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trên lớp, mà còn là kỹ năng cần thiết khi ôn thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT hay các kỳ thi học sinh giỏi. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu công thức, các bước tính đạo hàm tại một điểm, kèm theo bài tập đạo hàm Toán 11 có đáp án để bạn dễ dàng luyện tập và nắm chắc kiến thức.

A. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

Hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \((a,b)\), được gọi là có đạo hàm tại \(x_{0} \in (a,b)\)

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_{0}\). Ta kí hiệu là \(f'\left( x_{0} \right)\) (hoặc \(y'\left( x_{0} \right)\)) tức là:

\(f'\left( x_{0} \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\)

B. Các bước tính đạo hàm

Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_{0} \in (a,b)\) ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính \(f(x) - f\left( x_{0} \right)\)

Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\) với \(x \in (a,b),x \neq x_{0}\)

Bước 3: Tính giới hạn \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}\)

C. Bài tập ví dụ minh họa tính đạo hàm tại một điểm

Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x) = \ln\left( \cos x \right)\). Tính giá trị \(f'\left( - \frac{\pi}{4} \right)\)?

A. \(f'\left( - \frac{\pi}{4} \right) = 0\)                    B. \(f'\left( - \frac{\pi}{4} \right) = - 1\)

C. \(f'\left( - \frac{\pi}{4} \right) = 1\)                    D. \(f'\left( - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(f'(x) = \left\lbrack \ln\left( \cos x \right) \right\rbrack'\)

\(= \frac{\left( \cos x \right)'}{\cos x} = \frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x\)

\(\Rightarrow f'\left( - \frac{\pi}{4} \right) = - \tan\left( - \frac{\pi}{4} \right) = - 1\).

Vậy \(f'\left( - \frac{\pi}{4} \right) = - 1\).

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x) = \ln\left( \cos x + m^{2} + 1 \right)\). Biết \(f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = - \frac{1}{5}\). Xác định giá trị của tham số \(m\)?

A. \(m = \pm 2\)            B. \(m = \pm 1\)             C. \(m = \frac{1}{2}\)                D. \(m = 0\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(f'(x) = \frac{- \sin x}{\cos x + 1 + m^{2}}\)

Lại có: \(f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = - \frac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow - \frac{1}{1 + m^{2}} = - \frac{1}{5} \Leftrightarrow m = \pm 2\).

Vậy tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = \pm 2\).

Ví dụ 3. Cho hàm số \(f(x) = ax^{3} + \frac{b}{x}\). Biết \(\left\{ \begin{matrix} f'(1) = 1 \\ f'( - 2) = - 2 \end{matrix} \right.\). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x = \sqrt{2}\)?

A. \(\frac{12}{5}\)               B. \(\frac{- 2}{5}\)                C. \(2\)                    D. \(\frac{- 1}{5}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(f'(x) = 3ax^{2} - \frac{b}{x^{2}}\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(1) = 3a - b \\ f'( - 2) = 12a - \frac{b}{4} \end{matrix} \right.\) kết hợp với \(\left\{ \begin{matrix} f'(1) = 1 \\ f'( - 2) = - 2 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a - b = 1 \\ 12a - \frac{b}{4} = - 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{5} \\ b = - \frac{8}{5} \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow f'\left( \sqrt{2} \right) = 6a - \frac{b}{2} = - \frac{2}{5}\).

Vậy đạo hàm của hàm số tại điểm \(x = \sqrt{2}\) bằng \(- \frac{2}{5}\).

Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = 2^{x^{2} - mx + 1}\). Với giá trị nào của tham số m thì \(y'(0) = ln2\)?

A. \(m = - \frac{1}{2}\)             B. \(m = \frac{1}{2}\)                 C. \(m = 2\)                 D. \(m = - 2\)

Hướng dẫn giải:

Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)

Ta có: \(y = 2^{x^{2} - mx + 1}\)

\(\Rightarrow y' = \left( x^{2} - mx + 1 \right)'.2^{x^{2} - mx + 1}.ln2\)

\(\Rightarrow y' = (2x - m).2^{x^{2} - mx + 1}.ln2\)

Theo bài ra ta có:

\(y'(0) = ln2\)

\(\Leftrightarrow (2.0 - m).2^{1}.ln2 = ln2\)

\(\Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\).

Vậy với \(m = - \frac{1}{2}\)thì \(y'(0) = ln2\).

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra \(f(x) = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x}\) tại \(x_{0} = - 1\).

A. 2.                   B. 0.               C. 3.             D. Chọn khác.

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số liên tục tại \(x_{0} = - 1\) và

\(\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \frac{x^{2} + x + |x + 1|}{x(x + 1)}\)

Nên \(\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{x^{2} + 2x + 1}{x(x + 1)} = 0\)

\(\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} = \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{x(x + 1)} = 2\)

Do đó \(\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1} \neq \lim_{x \rightarrow - 1^{-}}\frac{f(x) - f( - 1)}{x + 1}\)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_{0} = - 1\).

Nhận xét: Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = x_{0}\) thì phải liên tục tại điểm đó.

Ví dụ 6. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\ - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6\ khi\ x > 2 \end{matrix} \right.\). Để hàm số này có đạo hàm tại \(x = 2\) thì giá trị của b là

A. \(b = 3\).                 B. \(b = 6\).              C. \(b = 1\).                 D. \(b = - 6\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(f(2) = 4\), \(\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}x^{2} = 4\), \(\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\left( - \frac{x^{2}}{2} + bx - 6 \right) = 2b - 8\).

\(f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2) \Leftrightarrow 2b - 8 = 4 \Leftrightarrow b = 6\).

-----------------------------------------------------

Nắm vững cách tính đạo hàm tại một điểm sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời hiểu sâu hơn về bản chất của đạo hàm. Với hệ thống bài tập đạo hàm Toán 11 kèm đáp án chi tiết được chia sẻ ở trên, bạn có thể tự luyện tập, kiểm tra kết quả và cải thiện tốc độ làm bài. Hãy thường xuyên ôn tập, kết hợp với việc áp dụng công thức và quy tắc đạo hàm một cách linh hoạt để đạt kết quả cao trong học tập và các kỳ thi. Đây chính là bước đệm quan trọng để bạn chinh phục các chủ đề khó hơn như cực trị hàm số hay khảo sát đồ thị hàm số trong chương trình THPT.