Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số
Ôn tập kiến thức Toán lớp 11
VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Các giới hạn đặc biệt
1)
0
0
lim
xx
xx
2)
0
lim
xx
CC
( C: hằng số)
3)
lim 0
k
x
c
x
(c: hằng số,
*k ¥
) 4)
1
lim 0
k
x
x
5)
lim
k
x
x
(
*k ¥
) 6)
lim
k
x
x
neu k chan
neu k le
Định lí về giới hạn ở hữu hạn
Định lí 1.
- Nếu
0
lim ( )
xx
f x L
và
0
lim ( )
xx
g x M
, thì:
0
lim . ( ) .
xx
c f x c L
(với C là hằng số)
0
lim[ ( ) ( )]
xx
f x g x L M
0
lim[ ( ) ( )]
xx
f x g x L M
0
lim[ ( ). ( )] .
xx
f x g x L M
0
()
lim
()
xx
f x L
g x M
(M
0)
0
lim ( )
xx
f x L
0
3
3
lim ( )
xx
f x L
Nếu
0
lim ( )
xx
fx
thì
0
xx
1
lim 0
f(x)
- Nếu
0fx
và
0
lim ( )
xx
f x L
thì
0L
và
0
lim ( )
xx
f x L
Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi
x
Định lí 2.
0
00
lim ( ) lim ( ) lim ( )
xx
x x x x
f x L f x f x L
Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x
0
và f, g, h là ba hàm số xác
định trên tập hợp
0
\Jx
. Nếu
f x g x h x
,
0
\x J x
và
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x L
thì
)
0
xx
lim g(x L
.
Quy tắc về giới hạn vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của tích
.f x g x
Quy tắc tìm giới hạn của thương
f(x)
g(x)
0
0
lim ( )
xx
xx
x
fx
0
0
lim ( )
xx
xx
x
gx
0
0
lim ( ). ( )
xx
xx
x
f x g x
L > 0
+
+
L < 0
+
+
0
0
lim ( )
xx
xx
x
fx
0
0
lim ( )
xx
xx
x
gx
Dấu
của
gx
0
0
()
lim
()
xx
xx
x
fx
gx
L
Tùy ý
0
L > 0
0
+
+
L < 0
0
+
+
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
2
35
lim
1
x
x
x
b)
4
1
lim
3
x
x
c)
32
3
lim( 2 1)
x
x x x
VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a)
2
35
lim
1
x
x
x
;
3
1
lim
3
x
x
b)
3
21
lim
3
x
x
x
;
3
21
lim
3
x
x
x
;
3
21
lim
3
x
x
x
c)
2
2
lim
2
x
x
x
;
2
2
lim
2
x
x
x
;
2
2
lim
2
x
x
x
Bài 3: Cho hàm số:
2
3
2 3 2
()
4 29 2
x x khi x
fx
x khi x
. Tính
2
lim ( )
x
fx
,
2
lim ( )
x
fx
và
0
lim ( )
x
fx
(nếu có)
Bài 4: Cho hàm số:
2
2 1 1
()
2 1 1
x khi x
fx
x khi x
. Tính
( 1)
lim ( )
x
fx
,
( 1)
lim ( )
x
fx
và
1
lim ( )
x
fx
(nếu có)
Bài 5: Cho hàm số:
2
4 5 2
()
7 4 2
x x khi x
fx
x a khi x
. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x 2.
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a)
52
lim
31
x
x
x
b)
32
lim( 2 1)
x
x x x
c)
42
lim( 1)
x
x x x
d)
22
2
3 5 7
lim
1
x
xx
xx
e)
2
51
lim
34
x
xx
x
f)
2
3
lim
27
x
x
xx
g)
2
lim 2 3 12
x
xx
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
lim
23
x
x x x
x
b)
2
2 7 1
lim
37
x
xx
x
c)
2
2
2 3 4
lim
4 1 1
x
x x x
xx
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
2
lim
4
x
x
x
b)
2
3
2 5 3
lim
3
x
xx
x
c)
2
2
3
43
lim
9
x
xx
x
d)
53
2
1
2
lim
1
x
xx
x
e)
54
3
1
4 5 1
lim
( 1)( 2)
x
xx
x x x
f)
1
1
lim
1
n
x
x
x
Bài 9:Tính các giới hạn sau:
a)
9
3
lim
9
x
x
x
b)
0
24
lim
x
x
x
c)
2
2
1
21
lim
x
xx
xx
d)
( 2)
8 2 2
lim
2
x
x
x
e)
2
2
1
2 1 3 1
lim
1
x
x x x
x
Bài 11:Tính các giới hạn sau:
a)
4
lim 2 3 12
x
xx
b)
2
lim 3
x
xx
c)
22
lim 4
x
x x x
d)
2
lim 1 1
x
xx
Bài 12:Tính các giới hạn sau:
a)
2
0
11
lim
x
xx
b)
2
2
11
lim
24
x
xx
VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
c)
2
1
21
lim
11
x
xx
d)
1
1
lim
11
n
x
n
xx
Bài 13:Tính các giới hạn sau:
a)
3
0
3 8 2
lim
5
x
x
x
b)
3
0
11
lim
x
x
x
c)
4
1
4 3 1
lim
1
x
x
x
d)
5
0
5 1 1
lim
x
x
x
Bài 14:Tính các giới hạn sau:
a)
3
0
2. 1 8
lim
x
xx
x
b)
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
xx
x
c)
5
4
1
2 1 2
lim
1
x
xx
x
Bài 15:Cho hai hàm số
2
2
1
()
x
fx
x
và
32
2
1
()
xx
gx
x
.
1) Tính
0
lim ( )
x
fx
,
0
lim ( )
x
gx
,
lim ( )
x
fx
,
lim ( )
x
gx
.
2) Hai đường cong sau là dồ thị của
hai hàm số đã cho. Từ kết quả
câu 1), hãy xác định xem đường
cong nào là đồ thị của hàm số
nào?
Bài 16:Cho hàm số :
2
2
2 15 12
()
54
xx
fx
xx
có đồ thị như hình vẽ.
1) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm số f(x) khi
1x
,
1x
,
4x
,
4x
,
x
và
x
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)
2
3
1
lim
1
x
x
x
2)
26
lim
4
x
x
x
3)
2
17
lim
1
x
x
4)
6
33
lim
6
x
x
x
5)
2
21
lim
3
x
xx
x
6)
1
27
lim
1
x
x
x
7)
1
27
lim
1
x
x
x
8)
4
23
lim
4
x
x
x
9)
42
lim( 1)
x
x x x
10)
32
lim( 2 3 5)
x
xx
11)
2
lim 2 5
x
xx
12)
2
1
lim
52
x
xx
x
13)
2
2
3
lim
4
x
x
xx
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
x
O
1
4
3
y
2
x
O
y
1
a)
x
O
y
1
-1
b)
Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số tóm tắt lý thuyết và một số dạng bài tập về giới hạn của hàm số, nhằm giúp các bạn học tốt môn Toán 11. Mời các bạn học sinh tham khảo.
Giới hạn của hàm số lớp 11
Bài tập trắc nghiệm về quan hệ vuông góc
Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Toán lớp 11, Đề thi học kì 1 lớp 11, Đề thi học kì 2 lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
