Cách xác định Mệnh đề tương đương kèm ví dụ và bài tập

Bài tập Toán 10: Mệnh đề tương đương - Có đáp án chi tiết

Bạn đang băn khoăn về cách xác định mệnh đề tương đương trong logic toán học? Hay bạn gặp khó khăn khi phân biệt các mệnh đề tưởng chừng giống nhau nhưng lại khác biệt về mặt tương đương? Đừng lo lắng! Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hướng dẫn chi tiết và chuẩn nhất về các phương pháp để nhận biết và xác định mệnh đề tương đương một cách chính xác. Không chỉ dừng lại ở lý thuyết, chúng tôi còn đi kèm với ví dụ minh họa rõ ràng và bộ bài tập thực hành có đáp án chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục dạng bài tập này. Hãy cùng khám phá ngay!

A. Mệnh đề tương đương

Nhận xét. Mệnh đề $P\iff Q$ đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.

Chú ý: Nếu mệnh đề $P\iff Q$ là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

Ví dụ. Cho hai mệnh đề:

$P$ : "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông";

Q: "Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P\iff Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này.

Hướng dẫn giải

Mệnh đề tương đương $P\iff Q$ : "Tứ giác $ABCD$ là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

Mệnh đề tương đương này đúng vì cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.

B. Bài tập xác định mệnh đề tương đương có đáp án

Bài 1. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

c. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

d. Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai phân giác bằng nhau và một góc bằng ${60}^0$.

Hướng dẫn giải

a. Đây là mệnh đề sai.

Gọi $A:$“Hai tam giác bằng nhau” B: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau”

Mệnh đề $A\Rightarrow B$ đúng, mệnh đề $B\Rightarrow A$ sai, do đó mệnh đề đã cho sai.

b. Mệnh đề sai, vì 2 cạnh bằng nhau chưa chắc đã tương ứng trong hai tam giác đồng dạng.

c. Mệnh đề đúng, vì góc bằng tổng hai góc còn lại vuông.

d. Mệnh đề đúng, vì 2 phân giác bằng nhau là tam giác cân.

Bài 2. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu:

a) Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng ${180}^0$.

b) $x\ge y$ nếu và chỉ nếu $\sqrt[3]{x}\ge \sqrt[3]{y}$.

c) Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó bằng ${180}^0$.

b) Điều kiện cần và đủ để $x\ge y$ là $\sqrt[3]{x}\ge \sqrt[3]{y}$.

c) Điều kiện cần và đủ để tam giác cân là hai trung tuyến của nó bằng nhau.

Bài 3. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Điều kiện cần và đủ để tứ giác T là một hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau.

b) Điều kiện cần và đủ để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là mỗi số đó chia hết cho 7.

c) Điều kiện cần để $ab>0$ là cả hai số $a$ và $b$ đều dương.

d) Điều kiện đủ để một số nguyên dương chia hết cho 3 là nó chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề sai. Sửa lại là: Điều kiện cần để tứ giác T là một hình vuông là nó có bốn cạnh bằng nhau.

b) Mệnh đề sai. Sửa lại là: Điều kiện đủ để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là mỗi số đó chia hết cho 7.

c) Mệnh đề sai. Sửa lại là: Điều kiện đủ để $ab>0$ là cả hai số $a$và $b$đều dương.

d) Mệnh đề đúng.

------------------------------------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững cách xác định mệnh đề tương đương một cách chuẩn xác và hiệu quả. Việc hiểu rõ định nghĩa, áp dụng các phương pháp như bảng chân trị, phép biến đổi tương đương, hay sử dụng các định lý đã học sẽ giúp bạn giải quyết mọi dạng bài tập liên quan. Đừng quên thường xuyên luyện tập với các bài tập có đáp án chi tiết mà chúng tôi cung cấp để củng cố kiến thức. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào về mệnh đề tương đương hay cần giải thích thêm, đừng ngần ngại để lại bình luận phía dưới nhé! Chúc bạn học tốt và thành công!