Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Ứng dụng hoán vị chỉnh hợp tổ hợp trong hình học lớp 10

Toán 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán đếm hình học lớp 10

Trong chương trình Toán 10 – THPT, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp không chỉ xuất hiện trong các bài toán đếm thuần túy mà còn được ứng dụng rộng rãi trong hình học. Đặc biệt, những bài toán đếm số đoạn thẳng, tam giác, tứ giác, cách chọn điểm… thường yêu cầu vận dụng linh hoạt kiến thức tổ hợp.

Bài viết Ứng dụng hoán vị chỉnh hợp tổ hợp trong hình học lớp 10 sẽ hệ thống phương pháp nhận dạng dạng toán, lựa chọn công thức phù hợp và giải nhanh các bài tập điển hình. Phần ví dụ và bài tập Toán 10 có đáp án được trình bày chi tiết, giúp học sinh hiểu bản chất vấn đề và tránh nhầm lẫn giữa các công thức.

Cách giải bài toán đếm hình học lớp 10

Bài tập 1. Cho tập gồm điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có điểm nào thẳng hàng. Tìm sao cho số tam giác có đỉnh lấy từ điểm thuộc gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ điểm thuộc .

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài: $C_{n}^{3} = 3C_{n}^{2}$ (với $n \geq 3$ , $n \in \mathbb{N}$ )

$\Leftrightarrow \frac{n!}{3!(n - 3)!} = \frac{3.n!}{2!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6} = \frac{3}{2(n - 2)} \Leftrightarrow n = 11$ .

Bài tập 2. Cho đa giác đều có 100 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác tù được tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều đã cho?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Đánh số các đỉnh là $A_{1}$ , $A_{2}$ ,…, $A_{100}$ .

Xét đường kính $A_{1}A_{51}$ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều đã cho. Đường kính này chia 98 đỉnh còn lại của đa giác đều làm hai phần, mỗi phần 49 đỉnh: từ $A_{2}$ đến $A_{50}$ và từ $A_{52}$ đến $A_{100}$ .

Khi đó mỗi tam giác có dạng $A_{1}A_{i}A_{j}$ là tam giác tù (tại $A_{i}$ hoặc $A_{j}$ ) khi và chỉ khi $A_{i}$ , $A_{j}$ cùng nằm trên nửa đường tròn tức là cùng thuộc một phần mô tả ở trên.

Chọn đỉnh $A_{1}$ có 100 cách.

Chọn nửa đường tròn có 2 cách.

Chọn 2 đỉnh $A_{i}$ , $A_{j}$ có $\frac{A_{49}^{2}}{2!}$ cách.

Giả sử tam giác $A_{1}A_{i}A_{j}$ là tam giác tù tại $A_{i}$ thế thì tam giác $A_{j}A_{i}A_{1}$ cũng được đếm thêm 1 lần vào số các tam giác tù kể trên. Tuy nhiêu hai tam giác này chỉ là một, vậy ta đã đếm lặp hai lần.

Tóm lại số tam giác tù có thể lập được là $\frac{100.2.\frac{A_{49}^{2}}{2!}}{2} = 117600$

Bài tập 3. Cho hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song với nhau. Trên $d_{1}$ có 10 điểm phân biệt, trên $d_{2}$ có điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ điểm vừa nói trên.

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

TH1: Tam giác có một đỉnh thuộc $d_{1}$ và hai đỉnh thuộc $d_{2}$ .

Số cách chọn một điểm trong thuộc $d_{1}$ : $C_{10}^{1}$ .

Số cách chọn bộ hai điểm trong điểm thuộc $d_{2}$ : $C_{7}^{2}$ .

TH này có $C_{10}^{1}.C_{7}^{2}$ tam giác.

TH2: Tam giác có một đỉnh thuộc $d_{2}$ và hai đỉnh thuộc $d_{1}$ .

Số cách chọn bộ hai điểm trong thuộc $d_{1}$ : $C_{10}^{2}$ .

Số cách chọn một điểm trong điểm thuộc $d_{2}$ : $C_{7}^{1}$ .

TH này có $C_{10}^{2}.C_{7}^{1}$ tam giác.

Vậy có tất cả: $C_{10}^{1}.C_{7}^{2} + C_{10}^{2}.C_{7}^{1} = 525$ tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 4: Cho một đa giác đều đỉnh ( $n\mathbb{\in N}$ và $n \geq 3$ ). Tìm biết rằng đa giác đã cho có đường chéo.

Hướng dẫn giải

Số đường chéo của đa giác đều đỉnh là: $C_{n}^{2} - n = \frac{n(n - 1)}{2} - n = \frac{n^{2} - 3n}{2}.$

Từ đề bài ta có phương trình: $\frac{n^{2} - 3n}{2} = 27$

$\Leftrightarrow n^{2} - 3n - 54 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 9 \\ n = - 6 \end{matrix} \right.\ .$

Do $n\mathbb{\in N}$ và $n \geq 3$ nên ta được giá trị cần tìm là:

Bài tập 5. Nếu một đa giác lồi có đường chéo thì đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Gọi là số đỉnh của đa giác $(n \geq 3)$ .

Tổng số đường chéo và số cạnh của đa giác trên là $\frac{A_{n}^{2}}{2}$ , trong đó là số cạnh của đa giác.

Ta có $\frac{A_{n}^{2}}{2} = n + 44 \Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = n + 44$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}n(n - 1) - n - 44 = 0$

$\Leftrightarrow n^{2} - 3n - 88 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 11 \\ n = - 8\ \ (l) \end{matrix} \right.$ .

Vậy đa giác đó có cạnh.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

--------------------------------------------------------------

Hy vọng chuyên đề Ứng dụng hoán vị chỉnh hợp tổ hợp trong hình học lớp 10 cùng hệ thống bài tập Toán 10 có đáp án sẽ giúp bạn tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và ôn tập học kỳ. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo toàn bộ chuyên đề Tổ hợp – Xác suất lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: