Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai đầy đủ chi tiết

Chuyên đề Toán 10 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tương giao giữa (P) với đường thẳng, (P) với (P)

A. Dạng 1. Tương giao giữa parabol với đường thẳng
- 1. Phương pháp giải bài toán tương giao (P) và (d)
- 2. Bài tập ví dụ minh họa xét tương giao parabol với đường thẳng
B. Dạng 2. Tương giao của hai đồ thị hàm số bậc hai
- 1. Cách xét tương giao hai đồ thị bậc hai
- 2. Bài tập minh họa xét tương giao parabol với parabol
C. Bài tập vận dụng xét tương giao đồ thị hàm số bậc hai

Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi học kỳ. Hiểu rõ cách hai đồ thị cắt nhau, tiếp xúc hay không giao nhau giúp học sinh nắm chắc bản chất hàm số và vận dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài tập thực tế.

Bài viết “Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai đầy đủ chi tiết” sẽ cung cấp cho bạn kiến thức từ cơ bản đến nâng cao, kèm phương pháp giải nhanh và bài tập có đáp án rõ ràng. Đây là tài liệu chất lượng trong Chuyên đề Toán 10 có đáp án, giúp bạn học dễ – hiểu sâu – làm đúng ngay từ bước đầu.

A. Dạng 1. Tương giao giữa parabol với đường thẳng

1. Phương pháp giải bài toán tương giao (P) và (d)

Cho đồ thị của hàm số $y = ax^{2} + bx + c$ với $a \neq 0$ và đồ thị của hàm số .

Toạ độ giao điểm của hai đồ thị và là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} y = ax^{2} + bx + c \\ y = kx + m \end{matrix} \right.$ (1)

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

$ax^{2} + bx + c = kx + m$

$\Leftrightarrow ax^{2} + (b - k)x + c - m = 0\ \ \ \ \ (2)$

Nhận xét:

1. Số giao điểm của và bằng số nghiệm của hệ phương trình (1) và cũng bằng số nghiệm của phương trình (2).

2. Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì ta nói và không giao nhau.

3. Nếu phương trình (2) có nghiệm kép thì ta nói và tiếp xúc với nhau. Lúc này ta nói là tiếp tuyến của (P).

4. Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thì ta nói và cắt nhau.

2. Bài tập ví dụ minh họa xét tương giao parabol với đường thẳng

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = x^{2} - 3x + 2$ có đồ thị (P).

a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục .

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục .

c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng .

Hướng dẫn giải

a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục .

Cho $x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm của (P) với trục là và .

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2.$

Vậy tọa độ giao điểm của (P) với trục là .

c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng .

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với đường thẳng là

$x^{2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = 3 \Rightarrow y = 2 \end{matrix} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng là và .

Ví dụ 2: Tìm để đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt?

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3x + m$ và trục hoành là

$x^{2} + 3x + m = 0\ \ \ \ (1)$

Để đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3x + m$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta = 3^{2} - 4.m > 0$

$\Leftrightarrow 9 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{9}{4}.$

Vậy $m < \frac{9}{4}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho Parabol $(P):y = x^{2} - 3x + 2$ và đường thẳng $d:\ y = mx + 2$ . Tìm để tiếp xúc với . Tìm tọa độ tiếp điểm khi đó.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với d là:

$x^{2} - 3x + 2 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - (3 + m)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m + 3 \end{matrix} \right.$ .

Để d tiếp xúc với (P) thì m = -3.

Tọa độ tiếp điểm khi đó là M(0; 2).

Nhận xét: Từ phương trình (1) ta tính $\Delta' = (m + 3)^{2}$ . Để d tiếp xúc với (P) thì (1) có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta' = 0 \Leftrightarrow m = - 3$ .

B. Dạng 2. Tương giao của hai đồ thị hàm số bậc hai

1. Cách xét tương giao hai đồ thị bậc hai

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) là các hàm số bậc hai có đồ thị lần lượt là các đường parabol $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ , khi đó tọa độ giao điểm của $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} y = f(x) \\ y = g(x) \end{matrix} \right.$ . (1)

Để giải hệ (1) ta cần giải phương trình f(x) = g(x) (2), phương trình (2) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ .

* Nhận xét:

i) Số giao điểm của $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ bằng số nghiệm của hệ (1) và bằng số nghiệm của phương trình (2).

ii) y = f(x) và y = g(x) là các hàm số bậc hai nên phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm. iii) Các bài toán liên quan đến dạng này thường áp dụng đến nội dung định lý Vi et thuận, nhắc lại như sau. Cho phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ , ta luôn có $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ và $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ .

2. Bài tập minh họa xét tương giao parabol với parabol

Ví dụ 1. Biết rằng đồ thị hàm số $y = x^{2} - 6x$ cắt đồ thị hàm số $y = - x^{2} - 4$ tại hai điểm $A\left( x_{A};y_{A} \right)$ và $B\left( x_{B};y_{B} \right).$ Tính $y_{A} + y_{B}$ .

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị $y = x^{2} - 5x$ và $y = - x^{2} - 3$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} y = x^{2} - 6x \\ y = - x^{2} - 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 6x = - x^{2} - 4 \\ y = - x^{2} - 4 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x + 2 = 0 \\ y = - x^{2} - 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right.\ \\ y = - x^{2} - 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 5 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 8 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$ .

Không mất tổng quát ta giả sử và , suy ra $y_{A} + y_{B} = - 13$ .

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của sao cho đồ thị hàm số $y = (m + 1)x^{2} + 2x + 3m - 2$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{2} + 2mx + 4$ tại đúng hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2x_{2} = 1.$

Hướng dẫn giải

- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đề bài cho là

$(m + 1)x^{2} + 2x + 3m - 2 = x^{2} + 2mx + 4$

$\Leftrightarrow mx^{2} - 2(m - 1)x + 3(m - 2) = 0$ . (1)

- Phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ \Delta' = (m - 1)^{2} - 3m(m - 2) > 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ - 2m^{2} + 4m + 1 > 0 \end{matrix} \right.$ . (2)

- Với điều kiện (2), áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) và giả thiết cho, ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + 2x_{2} = 1 \\ x_{1} + x_{2} = \frac{2(m - 1)}{m} \\ x_{1}x_{2} = \frac{3(m - 2)}{m} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{3m - 4}{m} \\ x_{2} = \frac{2 - m}{m} \\ x_{1}x_{2} = \frac{3(m - 2)}{m} \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{3m - 4}{m} \\ x_{2} = \frac{2 - m}{m} \\ \frac{(3m - 4)(2 - m)}{m^{2}} = \frac{3(m - 2)}{m}\ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{matrix} \right.$

- Giải phương trình (3) ta được và $m = \frac{2}{3}$ đều thỏa mãn (2), nên đó là hai giá trị cần tìm của tham số .

C. Bài tập vận dụng xét tương giao đồ thị hàm số bậc hai

Bài tập 1: Biết rằng Parabol $(P):y = x^{2} - 3x + 2$ cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. Tính tổng các hoành độ giao điểm đó.

Bài tập 2: Tìm tọa độ giao điểm của Parabol $(P):y = - x^{2} - 4x + 1$ và đường thẳng : .

Bài tập 3: Cho Parabol $(P)y = x^{2} - 2x + 4$ và đường thẳng : $\ y = 2mx - m^{2}$ ( là tham số). Tìm các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + 2(m + 1)x_{2} = 3m^{2} + 16$ .

Bài tập 4: Cho Parabol $(P):y = \frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $d:y = (m + 1)x - m^{2} - \frac{1}{2}$ (là tham số). Tìm các giá trị của thì đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm $A(x_{1};y_{1}),B(x_{2};y_{2})$ sao cho biểu thức $T = y_{1} + y_{2} - x_{1}x_{2} - (x_{1} + x_{2})$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị của ham số sao cho parabol $(P):y = x^{2} - 4x + m$ cắt trục tại hai điểm phân biệt $A,\ B$ thỏa mãn

Bài tập 6: Biết rằng parabol $y = x^{2} - x + 1$ cắt parabol $y = - x^{2} + 2x + 4$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}$ và $x_{2}$ . Tính giá trị biểu thức $P = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của sao cho hai parabol $y = x^{2} + mx + (m + 1)^{2}$ và $y = - x^{2} - (m + 2)x - 2(m + 1)$ cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $P = \left| x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) \right|$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 8: Tìm để đường thẳng : cắt parabol $y = x^{2} + 2x + m$ tại điểm phân biệt

A. $m < \frac{13}{4}$ . B. $m \geq \frac{13}{4}$ . C. . D. $m \geq 1$ .

Bài tập 9. Tìm để đường thẳng : cắt parabol $y = x^{2} + 2x + m$ tại điểm phân biệt

A. $m < \frac{13}{4}$ . B. $m \geq \frac{13}{4}$ . C. . D. $m \geq 1$ .

Bài tập 10. Biết đường thẳng cắt Parabol $(P):y = x^{2} - x + 1$ tại hai điểm phân biệt , . Khi đó tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

A. $I\left( \frac{1 + m}{2};\frac{m^{2} + m}{2} \right)$ . B. $I\left( \frac{1 + m}{2};\frac{- m^{2} - 2m + 3}{4} \right)$ .

C. $I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{4} \right)$ . D. $I\left(\frac{1}{2};\frac {m}{2} \right)$ .

Bài tập 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đường thẳng cắt parabol $y = x^{2} + (m + 2)x - m$ tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung

A. . B. . C. . D. .

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.

----------------------------------------------

Gợi ý tài liệu tham khảo:

Thông qua bài viết, bạn đã nắm được cách phân tích sự tương giao giữa các đồ thị bậc hai, bao gồm điều kiện giao điểm, tiếp xúc và ứng dụng vào giải bài toán thực tế. Với các ví dụ minh họa và lời giải chi tiết, bạn có thể tự tin áp dụng vào mọi dạng bài tương giao trong chương trình Toán 10. Hãy lưu lại tài liệu này để ôn tập thường xuyên và khám phá thêm nhiều chủ đề hữu ích khác trong Chuyên đề Toán 10 có đáp án. Chúc bạn học hiệu quả và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!

Tải về

Chọn file muốn tải về: