Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai đầy đủ chi tiết
Tương giao giữa (P) với đường thẳng, (P) với (P)
Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 10, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi học kỳ. Hiểu rõ cách hai đồ thị cắt nhau, tiếp xúc hay không giao nhau giúp học sinh nắm chắc bản chất hàm số và vận dụng linh hoạt vào nhiều dạng bài tập thực tế. Bài viết “Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai đầy đủ chi tiết” sẽ cung cấp cho bạn kiến thức từ cơ bản đến nâng cao, kèm phương pháp giải nhanh và bài tập có đáp án rõ ràng. Đây là tài liệu chất lượng trong Chuyên đề Toán 10 có đáp án, giúp bạn học dễ – hiểu sâu – làm đúng ngay từ bước đầu.
A. Dạng 1. Tương giao giữa parabol với đường thẳng
1. Phương pháp giải bài toán tương giao (P) và (d)
Cho đồ thị 
\((P)\) của hàm số \(y = ax^{2} + bx + c\) với \(a \neq 0\) và đồ thị \(d\) của hàm số \(y = kx + m\).
Toạ độ giao điểm của hai đồ thị \((P)\) và \(d\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{matrix}
y = ax^{2} + bx + c \\
y = kx + m
\end{matrix} \right.\) (1)
Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \(d\) là
\(ax^{2} + bx + c = kx + m\)
\(\Leftrightarrow ax^{2} + (b - k)x + c -
m = 0\ \ \ \ \ (2)\)
Nhận xét:
1. Số giao điểm của \((P)\) và \(d\) bằng số nghiệm của hệ phương trình (1) và cũng bằng số nghiệm của phương trình (2).
2. Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì ta nói \(d\) và \((P)\) không giao nhau.
3. Nếu phương trình (2) có nghiệm kép thì ta nói \(d\) và \((P)\) tiếp xúc với nhau. Lúc này ta nói \(d\) là tiếp tuyến của (P).
4. Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thì ta nói \(d\) và \((P)\) cắt nhau.
2. Bài tập ví dụ minh họa xét tương giao parabol với đường thẳng
Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = x^{2} - 3x +
2\) có đồ thị (P).
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục \(Ox\).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục \(Oy\).
c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = x - 1\).
Hướng dẫn giải
a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục \(Ox\).
Cho \(x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm của (P) với trục \(Ox\) là \((1;0)\) và \((2;0)\).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với trục \(Oy\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2.\)
Vậy tọa độ giao điểm của (P) với trục \(Oy\)là \((0;2)\).
c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = x - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = x - 1\)là
\(x^{2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow
x^{2} - 4x + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow y = 0 \\
x = 3 \Rightarrow y = 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng \(y = x - 1\) là \((1;0)\)và \((3;2)\).
Ví dụ 2: Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 3x + m\)cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt?
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 3x + m\) và trục hoành là
\(x^{2} + 3x + m = 0\ \ \ \
(1)\)
Để đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 3x +
m\)cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta
= 3^{2} - 4.m > 0\)
\(\Leftrightarrow 9 - 4m > 0
\Leftrightarrow m < \frac{9}{4}.\)
Vậy \(m < \frac{9}{4}\) là giá trị cần tìm.
B. Dạng 2. Tương giao của hai đồ thị hàm số bậc hai
1. Cách xét tương giao hai đồ thị bậc hai
Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là các hàm số bậc hai có đồ thị lần lượt là các đường parabol \(\left( P_{1}
\right)\) và \(\left( P_{2}
\right)\), khi đó tọa độ giao điểm của \(\left( P_{1} \right)\) và \(\left( P_{2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{matrix}
y = f(x) \\
y = g(x)
\end{matrix} \right.\). (1)
Để giải hệ (1) ta cần giải phương trình \(f(x) = g(x)\) (2), phương trình (2) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P_{1} \right)\) và \(\left( P_{2} \right)\).
* Nhận xét:
i) Số giao điểm của \(\left( P_{1}
\right)\) và \(\left( P_{2}
\right)\) bằng số nghiệm của hệ (1) và bằng số nghiệm của phương trình (2).
ii) \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) là các hàm số bậc hai nên phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm. iii) Các bài toán liên quan đến dạng này thường áp dụng đến nội dung định lý Vi et thuận, nhắc lại như sau. Cho phương trình bậc hai \(ax^{2} + bx + c =
0\) có hai nghiệm \(x_{1}\) và \(x_{2}\), ta luôn có \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}\) và \(x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\).
2. Bài tập minh họa xét tương giao parabol với parabol
Ví dụ 1. Biết rằng đồ thị hàm số \(y =
x^{2} - 6x\) cắt đồ thị hàm số \(y = -
x^{2} - 4\) tại hai điểm \(A\left(
x_{A};y_{A} \right)\) và \(B\left(
x_{B};y_{B} \right).\) Tính \(y_{A} +
y_{B}\).
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị \(y = x^{2}
- 5x\) và \(y = - x^{2} - 3\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}
y = x^{2} - 6x \\
y = - x^{2} - 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} - 6x = - x^{2} - 4 \\
y = - x^{2} - 4
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} - 3x + 2 = 0 \\
y = - x^{2} - 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2
\end{matrix} \right.\ \\
y = - x^{2} - 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = - 5
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = - 8
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\).
Không mất tổng quát ta giả sử \(A(1; -
5)\) và \(B(2; - 8)\), suy ra \(y_{A} + y_{B} = - 13\).
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = (m + 1)x^{2} + 2x + 3m - 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = x^{2} + 2mx + 4\) tại đúng hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1} + 2x_{2} = 1.\)
Hướng dẫn giải
- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đề bài cho là
\((m + 1)x^{2} + 2x + 3m - 2 = x^{2} + 2mx
+ 4\)
\(\Leftrightarrow mx^{2} - 2(m - 1)x + 3(m
- 2) = 0\). (1)
- Phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{matrix}
m \neq 0 \\
\Delta' = (m - 1)^{2} - 3m(m - 2) > 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \neq 0 \\
- 2m^{2} + 4m + 1 > 0
\end{matrix} \right.\). (2)
- Với điều kiện (2), áp dụng định lý Viet cho phương trình (1) và giả thiết cho, ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
x_{1} + 2x_{2} = 1 \\
x_{1} + x_{2} = \frac{2(m - 1)}{m} \\
x_{1}x_{2} = \frac{3(m - 2)}{m}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{1} = \frac{3m - 4}{m} \\
x_{2} = \frac{2 - m}{m} \\
x_{1}x_{2} = \frac{3(m - 2)}{m}
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{1} = \frac{3m - 4}{m} \\
x_{2} = \frac{2 - m}{m} \\
\frac{(3m - 4)(2 - m)}{m^{2}} = \frac{3(m - 2)}{m}\ \ \ \ \ \ \ \ (3)
\end{matrix} \right.\)
- Giải phương trình (3) ta được \(m =
2\) và \(m = \frac{2}{3}\) đều thỏa mãn (2), nên đó là hai giá trị cần tìm của tham số \(m\).
C. Bài tập vận dụng xét tương giao đồ thị hàm số bậc hai
Bài tập 1: Biết rằng Parabol \((P):y =
x^{2} - 3x + 2\) cắt đường thẳng \((d):y = x + 5\) tại hai điểm phân biệt. Tính tổng các hoành độ giao điểm đó.
Bài tập 2: Tìm tọa độ giao điểm của Parabol \((P):y = - x^{2} - 4x + 1\)và đường thẳng \(d\): \(y =
- x + 3\).
Bài tập 3: Cho Parabol \((P)y = x^{2} - 2x
+ 4\)và đường thẳng \(d\):\(\ y = 2mx - m^{2}\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để \(d\) cắt \((P)\)tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \(x_{1}\),\(x_{2}\)thỏa mãn \({x_{1}}^{2} + 2(m + 1)x_{2} = 3m^{2} +
16\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
----------------------------------------------
Thông qua bài viết, bạn đã nắm được cách phân tích sự tương giao giữa các đồ thị bậc hai, bao gồm điều kiện giao điểm, tiếp xúc và ứng dụng vào giải bài toán thực tế. Với các ví dụ minh họa và lời giải chi tiết, bạn có thể tự tin áp dụng vào mọi dạng bài tương giao trong chương trình Toán 10. Hãy lưu lại tài liệu này để ôn tập thường xuyên và khám phá thêm nhiều chủ đề hữu ích khác trong Chuyên đề Toán 10 có đáp án. Chúc bạn học hiệu quả và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
