Tìm tham số m để phương trình là phương trình đường tròn
Tìm điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn
Trong phần hình học tọa độ của Toán 10, bài toán tìm tham số m để một phương trình trở thành phương trình đường tròn là dạng toán quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về cấu trúc đại số của đường tròn. Việc nhận biết điều kiện tồn tại đường tròn, điều kiện tâm – bán kính xác định, và cách biến đổi phương trình thành dạng chuẩn là nền tảng để xử lý nhanh các bài toán có tham số.
Bài viết này cung cấp phương pháp giải từng bước, phân tích đầy đủ điều kiện cần và đủ để phương trình biểu diễn một đường tròn, kèm bài tập minh họa có đáp án chi tiết, giúp bạn làm chủ hoàn toàn dạng bài này trong chương trình Toán 10.
A. Phương trình đường tròn
- Phương trình đường tròn (C) tâm
\(I(a;b)\), bán kính R là :\((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}\) - Dạng khai triển của (C) là : \(x^{2} +
y^{2} - 2ax - 2by + c = 0\)với \(c =
a^{2} + b^{2} - R^{2}\)
- Phương trình \(x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by +
c = 0\) với điều kiện \(a^{2} + b^{2} -
c > 0\), là phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}\)
B. Ví dụ minh họa tìm điều kiện tham số m để PT là phương trình đường tròn
Ví dụ 1. Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} -
2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0\ \ \ (1)\). Điều kiện của \(m\) để \((1)\) là phương trình của đường tròn.
A. \(m = 2\). B. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m < 1 \\
m > 2
\end{matrix} \right.\). C. \(1 < m
< 2\). D. \(\left\lbrack
\begin{matrix}
m = 1 \\
m = 2
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(x^{2} + y^{2} - 2mx - 4(m - 2)y +
6 - m = 0\ (1)\) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi \((m)^{2} + \left\lbrack 2(m - 2)
\right\rbrack^{2} - (6 - m) > 0\)
\(\Leftrightarrow 5m^{2} - 15m + 10 > 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m < 1 \\
m > 2
\end{matrix} \right.\).
Ví dụ 2. Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} -
8x + 10y + m = 0(1)\). Tìm điều kiện của \(m\) để \((1)\) là phương trình đường tròn có bán kính bằng \(7\).
A. \(m = 4\). B. \(m = 8\) . C. \(m
= - 8\) . D. \(m = - 4\) .
Hướng dẫn giải
Ta có: \(x^{2} + y^{2} - 8x + 10y + m = 0\rightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4 \\b = - 5 \\c = m\end{matrix} \right.\)
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính bằng 7 thì
\(\rightarrow a^{2} + b^{2} - c =
R^{2}\)
\(\Leftrightarrow 4^{2} + ( - 5)^{2} - m =
49 \Leftrightarrow m = - 8\)
Vậy \(m = - 8\) là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} -
2x + 2my\ + 10 = 0(1)\). Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên dương không vượt quá 10 để \((1)\) là phương trình của đường tròn?
A. Không có. B. \(6\). C. \(7\). D. \(8\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(x^{2} + y^{2} - 2x + 2my\ + \ 10
= 0 \rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - m \\
c = 10
\end{matrix} \right.\)
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn ta có:
\(\rightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0
\Leftrightarrow m^{2} - 9 > 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m < - 3 \hfill \\
m > 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Mà theo bài ra \(\left\{ \begin{matrix}
m \in \mathbb{Z}^{+} \\
m \leq 10
\end{matrix} \right.\) \(\Rightarrow
m = 4;5\ldots;10\)
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết
Câu 1. Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} -
2ax - 2by + c = 0(1)\). Điều kiện để \((1)\) là phương trình đường tròn là:
A. \(a^{2} - b^{2}\ > \ c\). B. \(a^{2} + b^{2}\ > \ c\). C. \(a^{2} + b^{2} < \ c\). D. \(a^{2}\ - b^{2}\ < \ c\).
Câu 2. Cho phương trình \(x^{2} + y^{2} -
2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0(1)\). Tìm điều kiện của \(m\) để \((1)\) là phương trình đường tròn.
A. \(m \in \mathbb{R.}\) B. \(m \in ( - \infty;1) \cup (2; +
\infty).\)
C. \(m \in ( - \infty;1\rbrack \cup \lbrack
2; + \infty).\) D. \(m \in \left( -
\infty;\frac{1}{3} \right) \cup (2; + \infty).\)
Câu 3. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. \(4x^{2} + y^{2} - 10x - 6y - 2 =
0.\) B. \(x^{2} + y^{2} - 2x - 8y + 20
= 0.\)
C. \(x^{2} + 2y^{2} - 4x - 8y + 1 =
0.\) D. \(x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 12
= 0.\)
Câu 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. \(x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 9 =
0.\) B. \(x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 13
= 0.\)
C. \(2x^{2} + 2y^{2} - 8x - 4y - 6 =
0.\) D. \(5x^{2} + 4y^{2} + x - 4y + 1
= 0.\)
Câu 5. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. \(x^{2} + y^{2} - x - y + 9 =
0\). B. \(x^{2} + y^{2} - x =
0\).
C. \(x^{2} + y^{2} - 2xy - 1 = 0.\) D. \(x^{2} - y^{2} - 2x + 3y - 1 =
0.\)
Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của đường tròn?
A. \(x^{2} + y^{2} - x + y + 4 =
0.\) B. \(x^{2} + y^{2} - 100y + 1 =
0.\)
C. \(x^{2} + y^{2} - 2 = 0.\) D. \(x^{2} + y^{2} - y = 0.\)
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
---------------------------------------------
Qua những hướng dẫn và ví dụ cụ thể trong bài viết, bạn đã có thể tự tin xác định tham số m để phương trình cho trước là phương trình đường tròn, đồng thời hiểu rõ bản chất của từng điều kiện liên quan đến tâm và bán kính. Khi rèn luyện thường xuyên, bạn sẽ dễ dàng xử lý các bài toán tham số và đạt kết quả cao hơn trong các bài kiểm tra.
