Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (Hướng dẫn chi tiết)
Tiếp tuyến đường tròn trong mặt phẳng Oxy
Trong chương trình Toán 10, việc viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn là một dạng toán quan trọng trong phần hình học tọa độ. Dạng bài này đòi hỏi học sinh vừa nắm vững phương trình đường tròn, vừa hiểu rõ khái niệm tiếp tuyến và các điều kiện tiếp xúc. Bài viết này mang đến cho bạn một hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu, giúp xác định tiếp tuyến qua điểm, tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước, cùng nhiều lưu ý để tránh các sai sót phổ biến.
A. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) tâm 
\(I(a;b)\), bán kính R:
Trường hợp 1: Nếu biết tiếp điểm là \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ \(\overrightarrow{IM}\left( x_{0} - a;y_{0} - b
\right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(\left( x_{0} - a \right)\left( x - x_{0} \right) +
\left( y_{0} - b \right)\left( y - y_{0} \right) = 0\)
Trường hợp 2: Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi \(d(I;\Delta) = R\) để xác định tiếp tuyến.
B. Các dạng toán tiếp tuyến của đường tròn
1. Viết phương trình tiếp tuyến \((D)\) với \((C)\) tại điểm \(M_{0} \in (C)\)
-
Bước 1: Tìm tọa độ tâm
\(I\) của \((C)\). -
Bước 2: Tiếp tuyến
\((D)\) là đường thẳng đi qua \(M_{0}\) và có VTPT là \(\overrightarrow{M_{0}I}\)
2. Viết phương trình tiếp tuyến \((D)\) với \((C)\) tại điểm \(M_{0} \notin (C)\)
-
Bước 1: Tìm tọa độ tâm
\(I\) và bán kính \(R\) của \((C)\). -
Bước 2:
\((D)\) là đường thẳng đi qua \(M_{0}\) nên có dạng \(a\left( x - x_{0} \right) + b\left( y - y_{0}
\right) = 0\) -
Bước 3:
\((D)\) tiếp xúc với \((C) \Leftrightarrow d\left( I;(D) \right) =
R\ \ \ (*)\). Giải \((*)\) tìm được mối liên hệ giữa \(a\). Chọn \(a\& b\) phù hợp để kết luận.
3. Viết phương trình tiếp tuyến \((D)\) với \((C)\) biết \((D)\) song song với \(\left( D_{1} \right):Ax + By + C = 0\)
-
Bước 1: Tìm tọa độ tâm
\(I\) và bán kính \(R\) của \((C)\). -
Bước 2:
\((D)//\left( D_{1} \right):Ax
+ By + C = 0\) nên phương trình có dạng \(Ax + By + C' = 0\ \ \ \ (C' \neq
C)\) -
Bước 3:
\((D)\) tiếp xúc với \((C) \Leftrightarrow d\left( I;(D) \right) =
R\ \ \ (*)\). Giải \((*)\) tìm được \(C'\) so với đk để kết luận.
4. Viết phương trình tiếp tuyến \((D)\) với \((C)\) biết \((D)\) vuông góc với \(\left( D_{1} \right):Ax + By + C = 0\)
-
Bước 1: Tìm tọa độ tâm
\(I\) và bán kính \(R\) của \((C)\). -
Bước 2:
\((D)\bot\left( D_{1}
\right):Ax + By + C = 0\)nên phương trình có dạng \(Bx - Ay + C' = 0\\) -
Bước 3:
\((D)\) tiếp xúc với \((C) \Leftrightarrow d\left( I;(D) \right) =
R\ \ \ (*)\). Giải \((*)\) tìm được \(C'\) so với đk để kết luận.
C. Bài tập ví dụ minh họa viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Ví dụ 1: Cho đường tròn \((C):x^{2} + y^{2}
+ 2x - 4y + 4 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại điểm \(M(0;2)\).
Hướng dẫn giải
Ta có đường tròn \((C)\):
\(x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 4 =
0\)
\(\Leftrightarrow\) \((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1\) có tâm là điểm \(I( - 1;2)\).
Do \((0 + 1)^{2} + (2 - 2)^{2} = 1\) nên điểm \(M\) thuộc đường tròn (C).
Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M(0;2)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{MI} = ( - 1;0)\), nên có phương trình:
\(- 1(x + 1) + 0(y - 2) = 0
\Leftrightarrow x + 1 = 0\).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \((C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2}
= 10\). Xác định phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(A(4;4)\)?
Hướng dẫn giải
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3;\ 1)\). Điểm \(A(4;4)\)thuộc đường tròn.
Gọi \(d\) là tiếp tuyến cần tìm. Ta có \(d\) vuông góc với IA tại điểm \(A(4;4)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{IA} = (1;\ 3)\) . Phương trình \(d\) dạng \(x + 3y + c = 0\).
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(4;4)\) nên \(4
+ 3.4 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 16\).
Vậy phương trình của \(d\): \(x + 3y - 16 = 0\).
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 5\), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:2x +
y + 7 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm \(I(3; - 1),\ R =
\sqrt{5}\) và tiếp tuyến có dạng
\(\Delta:2x + y + c = 0\ \ \left(
c\boxed{=}7 \right).\)
Ta có \(R = d\lbrack I;\Delta\rbrack
\Leftrightarrow \frac{|c + 5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
c = 0 \\
c = - 10
\end{matrix} \right.\ .\)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là \(2x + y = 0\) và \(2x + y - 10 = 0.\)
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 25\), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:3x -
4y + 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm \(I(2; - 4),\ R =
5\) và tiếp tuyến có dạng
\(\Delta:4x + 3y + c = 0\ .\)
Ta có \(R = d\lbrack I;\Delta\rbrack
\Leftrightarrow \frac{|c - 4|}{5} = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
c = 29 \\
c = - 21
\end{matrix} \right.\ .\)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là \(4x + 3y + 29 = 0\) và \(4x + 3y - 21 = 0.\)
D. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đường tròn \((C):x^{2} + y^{2} - 4x + 4y - 1 = 0\) trong trường hợp sau đây:
a) Đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta':2x + 3y + 4 =
0\).
b) Đường thẳng \(\Delta\) hợp với trục hoành một góc \(45^{0}\).
Bài tập 2: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
\(\left( C_{1} \right):x^{2} + y^{2} - 4y -
5 = 0\) và \(\left( C_{2} \right):x^{2}
+ y^{2} - 6x + 8y + 16 = 0\).
Bài tập 3: Cho đường tròn: \(x^{2} + y^{2}
- 4x + 8y - 5 = 0\).
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết rằng tiếp tuyến qua \(A( - 1;0)\).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y =
0\).
d) Tìm điều kiện của \(m\) để đường thẳng \(x + (m - 1)y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua \(B(3;- 11)\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-----------------------------------------------
Với các bước hướng dẫn rõ ràng và hệ thống bài tập minh họa, bạn đã có thể tự tin giải quyết mọi dạng toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong mặt phẳng Oxy. Khi luyện tập thường xuyên và hiểu rõ các điều kiện tiếp xúc, bạn sẽ nhanh chóng thành thạo kỹ năng này và tăng hiệu quả làm bài trong các kỳ thi.
