Tìm m để hai đường thẳng vuông góc
Cách tìm tham số m để 2 đường thẳng vuông góc
Trong chuyên đề Phương trình đường thẳng của chương trình Toán 10, dạng bài tìm m để hai đường thẳng vuông góc là dạng toán quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ số góc và vị trí tương đối của hai đường thẳng. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách nhận biết điều kiện vuông góc nhanh – chính xác, cách tìm tham số m dựa trên công thức chuẩn SGK, kèm ví dụ minh họa chi tiết giúp bạn dễ dàng ghi nhớ và vận dụng hiệu quả vào các bài tập.
A. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Cho hai đường thẳng
\(d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0
\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})\)
\(d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0
\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})\)
Hai đường thẳng \(d_{1};d_{2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
\({\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2}
\Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0
\Leftrightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0\)
B. Bài tập minh họa tìm m để 2 đường thẳng vuông góc
Ví dụ 1. Với giá trị nào của \(a\) thì hai đường thẳng
\(d_{1}:2x - 4y + 1 = 0\) và \(d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + at \\
y = 3 - (a + 1)t
\end{matrix} \right.\) vuông góc với nhau?
A. \(a = - 2.\) B. \(a = 2.\) C. \(a =
- 1.\) D. \(a = 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:2x - 4y + 1 = 0 \\
d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + at \\
y = 3 - (a + 1)t
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \overset{}{\rightarrow}\left\{ \begin{matrix}
{\overrightarrow{n}}_{1} = (1; - 2) \\
{\overrightarrow{n}}_{2} = (a + 1;a)
\end{matrix} \right.\)
Khi đó \(d_{1}\bot d_{2}\) \(\Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} \cdot
{\overrightarrow{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow a + 1 - 2a = 0
\Leftrightarrow a = 1.\)
Chọn D
Ví dụ 2. Lập phương trình của đường thẳng \(\Delta\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(d_{1}:x + 3y - 1 = 0\), \(d_{2}:x - 3y - 5 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(d_{3}:2x - y + 7 =
0\).
A. \(3x + 6y - 5 = 0\). B. \(6x + 12y - 5 = 0\).
C. \(6x + 12y + 10 = 0\). D. \(x + 2y + 10 = 0\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}
d_{1}:x + 3y - 1 = 0 \\
d_{2}:x - 3y - 5 = 0
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 3 \\
y = - \frac{2}{3}
\end{matrix} \right.\) \(\rightarrow d_{1} \cap d_{2} = A\left( 3;
- \frac{2}{3} \right).\)
Lại có:
\(\left\{ \begin{matrix}
A \in d \\
d\bot d_{3}:2x - y + 7 = 0
\end{matrix} \right.\)\(\rightarrow \left\{ \begin{matrix}
A \in d \\
d:x + 2y + c = 0
\end{matrix} \right.\)
\(\rightarrow 3 + 2.\left( - \frac{2}{3}
\right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{5}{3}.\)
Vậy \(d:x + 2y - \frac{5}{3} = 0
\Leftrightarrow d:3x + 6y - 5 = 0.\)
Chọn A
Ví dụ 3. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng sau đây vuông góc \(\left(
\Delta_{1} \right):\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + \left( m^{2} + 1 \right)t \\
y = 2 - mt
\end{matrix} \right.\) và \(\left(
\Delta_{2} \right):\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - 3t' \\
y = 1 - 4mt'
\end{matrix} \right.\) ?
A. \(m = \pm \sqrt{3}\) B. \(m = - \sqrt{3}\) C. \(m = \sqrt{3}\) D. không có \(m\)
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
\(\left( \Delta_{1} \right)\) có \(\overrightarrow{u_{1}} = \left( m^{2} + 1; -
m \right)\); \(\left( \Delta_{2}
\right)\) có \(\overrightarrow{u_{2}} =
( - 3; - 4m)\)
\(\left( \Delta_{1} \right)\bot\left(
\Delta_{2} \right) \Leftrightarrow
\overrightarrow{u_{1}}\bot\overrightarrow{u_{2}}\)
\(\Leftrightarrow - 3\left( m^{2} + 1
\right) + 4m^{2} = 0\)\(\Leftrightarrow m^{2} = 3 \Leftrightarrow
m = \pm \sqrt{3}\) .
C. Bài tập vận dụng có đáp án hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng
\(\Delta_{1}:mx + y - 19 = 0\) và \(\Delta_{2}:(m - 1)x + (m + 1)y - 20 =
0\) vuông góc?
A. Với mọi \(m\). B. \(m = 2\). C. Không có \(m\). D. \(m = \pm
1\).
Bài tập 2. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng
\(d_{1}:2x - 3y - 10 = 0\) và \(d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - 3t \\
y = 1 - 4mt
\end{matrix} \right.\) vuông góc?
A. \(m = \frac{1}{2}\). B. \(m = \frac{9}{8}\). C. \(m = - \frac{9}{8}\). D. \(m = - \frac{5}{4}\).
Bài tập 3: Xác định \(m\) để \(2\) đường thẳng \(d:2x - 3y + 4 = 0\) và \(d':\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - 3t \\
y = 1 - 4mt
\end{matrix} \right.\) vuông góc
A. \(m = \frac{9}{8}\). B. \(m = \frac{1}{2}\). C. \(m = - \frac{9}{8}\). D. \(m = - \frac{1}{2}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-----------------------------------------
Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách tìm m để hai đường thẳng vuông góc dựa trên mối quan hệ giữa hệ số góc của hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Với phương pháp giải chi tiết và bài tập minh họa, bạn có thể dễ dàng áp dụng vào các đề kiểm tra và bài tập nâng cao của chương trình Toán 10. Hãy luyện tập thêm nhiều ví dụ để tăng khả năng tư duy và tốc độ làm bài. Chúc bạn học tốt và tự tin chinh phục mọi dạng toán về phương trình đường thẳng!
