VnDoc.com

Cách xác định Góc giữa hai đường thẳng cực nhanh

Tính góc giữa 2 đường thẳng

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính góc giữa hai đường thẳng trong Oxy

A. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
- Góc giữa hai đường thẳng
- Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng
B. Bài tập minh họa tính góc giữa hai đường thẳng
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết

Việc tính góc giữa hai đường thẳng là kỹ năng quan trọng trong hình học giải tích, giúp bạn giải nhanh các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực nhanh dựa trên hệ số góc và vectơ chỉ phương, kèm theo công thức chuẩn và ví dụ minh họa dễ hiểu. Nhờ đó, bạn có thể áp dụng thành thạo vào bài kiểm tra, thi học kỳ và các dạng toán thực tế.

A. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, hay đơn giản là góc giữa $a$ và $b$. Khi $a$ song song hoặc trùng với $b$, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^{0}$ $0^{0}$.

Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng

Góc xác định hai đường thẳng $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ có phương trình $\Delta_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ $\Delta_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ và $\Delta_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ $\Delta_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ được xác định bởi công thức:

$\cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} \right|}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}}.\sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$ $\cos\left( \Delta_{1};\Delta_{2} \right) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} \right|}{\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}}.\sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}}}$

B. Bài tập minh họa tính góc giữa hai đường thẳng

Ví dụ 1: Tìm góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d_{1}:5x + y - 3 = 0$ $d_{1}:5x + y - 3 = 0$; $d_{2};5x - y + 7 = 0$ $d_{2};5x - y + 7 = 0$

b) $3x + y - 1 = 0$ và $4x - 2y - 4 = 0$

c) $\Delta_{1}:x + \sqrt{3}y = 0$ $\Delta_{1}:x + \sqrt{3}y = 0$ và $\Delta_{2}:x + 10 = 0$ $\Delta_{2}:x + 10 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng: $5x + y - 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = (5;1)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (5;1)$

Đường thẳng: $5x - y + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (5; - 1)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (5; - 1)$

$\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \frac{\left| 5.5 + 1.( - 1) \right|}{\sqrt{5^{2} + 1^{2}}.\sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{12}{13}$ $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \frac{\left| 5.5 + 1.( - 1) \right|}{\sqrt{5^{2} + 1^{2}}.\sqrt{5^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{12}{13}$

$\Rightarrow \left( d_{1};d_{2} \right) = 22^{0}37$ $\Rightarrow \left( d_{1};d_{2} \right) = 22^{0}37'$

b) Đường thẳng: $3x + y - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = (3;1)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (3;1)$

Đường thẳng: $4x - 2y - 4 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (4; - 2)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (4; - 2)$

$\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{2}} \right|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{2}} \right|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( d_{1};d_{2} \right) = 45^{0}$ $\Rightarrow \left( d_{1};d_{2} \right) = 45^{0}$

c) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_{1}:x + \sqrt{3}y = 0$ $\Delta_{1}:x + \sqrt{3}y = 0$ là ${\overrightarrow{n}}_{1} = \left( 1;\sqrt{3} \right)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = \left( 1;\sqrt{3} \right)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_{2}:x + 10 = 0$ $\Delta_{2}:x + 10 = 0$ là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0)$

Gọi $\varphi$ $\varphi$ là góc gữa $\Delta_{1};\Delta_{2}$ $\Delta_{1};\Delta_{2}$:

$\cos\varphi = \frac{\left| 1.1 + \sqrt{3}.0 \right|}{\sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi \simeq 60^{0}$ $\cos\varphi = \frac{\left| 1.1 + \sqrt{3}.0 \right|}{\sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi \simeq 60^{0}$

Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa hai đường thẳng:

a). $\Delta_{1}:10x + 5y - 1 = 0$ $\Delta_{1}:10x + 5y - 1 = 0$ và $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \end{matrix} \right.$ $\Delta_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \end{matrix} \right.$

b) $\Delta_{1}:x + 2y - 7 = 0$ $\Delta_{1}:x + 2y - 7 = 0$ và $\Delta_{2}:2x - 4y + 9 = 0$ $\Delta_{2}:2x - 4y + 9 = 0$

c) $d_{1}:\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{6}$ $d_{1}:\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{6}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 10 - 6t \\ y = 1 - t \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 10 - 6t \\ y = 1 - t \end{matrix} \right.$.

Hướng dẫn giải

a) Vectơ pháp tuyến của $\Delta_{1};\Delta_{2}$ $\Delta_{1};\Delta_{2}$ lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;1)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;1)$, ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;1)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;1)$

$\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{2}} \right|} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} \right) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{2}} \right|} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;2)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;2)$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (2; - 4)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (2; - 4)$

Gọi $\mu$ $\mu$ là góc gữa $\Delta_{1};\Delta_{2}$ $\Delta_{1};\Delta_{2}$: $\cos\varphi = \frac{\left| 1.2 + 2.( - 4) \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}.\sqrt{2^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{3}{5}$ $\cos\varphi = \frac{\left| 1.2 + 2.( - 4) \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}.\sqrt{2^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{3}{5}$

c) $d_{1}$ $d_{1}$ có VTPT ${\overrightarrow{n}}_{1} = (6; - 5)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (6; - 5)$ và $d_{2}$ $d_{2}$ có VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (5;6)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (5;6)$.

Do ${\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0$ ${\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0$ $\Rightarrow d_{1}\bot d_{2}$ $\Rightarrow d_{1}\bot d_{2}$

Vậy $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = 0$ $\cos\left( d_{1};d_{2} \right) = 0$

Ví dụ 3: Tìm $a$ biết đường thẳng $y = ax + 1$ hợp với $x - y = 0$ một góc 60⁰

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: $y = ax + 1 \Leftrightarrow ax - y + 1 = 0$ $y = ax + 1 \Leftrightarrow ax - y + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a; - 1)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a; - 1)$

Đường thẳng: $x - y = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1; - 1)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1; - 1)$

$\cos\left( d_{1},d_{2} \right) = \frac{\left| a.1 + ( - 1).( - 1) \right|}{\sqrt{a^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2}}}$ $\cos\left( d_{1},d_{2} \right) = \frac{\left| a.1 + ( - 1).( - 1) \right|}{\sqrt{a^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2}}}$

$= \frac{|a + 1|}{\sqrt{a^{2} + 1}.\sqrt{2}} = cos60^{0} = \frac{1}{2}.$ $= \frac{|a + 1|}{\sqrt{a^{2} + 1}.\sqrt{2}} = cos60^{0} = \frac{1}{2}.$

$\Rightarrow \sqrt{2}|a + 1| = \sqrt{a^{2} + 1}$ $\Rightarrow \sqrt{2}|a + 1| = \sqrt{a^{2} + 1}$ $\Leftrightarrow 2(a + 1)^{2} = a^{2} + 1$ $\Leftrightarrow 2(a + 1)^{2} = a^{2} + 1$

$\Leftrightarrow a^{2} + 4a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 2 \pm \sqrt{3}.$ $\Leftrightarrow a^{2} + 4a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 2 \pm \sqrt{3}.$

Ví dụ 4: Có hai giá trị $m_{1};m_{2}$ $m_{1};m_{2}$ để đường thẳng d₁ $x + my - 3 = 0$ hợp với đường thẳng $d_{2}:x + y = 0$ $d_{2}:x + y = 0$ một góc 60⁰. Tổng $m_{1} + m_{2}$ $m_{1} + m_{2}$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: $x + my - 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;m)$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;m)$

Đường thẳng: $d_{2}:x + y = 0$ $d_{2}:x + y = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;1)$ ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;1)$

$\cos\left( d_{1},d_{2} \right) = \frac{|1.1 + m.1|}{\sqrt{m^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$ $\cos\left( d_{1},d_{2} \right) = \frac{|1.1 + m.1|}{\sqrt{m^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$

$= \frac{|m + 1|}{\sqrt{m^{2} + 1}.\sqrt{2}} = cos60^{0} = \frac{1}{2}$ $= \frac{|m + 1|}{\sqrt{m^{2} + 1}.\sqrt{2}} = cos60^{0} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{2}|m + 1| = \sqrt{m^{2} + 1}$ $\Rightarrow \sqrt{2}|m + 1| = \sqrt{m^{2} + 1}$ $\Leftrightarrow 2(m + 1)^{2} = m^{2} + 1$ $\Leftrightarrow 2(m + 1)^{2} = m^{2} + 1$

$\Leftrightarrow m^{2} + 4m + 1 = 0 \Rightarrow m_{1} + m_{2} = - 4.$ $\Leftrightarrow m^{2} + 4m + 1 = 0 \Rightarrow m_{1} + m_{2} = - 4.$

Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng $d:x + 2y + 3 = 0,d':2x + y + 3 = 0$. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d' và là:

$\frac{|x + 2y + 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{|2x + y + 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}$ $\frac{|x + 2y + 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{|2x + y + 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + 2y + 3 = 2x + y + 3 \\ x + 2y + 3 = - (2x + y + 3) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + 2y + 3 = 2x + y + 3 \\ x + 2y + 3 = - (2x + y + 3) \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - y = 0 \\ x + 2y + 2 = 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - y = 0 \\ x + 2y + 2 = 0 \end{matrix} \right.$.

C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua $A( - 2;0)$ và tạo với đường thẳng $d:x + 3y - 3 = 0$ một góc $45^{0}$ $45^{0}$?

Bài tập 2: Cho $\Delta ABC$ $\Delta ABC$ với $A(4; - 3),B(1;1),C\left( - 1; - \frac{1}{2} \right)$ $A(4; - 3),B(1;1),C\left( - 1; - \frac{1}{2} \right)$. Tìm phương trình đường phân giác trong của góc $B$ ?

Bài tập 3: Cho đường thẳng đi qua hai điểm $A(3,0)$, $B(0;4)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên $Oy$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ bằng $6$.

Bài tập 4: Xác định tất cả các giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 9 + at \\ y = 7 - 2t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 9 + at \\ y = 7 - 2t \end{matrix} \right.$ $\left( t\mathbb{\in R} \right)$ $\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45{^\circ}$ $45{^\circ}$.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

--------------------------------------------------

Qua bài viết, bạn đã nắm được công thức tính góc giữa 2 đường thẳng cùng cách áp dụng nhanh vào từng dạng bài cụ thể. Hãy luyện tập thêm nhiều ví dụ để ghi nhớ phương pháp và rèn phản xạ giải toán 10 hiệu quả hơn. Chúc bạn vận dụng tốt kiến thức vào học tập và chinh phục những dạng toán khó hơn!

Tải về

Chọn file muốn tải về: