Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai
Bài tập GTLN GTNN hàm bậc hai - Có đáp án
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bậc hai là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán 10, giúp học sinh hiểu rõ sự biến thiên của parabol và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tiễn. Việc nắm chắc bản chất cực trị, đỉnh parabol và cách xét miền xác định sẽ giúp bạn giải nhanh và chính xác. Bài viết Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai cung cấp hướng dẫn chi tiết, phương pháp giải bài dễ nhớ cùng ví dụ minh họa rõ ràng. Đây là tài liệu thuộc chuyên mục Chuyên đề Toán 10, phù hợp cho học sinh ôn luyện từ cơ bản đến nâng cao.
A. Bài tập minh họa tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Ví dụ 1: Cho hàm số 
\(y = x^{2} - 4x -
3\). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\lbrack - 3;5\rbrack\).
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số: \(a = 1,b = - 4,c = - 3\).
Ta có: \(\frac{- b}{2a} = \frac{4}{2.1} =
2\);\(\frac{- \Delta}{4a} = \frac{( -
4)^{2} - 4.( - 3)}{4.1} = \frac{- 28}{4} = - 7\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(( - \infty;2)\), đồng biến trên \((2; + \infty)\). Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên \(\lbrack - 3;5\rbrack\) là:
Dựa vào bảng biến thiên, vậy \(\underset{x
\in \lbrack - 3;5\rbrack}{\min y} = y(2) = - 7\) và \(\underset{x \in \lbrack - 3;5\rbrack}{\max y} = y(
- 3) = 18\).
Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = - 2x^{2} + 4x +
3\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\lbrack 2;7\rbrack\).
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có \(a = -
2,b = 4,c = 3\).
Ta có: \(\frac{- b}{2a} = \frac{- 4}{2.( -
2)} = 1\); \(\frac{- \Delta}{4a} = -
\frac{4^{2} - 4.( - 2).3}{4.( - 2)} = 5\)
Vì \(a = - 2 < 0\) nên hàm số đồng biến trên \(( - \infty;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty)\). Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên \(\lbrack 2;7\rbrack\) là:
Dựa vào bảng biến thiên, vậy \(\underset{x
\in \lbrack 2;7\rbrack}{\min y} = y(7) = - 67\) và\(\underset{x \in \lbrack 2;7\rbrack}{\max y} = y(2)
= 3\).
Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số \(m
\neq 0\) để hàm số \(y = mx^{2} - 2mx -
3m - 2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(-
10\) trên \(\mathbb{R}.\)
Hướng dẫn giải
Hoành độ đỉnh: \(x_{I} = - \frac{b}{2a} =
\frac{2m}{2m} = 1\), suy ra \(y_{I} = -
4m - 2\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(-
10\) khi và chỉ khi \(\left\{
\begin{matrix}
m > 0 \\
- 4m - 2 = - 10
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2\). ( Thỏa mãn)
Ví dụ 4: Cho hàm số \(y = ax^{2} + bx +
c\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi \(x
= 1\) và nhận giá trị bằng \(3\) khi \(x = 2\). Tính \(abc\).
Hướng dẫn giải
Để hàm số \(y = ax^{2} + bx + c\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi \(x =
1\) và nhận giá trị bằng \(3\) khi \(x = 2\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{matrix}
a > 0 \\
- \frac{b}{2a} = 1 \\
f(1) = 2 \\
f(2) = 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a > 0 \\
2a + b = 0 \\
a + b + c = 2 \\
4a + 2b + c = 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 2 \\
c = 3
\end{matrix} \right.\).
Vậy \(abc = 1.( - 2).3 = - 6\).
B. Bài tập vận dụng tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai
Bài tập 1: Cho hàm số \(y = mx^{2} - 2x - m
- 1\). Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 2: Cho hàm số \(y = - (m -
1)^{2}x^{2} + 2(m - 1)^{2}x + 1 + 2m\). Với \(m \neq 1\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = \frac{\underset{x \in \lbrack
0;2\rbrack}{\min y}}{\underset{x \in \lbrack 0;2\rbrack}{\max
y}}\).
Bài tập 3: Tìm các tham số \(a,\ \ b,\ \
c\) sao cho hàm số \(y = ax^{2} + bx +
c\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(4\) tại \(x =
2\) và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay
------------------------------------
Sau khi theo dõi bài viết, bạn đã hiểu được cách xác định GTLN – GTNN của hàm số bậc hai dựa trên vị trí đỉnh, chiều mở và miền khảo sát. Các ví dụ kèm lời giải chi tiết giúp bạn dễ dàng áp dụng vào những bài toán tương tự trong kiểm tra và thi học kỳ. Hãy lưu lại bài viết để tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều nội dung quan trọng khác trong chuyên đề Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Toán 10. Chúc bạn học tốt và thành thạo kỹ năng tìm GTLN – GTNN của hàm số!
