Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Toán 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 10

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập GTLN GTNN hàm bậc hai - Có đáp án

A. GTLN và GTNN của hàm số bậc hai là gì?
B. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai Toán 10 như thế nào?
C. Bài tập minh họa tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bậc hai
B. Bài tập vận dụng tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số bậc hai là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán 10, giúp học sinh hiểu rõ sự biến thiên của parabol và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tiễn. Việc nắm chắc bản chất cực trị, đỉnh parabol và cách xét miền xác định sẽ giúp bạn giải nhanh và chính xác.

Bài viết Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai cung cấp hướng dẫn chi tiết, phương pháp giải bài dễ nhớ cùng ví dụ minh họa rõ ràng. Đây là tài liệu thuộc chuyên mục Chuyên đề Toán 10, phù hợp cho học sinh ôn luyện từ cơ bản đến nâng cao.

A. GTLN và GTNN của hàm số bậc hai là gì?

GTLN là giá trị lớn nhất, còn GTNN là giá trị nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên tập xác định hoặc một miền đang xét. Với hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$, trong đó $a\ne0$ $a\ne0$, đồ thị là một parabol có đỉnh tại: $x_I=-\frac{b}{2a},\qquad y_I=-\frac{\Delta}{4a}$ $x_I=-\frac{b}{2a},\qquad y_I=-\frac{\Delta}{4a}$

với $\Delta=b^2-4ac$ $\Delta=b^2-4ac$.

Nếu a>0, parabol mở lên và hàm số đạt GTNN trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ tại đỉnh, bằng $-\frac{\Delta}{4a}$ $-\frac{\Delta}{4a}$, nhưng không có GTLN.
Nếu a<0, parabol mở xuống và hàm số đạt GTLN trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ tại đỉnh, bằng $-\frac{\Delta}{4a}$ $-\frac{\Delta}{4a}$, nhưng không có GTNN.

B. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai Toán 10 như thế nào?

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai, học sinh nên thực hiện theo các bước sau:

Xác định hàm số $y=ax^2+bx+c$ và các hệ số a,b,c.
Tìm tọa độ đỉnh của parabol, đặc biệt là hoành độ $x_I=-\frac{b}{2a}$ $x_I=-\frac{b}{2a}$.
Xác định chiều mở của parabol dựa vào dấu của a.
Xem xét tập xác định hoặc miền giá trị của x trong đề bài.
Kết luận GTLN, GTNN và giá trị của x tương ứng nếu tồn tại.

Nếu đề bài giới hạn x trên một đoạn, cần xét cả đỉnh (nếu thuộc đoạn) và hai đầu mút. Đây là bước quan trọng để tránh bỏ sót giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

C. Bài tập minh họa tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x² - 4x - 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-3; 5].

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có hệ số: a = 1; b = -4; c = -3 .

Ta có: $\frac{- b}{2a} = \frac{4}{2.1} = 2$ ; $\frac{- \Delta}{4a} = \frac{( - 4)^{2} - 4.( - 3)}{4.1} = \frac{- 28}{4} = - 7$ .

Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên (-∞; 2) , đồng biến trên (2; +∞) . Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 5] là:

Dựa vào bảng biến thiên, vậy $\underset{x \in \lbrack - 3;5\rbrack}{\min y} = y(2) = - 7$ và $\underset{x \in \lbrack - 3;5\rbrack}{\max y} = y( - 3) = 18$ .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -2x² + 4x + 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [2; 7].

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho là hàm số bậc hai có a = -2; b = 4; c = 3.

Ta có: $\frac{- b}{2a} = \frac{- 4}{2.( - 2)} = 1$ ; $\frac{- \Delta}{4a} = - \frac{4^{2} - 4.( - 2).3}{4.( - 2)} = 5$

Vì nên hàm số đồng biến trên (-∞; 1), nghịch biến trên (1; +∞). Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên [2; 7] là:

Dựa vào bảng biến thiên, vậy $\underset{x \in \lbrack 2;7\rbrack}{\min y} = y(7) = - 67$ và $\underset{x \in \lbrack 2;7\rbrack}{\max y} = y(2) = 3$ .

Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m ≠ 0 để hàm số y = 3x² - 2mx - 3m - 2 có giá trị nhỏ nhất bằng trên $\mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Hoành độ đỉnh: $x_{I} = - \frac{b}{2a} = \frac{2m}{2m} = 1$ , suy ra $y_{I} = - 4m - 2$ .

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -10 khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ - 4m - 2 = - 10 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2$ . (Thỏa mãn)

Ví dụ 4: Cho hàm số y = ax² + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 1 và nhận giá trị bằng 3 khi x = 2. Tính abc.

Hướng dẫn giải

Để hàm số y = ax² + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = 1 và nhận giá trị bằng 3 khi x= 2 khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ - \frac{b}{2a} = 1 \\ f(1) = 2 \\ f(2) = 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ 2a + b = 0 \\ a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = 3 \end{matrix} \right.$ .

Vậy abc = 1.(-2).(3 = -6.

B. Bài tập vận dụng tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai

Bài tập 1: Cho hàm số y = mx² - 2x - m - 1. Tìm giá trị thực của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = - (m - 1)^{2}x^{2} + 2(m - 1)^{2}x + 1 + 2m$ y = -(m - 1)²x² + 2(m - 1)²x + 1 + 2m. Với m ≠ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = \frac{\underset{x \in \lbrack 0;2\rbrack}{\min y}}{\underset{x \in \lbrack 0;2\rbrack}{\max y}}$ .

Bài tập 3: Tìm các tham số a; b; c sao cho hàm số y = ax² + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất là 4 tại x = 2 và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6.

Bài tập 4: Cho hàm số $y = f(x) = 4x^{2} - 4mx + m^{2} - 2m$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho giá trị nhỏ nhất của f(x) = 3.

Bài tập 5: Cho hàm số $y = x^{2} + ax + b\left( a,b\mathbb{\in R} \right)$ biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại . Tính a + b?

Bài tập 6: Cho hàm số y = ax² + bx + c với các hệ số $a,\ \ b,\ \ c \in \mathbb{R;}a \neq 0$ . Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là . Khi đó giá trị của biểu thức 2a + 3b - 6c bằng bao nhiêu?

Bài tập 7: Biết rằng hàm số $y = ax^{2} + bx + c$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại và đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ . Tổng giá trị bằng bao nhiêu?

Bài tập 8: Biết rằng tồn tại $a\mathbb{\in Z}$ để hàm số $y = \frac{1}{x - 4}$ nghịch biến trên khoảng $(a; + \infty)$ . Gọi $a_{0}$ là giá trị nhỏ nhất của . Tính $a_{0}^{2} + 2024$ .

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay

------------------------------------

FAQ?

Khi nào hàm số bậc hai có GTLN hoặc GTNN?

Điều này phụ thuộc vào dấu của hệ số a và tập giá trị của biến x.

Nếu xét trên toàn bộ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ và a>0, hàm số có GTNN tại đỉnh nhưng không có GTLN.
Nếu xét trên toàn bộ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ và a<0, hàm số có GTLN tại đỉnh nhưng không có GTNN.
Nếu xét trên đoạn đóng [m,n], hàm số liên tục nên luôn đạt cả GTLN và GTNN. Với hàm bậc hai, chỉ cần so sánh giá trị tại hai đầu mút và tại đỉnh nếu đỉnh nằm trong đoạn.

Học sinh cần đọc kỹ miền xác định trước khi kết luận, bởi cùng một hàm số có thể có kết quả khác nhau khi xét trên những miền khác nhau.

Cách giải bài tập GTLN, GTNN nâng cao Toán 10 có gì khác so với bài cơ bản?

Ở bài tập cơ bản, học sinh thường được yêu cầu tìm GTLN hoặc GTNN của hàm bậc hai trên $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ hoặc trên một đoạn xác định. Với bài nâng cao, đề có thể bổ sung điều kiện của biến, tham số hoặc yêu cầu tìm giá trị tối ưu của một biểu thức.

Để giải hiệu quả, học sinh cần phân tích điều kiện trước, biến đổi biểu thức về dạng thuận lợi và xác định miền giá trị hợp lệ. Nếu xuất hiện tham số, cần xét các trường hợp tương ứng với dấu của hệ số bậc hai và vị trí đỉnh. Sau khi tìm được kết quả, hãy kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng để bảo đảm giá trị tìm được thực sự đạt được trong miền đang xét.

--------------------------------------------

Sau khi theo dõi bài viết, bạn đã hiểu được cách xác định GTLN – GTNN của hàm số bậc hai dựa trên vị trí đỉnh, chiều mở và miền khảo sát. Các ví dụ kèm lời giải chi tiết giúp bạn dễ dàng áp dụng vào những bài toán tương tự trong kiểm tra và thi học kỳ. Hãy lưu lại bài viết để tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều nội dung quan trọng khác trong chuyên đề Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số Toán 10. Chúc bạn học tốt và thành thạo kỹ năng tìm GTLN – GTNN của hàm số!

Tải về

Chọn file muốn tải về: