Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m

Trong quá trình học về hàm số bậc hai, dạng toán tìm điểm cố định mà đồ thị parabol (P) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m là một dạng bài quan trọng và thường gặp trong kiểm tra, học kỳ và luyện thi. Việc xác định đúng điểm cố định giúp học sinh hiểu sâu hơn về sự phụ thuộc tham số và bản chất của đồ thị hàm số.

Bài viết Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m sẽ hướng dẫn bạn phương pháp giải bài chi tiết, cách nhận dạng nhanh dạng toán và kèm ví dụ minh họa dễ hiểu. Đây là nội dung nằm trong Hàm số bậc hai Toán 10, phù hợp cho cả học sinh đang học mới lẫn đang ôn luyện nâng cao.

A. Cách tìm điểm cố định đồ thị hàm số bậc hai

B. Bài tập minh họa tìm điểm cố định của (P)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D\mathbb{= R}\).

Giả sử điểm \(M\left( x_{0}\ ;\ y_{0} \right)\) là điểm cố định mà \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua.

Khi đó \(y_{0} = (1 + m)x_{0}^{2} - 2(m - 1)x_{0} + m - 3\), \(\forall m\mathbb{\in R}\).

\(\Leftrightarrow \left( x_{0}^{2} - 2x_{0} + 1 \right)m + x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 - y_{0} = 0\), \(\forall m\mathbb{\in R}\).

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0}^{2} - 2x_{0} + 1 = 0 \\ x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 - y_{0} = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 0 \end{matrix} \right.\).

Vậy họ \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(M(1\ ;\ 0)\).

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D\mathbb{= R}\).

Giả sử điểm \(M\left( x_{0}\ ;\ y_{0} \right)\) là điểm cố định mà \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua.

Khi đó \(y_{0} = (m - 1)x_{0}^{2} + 2mx_{0} - 3m + 1\), \(\forall m\mathbb{\in R}\).

\(\Leftrightarrow \left( x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 \right)m - x_{0}^{2} + 1 - y_{0} = 0\), \(\forall m\mathbb{\in R}\).

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 = 0 \\ - x_{0}^{2} + 1 - y_{o} = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 1 \\ x_{0} = - 3 \end{matrix} \right.\ \\ y_{0} = 1 - {x_{0}}^{2} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 0 \end{matrix} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{matrix} x_{0} = - 3 \\ y_{0} = - 8 \end{matrix} \right.\).

Vậy họ \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua 2 điểm cố định \(M_{1}(1\ ;\ 0)\) và \(M_{2}( - 3\ ;\ - 8)\).

C. Bài tập vận dụng tìm điểm cố định có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1: Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số \(\left( P_{m} \right)\):\(y = m^{2}x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 1\) .

Bài tập 2: Cho hàm số \(y = x^{2} + (2m - 3)x + 5 - 4m\). Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), đồ thị \(\left( P_{m} \right)\)của hàm số đã cho và đường thẳng \(\left( d_{m} \right):\ y = 2mx - 4m + 3\) luôn có một điểm chung cố định.

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

------------------------------------

FAQ – Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m

1. Điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m là gì?

Điểm cố định là điểm có tọa độ không phụ thuộc vào tham số m nhưng luôn nằm trên đồ thị (P) với mọi giá trị của m thỏa mãn điều kiện của bài toán. Đây là dạng toán quen thuộc trong chuyên đề hàm số và đồ thị Toán 10, thường xuất hiện trong các bài tập vận dụng.

2. Làm thế nào để tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m?

Phương pháp phổ biến gồm các bước:

• Viết phương trình của (P) dưới dạng chứa tham số m.
• Thay tọa độ điểm tổng quát (x;y)(x; y) ( x ; y ) vào phương trình.
• Nhóm các hạng tử theo tham số m.
• Điều kiện để đẳng thức đúng với mọi m là hệ số của m và phần không chứa m đều thỏa mãn.
• Giải hệ phương trình để tìm tọa độ điểm cố định.

Đây là phương pháp được sử dụng nhiều trong chương trình Toán 10.

3. Vì sao phải xét điều kiện “đúng với mọi m”?

Cụm từ "với mọi m" là dấu hiệu quan trọng của bài toán. Điều này có nghĩa phương trình phải luôn đúng dù tham số m nhận bất kỳ giá trị nào (trong miền xác định). Vì vậy, cần tách riêng các biểu thức chứa m và không chứa m để tìm điều kiện tương ứng.

4. Dạng toán tìm điểm cố định thường gặp ở những loại đồ thị nào?

Học sinh thường gặp dạng toán này với:

• Parabol.
• Đường thẳng chứa tham số.
• Họ đường thẳng.
• Họ parabol.
• Một số bài toán liên quan đến hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.

Mỗi dạng có cách biến đổi khác nhau nhưng đều dựa trên nguyên tắc tìm điểm không phụ thuộc tham số.

5. Làm sao để nhận biết bài toán yêu cầu tìm điểm cố định?

Đề bài thường xuất hiện các cụm từ như:

• Điểm cố định.
• Luôn đi qua.
• Với mọi giá trị của m.
• Không phụ thuộc tham số.
• Chứng minh các đồ thị cùng đi qua một điểm.

Đây là những dấu hiệu giúp nhận diện nhanh dạng toán.

6. Những lỗi thường gặp khi giải bài toán tìm điểm cố định là gì?

Một số lỗi phổ biến gồm:

• Chỉ thay một giá trị cụ thể của m.
• Không tách riêng các hạng tử chứa m.
• Nhầm giữa điều kiện đúng với mọi m và đúng với một giá trị của m.
• Giải sai hệ phương trình sau khi nhóm hạng tử.
• Kết luận thiếu điều kiện của bài toán.

Việc trình bày rõ từng bước sẽ giúp hạn chế sai sót.

7. Điểm cố định có luôn là giao điểm của các đồ thị không?

Trong nhiều bài toán, điểm cố định chính là điểm chung mà mọi đồ thị trong họ đều đi qua. Tuy nhiên, không phải mọi giao điểm đều là điểm cố định. Muốn kết luận, cần chứng minh điểm đó thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của tham số m.

------------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã nắm được cách tìm điểm cố định của parabol (P) không phụ thuộc vào tham số m, đồng thời hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số bậc hai trong chương trình Toán 10. Những ví dụ minh họa và lời giải chi tiết giúp bạn vận dụng hiệu quả vào các bài kiểm tra và đề thi học kỳ. Hãy lưu lại tài liệu để tiếp tục ôn luyện khi cần và khám phá thêm nhiều dạng bài thú vị khác trong Chuyên đề Toán 10. Chúc bạn học tốt và thành thạo dạng toán này!