Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m
Cách tìm điểm cố định của (P) không phụ thuộc vào m
Trong quá trình học về hàm số bậc hai, dạng toán tìm điểm cố định mà đồ thị parabol (P) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m là một dạng bài quan trọng và thường gặp trong kiểm tra, học kỳ và luyện thi. Việc xác định đúng điểm cố định giúp học sinh hiểu sâu hơn về sự phụ thuộc tham số và bản chất của đồ thị hàm số.
Bài viết Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m sẽ hướng dẫn bạn phương pháp giải bài chi tiết, cách nhận dạng nhanh dạng toán và kèm ví dụ minh họa dễ hiểu. Đây là nội dung nằm trong Hàm số bậc hai Toán 10, phù hợp cho cả học sinh đang học mới lẫn đang ôn luyện nâng cao.
A. Cách tìm điểm cố định đồ thị hàm số bậc hai
Cho họ hàm số 
\(f(x\ ;\ m) = 0\) (\(m\) là tham số) có đồ thị \(\left( P_{m} \right)\). Để tìm điểm cố định mà \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua với mọi giá trị của \(m\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giả sử điểm \(M\left( x_{0}\ ;\
y_{0} \right)\) là điểm cố định mà \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua.
Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn phương trình \(f(x\ ;\ m) = 0\).
Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình ẩn \(m\) dạng \(Am + B
= 0\)
(hoặc \(Am^{2} + Bm + C = 0\)). Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{matrix}
A = 0 \\
B = 0
\end{matrix} \right.\) hoặc \(\left\{
\begin{matrix}
A = 0 \\
B = 0 \\
C = 0
\end{matrix} \right.\). Tìm được \(x_{0}\ ;\ y_{0}^{\ }\ \ \ \Rightarrow \ M\left(
x_{0}\ ;\ y_{0}^{\ }\ \right)\).
Bước 3: Kết luận.
B. Bài tập minh họa tìm điểm cố định của (P)
Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = (1 + m)x^{2} -
2(m - 1)x + m - 3\ \ \ \ \left( P_{m} \right)\). Chứng tỏ rằng \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm cố định đó.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: \(D\mathbb{= R}\).
Giả sử điểm \(M\left( x_{0}\ ;\ y_{0}
\right)\) là điểm cố định mà \(\left(
P_{m} \right)\) luôn đi qua.
Khi đó \(y_{0} = (1 + m)x_{0}^{2} - 2(m -
1)x_{0} + m - 3\), \(\forall
m\mathbb{\in R}\).
\(\Leftrightarrow \left( x_{0}^{2} - 2x_{0}
+ 1 \right)m + x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 - y_{0} = 0\), \(\forall m\mathbb{\in R}\).
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0}^{2} - 2x_{0} + 1 = 0 \\
x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 - y_{0} = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0} = 1 \\
y_{0} = 0
\end{matrix} \right.\).
Vậy họ \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(M(1\ ;\ 0)\).
Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = (m - 1)x^{2} +
2mx - 3m + 1\ \ \ \ \ \left( P_{m} \right)\). Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số trên.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: \(D\mathbb{= R}\).
Giả sử điểm \(M\left( x_{0}\ ;\ y_{0}
\right)\) là điểm cố định mà \(\left(
P_{m} \right)\) luôn đi qua.
Khi đó \(y_{0} = (m - 1)x_{0}^{2} + 2mx_{0}
- 3m + 1\), \(\forall m\mathbb{\in
R}\).
\(\Leftrightarrow \left( x_{0}^{2} + 2x_{0}
- 3 \right)m - x_{0}^{2} + 1 - y_{0} = 0\), \(\forall m\mathbb{\in R}\).
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0}^{2} + 2x_{0} - 3 = 0 \\
- x_{0}^{2} + 1 - y_{o} = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x_{0} = 1 \\
x_{0} = - 3
\end{matrix} \right.\ \\
y_{0} = 1 - {x_{0}}^{2}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0} = 1 \\
y_{0} = 0
\end{matrix} \right.\) hoặc \(\left\{
\begin{matrix}
x_{0} = - 3 \\
y_{0} = - 8
\end{matrix} \right.\).
Vậy họ \(\left( P_{m} \right)\) luôn đi qua 2 điểm cố định \(M_{1}(1\ ;\
0)\) và \(M_{2}( - 3\ ;\ -
8)\).
C. Bài tập vận dụng tìm điểm cố định có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1: Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số \(\left( P_{m} \right)\):\(y = m^{2}x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} - 1\) .
Bài tập 2: Cho hàm số \(y = x^{2} + (2m -
3)x + 5 - 4m\). Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), đồ thị \(\left( P_{m} \right)\)của hàm số đã cho và đường thẳng \(\left( d_{m} \right):\ y = 2mx -
4m + 3\) luôn có một điểm chung cố định.
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã nắm được cách tìm điểm cố định của parabol (P) không phụ thuộc vào tham số m, đồng thời hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số bậc hai trong chương trình Toán 10. Những ví dụ minh họa và lời giải chi tiết giúp bạn vận dụng hiệu quả vào các bài kiểm tra và đề thi học kỳ. Hãy lưu lại tài liệu để tiếp tục ôn luyện khi cần và khám phá thêm nhiều dạng bài thú vị khác trong Chuyên đề Toán 10. Chúc bạn học tốt và thành thạo dạng toán này!
