Tìm M thuộc elip (E) sao cho
Cách tìm M thuộc elip thỏa mãn điều kiện
Trong bài toán elip của chương trình Toán 10, dạng toán tìm điểm M thuộc elip (E) sao cho… thường yêu cầu xác định vị trí của điểm M thỏa mãn một điều kiện đặc biệt nào đó, như khoảng cách, tổng khoảng cách, giá trị biểu thức hoặc quan hệ hình học. Bài viết này cung cấp hướng dẫn phương pháp giải chi tiết, kèm theo bài tập có đáp án để giúp học sinh hiểu rõ cách xử lý các dạng yêu cầu khác nhau liên quan đến điểm thuộc elip. Đây là tài liệu hữu ích cho quá trình luyện tập và ôn kiểm tra.
A. Công thức cần nhớ
Cho Elip có phương trình chính tắc: 
\((E):\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =
1\) với \(b^{2} = a^{2} -
c^{2}\).
- \(M(x;y) \in (E)\). Khi đó \(MF_{1} = a + ex\): bán kính qua tiêu điểm trái.
- \(MF_{2} = a - ex\): bán kính qua tiêu điểm phải.
B. Ví dụ minh họa tìm tọa độ điểm M thuộc Elip thỏa mãn điều kiện
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} =
1\). Gọi \(F_{1}\), \(F_{2}\) là hai tiêu điểm của Elip trong đó \(F_{1}\) có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho \(MF_{1} = 2MF_{2}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(a^{2} = 9 \Rightarrow a =
3\) và \(b^{2} = 5 \Rightarrow b =
\sqrt{5}\). Suy ra \(c^{2} = a^{2} -
b^{2} = 4 \Rightarrow c = 2\).
Gọi \(M(x\ ;y) \in (E)\).
Ta có\(MF_{1} = 2MF_{2}\)
\(\Leftrightarrow a + ex = 2(a -
ex)\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{a}{3e} =
\frac{a^{2}}{3c} = \frac{3}{2}\).
Thay vào \((E)\), ta được: \(\frac{9}{4.9} + \frac{y^{2}}{5} = 1
\Leftrightarrow y^{2} = \frac{15}{4} \Leftrightarrow y = \pm
\frac{\sqrt{15}}{2}\).
Vậy \(M\left( \frac{3}{2}; -
\frac{\sqrt{15}}{2} \right)\) hoặc \(M\left( \frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2}
\right)\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} =
1\). Gọi \(F_{1}\), \(F_{2}\) là hai tiêu điểm của Elip; \(A\), \(B\) là hai điểm thuộc \((E)\) sao cho \(AF_{1} + BF_{2} = 8\). Tính \(AF_{2} + BF_{1}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(a^{2} = 25 \Rightarrow a =
5\). Do \(A,\ B \in (E)\) nên
\(AF_{1} + AF_{2} = 2a = 10\) và \(BF_{1} + BF_{2} = 2a = 10\).
Suy ra \(AF_{1} + AF_{2} + BF_{1} + BF_{2}
= 20 \Leftrightarrow 8 + AF_{2} + BF_{1} = 20 \Leftrightarrow AF_{2} +
BF_{1} = 12\).
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} =
1\). Tìm những điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của \((E)\) dưới một góc vuông.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(a^{2} = 9 \Rightarrow a =
3\) và \(b^{2} = 1 \Rightarrow b =
1\).
Suy ra \(c^{2} = a^{2} - b^{2} = 2
\Rightarrow c = 2\sqrt{2}\).
Gọi \(M(x;y) \in (E)\).
Ta có: \(\widehat{F_{1}MF_{2}} = 90^{0}\) nên \(F_{1}{F_{2}}^{2} = M{F_{1}}^{2} +
M{F_{2}}^{2}\)
\(\begin{matrix}\Leftrightarrow 4c^{2} = (a + ex)^{2} + (a - ex)^{2} \Leftrightarrow 32= 2a^{2} + 2e^{2}x^{2} \hfill \\\Leftrightarrow 32 = 18 + 2.\dfrac{8}{9}.x^{2} \Leftrightarrow x^{2} =\dfrac{63}{8} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\hfill\end{matrix}\)
Thay vào \((E)\), ta được \(y^{2} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow y = \pm
\frac{1}{2\sqrt{2}}\).
Vậy \(M\left(
\frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}};\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\), \(M\left( \frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}; -
\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\), \(M\left( -
\frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}};\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\) hoặc \(M\left( - \frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}; -
\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\).
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} =
1\). Gọi \(F_{1}\), \(F_{2}\) là hai tiêu điểm của Elip trong đó \(F_{1}\) có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho \(MF_{1} - MF_{2} = 2\).
Bài tập 2. a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1\) với hai tiêu điểm \(F_{1}\), \(F_{2}\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho góc \(\widehat{F_{1}MF_{2}} = 60^{0}\).
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{25} =
1\) với hai tiêu điểm \(F_{1}\), \(F_{2}\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho góc \(\widehat{F_{1}MF_{2}} = 120^{0}\).
c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} =
1\) với hai tiêu điểm \(F_{1}\), \(F_{2}\) trong đó \(F_{1}\) có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho góc \(\widehat{MF_{1}F_{2}} = 120^{0}\).
Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho Elip \((E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1\) và điểm \(C(2;0)\). Tìm tọa độ các điểm \(A\), \(B\) thuộc \((E)\), biết rằng \(A\), \(B\) đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác \(ABC\) là tam giác đều.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ
-----------------------------------------------------
Qua nội dung trên, bạn đã nắm được phương pháp giải bài toán tìm điểm M thuộc elip (E) theo nhiều dạng điều kiện khác nhau. Với hệ thống bài tập và đáp án chi tiết, hy vọng bạn sẽ dễ dàng vận dụng vào các đề kiểm tra và đề thi của Toán 10. Đừng quên theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chuyên đề Conic và hình học giải tích được biên soạn khoa học và sát chương trình mới.
