Cách lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (kèm ví dụ giải chi tiết)
Cách lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Trong chuyên đề hình học tọa độ, việc lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng Oxy là bước quan trọng giúp học sinh hiểu sâu cấu trúc của đường tròn và mối liên hệ giữa tâm, bán kính và các điểm thuộc đường tròn. Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong bài kiểm tra và đề thi Toán THPT.
Bài viết sẽ hướng dẫn bạn cách lập phương trình đường tròn theo từng trường hợp đặc trưng, từ biết tâm – bán kính, biết ba điểm, đến các dạng nâng cao. Mỗi phần đều kèm ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm chắc phương pháp và tự tin giải nhanh mọi bài tập liên quan.
A. Phương pháp lập phương trình đường tròn
Cách 1:
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
+ Viết phương trình của (C) theo dạng 
\((x
- a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}\).
Cách 2:
Giả sử phương trình đường tròn (C) là: \(x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0\) (Hoặc \(x^{2} + y^{2} + 2ax + 2by + c = 0\)).
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý:
- \(A \in (C) \Leftrightarrow IA =
R\)
- \((C)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) tại \(A \Leftrightarrow IA = d(I;\Delta) =
R\)
- \((C)\) tiếp xúc với hai đường thẳng \(\Delta_{1}\) và \(\Delta_{2} \Leftrightarrow d\left( I;\Delta_{1}
\right) = d\left( I;\Delta_{2} \right) = R\)
B. Ví dụ minh họa lập phương trình đường tròn
Ví dụ 1: Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm \(I( - 2;5)\) và bán kính \(R = 7\).
b) Có tâm \(I(1; - 2)\) và đi qua điểm \(A( - 2;2)\).
c) Có đường kính \(AB\), với \(A( - 1; - 3),B( - 3;5)\).
d) Có tâm \(I(1;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Phương trình của đường tròn là \((x +
2)^{2} + (y - 5)^{2} = 49\).
b) Ta có \(\overrightarrow{AI} = (3; -
4)\), bán kính của đường tròn là \(R =
\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}} = 5\).
Phương trình của đường tròn là \((x -
1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25\).
c) Toạ độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I( -
2;1)\). Ta có \(\overrightarrow{AI} = (
- 1;4)\).
Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt{( -
1)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{17}\).
Phương trình của đường tròn là \((x +
2)^{2} + (x - 1)^{2} = 17\).
d) Có tâm \(I(1;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{|1 + 2.3 + 3|}{\sqrt{5}} =
2\sqrt{5}\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \((x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20\).
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm \(I(1; - 5)\) và đi qua \(O(0;0).\)
b) Nhận \(AB\) làm đường kính với \(A(1;1),\ \ B(7;5)\).
c) Đi qua ba điểm: \(M( - 2;4),\ \ N(5;5),\
\ P(6; - 2)\).
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn cần tìm có bán kính là \(OI =
\sqrt{1^{2} + 5^{2}} = \sqrt{26}\) nên có phương trình là \((x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 26\)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn \(AB\) suy ra \(I(4;3)\)
\(AI = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} =
\sqrt{13}\)
Đường tròn cần tìm có đường kính là \(AB\) suy ra nó nhận \(I(4;3)\) làm tâm và bán kính \(R = AI = \sqrt{13}\) nên có phương trình là \((x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 13\)
c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: \(x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0\).
Do đường tròn đi qua ba điểm \(M,\ N,\
P\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}
4 + 16 + 4a - 8b + c = 0 \\
25 + 25 - 10a - 10b + c = 0 \\
36 + 4 - 12a + 4b + c = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 2 \\
b = 1 \\
c = - 20
\end{matrix} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \(x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 20 = 0\)
Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau
Gọi \(I(x;y)\) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm
Vì \(IM = IN = IP \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
IM^{2} = IN^{2} \\
IM^{2} = IP^{2}
\end{matrix} \right.\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{matrix}
(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} \\
(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = (x - 6)^{2} + (y + 2)^{2}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 1
\end{matrix} \right.\)
Ví dụ 3: a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\), với \(A(6;
- 2),B(4;2),C(5; - 5)\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
b) Đường tròn nào sau đây đi qua ba điểm \(A(3;\ 4)\), \(B(1;\ 2)\), \(C(5;\ 2)\).
Hướng dẫn giải
a) Gọi phương trình đường tròn \((C)\) có dạng \(x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.\)
Vì đường tròn \((C)\) đi qua ba điểm \(A(6; - 2)\), \(B(4;2)\), \(C(5;
- 5)\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{matrix}
6^{2} + ( - 2)^{2} - 2a.6 - 2b.( - 2) + c = 0 \\
4^{2} + 2^{2} - 2a.4 - 2b.2 + c = 0 \\
5^{2} + ( - 5)^{2} - 2a.5 - 2b.( - 5) + c = 0
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 12a + 4b + c = - 40 \\
- 8a - 4b + c = - 20 \\
- 10a + 10b + c = - 50
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 2 \\
c = - 20.
\end{matrix} \right.\)
b) Giả sử đường tròn đi qua ba điểm \(A(3;\
4)\), \(B(1;\ 2)\), \(C(5;\ 2)\) có dạng:
\(x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c =
0\), điều kiện \(a^{2} + b^{2} - c >
0\)
Theo bài ra ta có hệ \(\left\{
\begin{matrix}
- 6a - 8b + c = - 25 \\
- 2a - 4b + c = - 5 \\
- 10a - 4b + c = - 29
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 2 \\
c = 9
\end{matrix} \right.\)
Suy ra đường tròn có tâm \(I(3;\
2)\), bán kính \(R = \sqrt{a^{2} +
b^{2} - c} = 2\)
Hay phương trình đường tròn là \((x -
3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4\).
C. Bài tập tự rèn luyện viết phương trình đường tròn
Bài tập 1: Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường tròn tâm \(I(3; - 2)\) và đi qua điểm \(M( - 1;1)\).
b) Đường tròn tâm \(I( - 1;\ 2)\) và đi qua điểm \(M(2;\ 1)\).
c) Đường tròn đường kính \(AB\) với \(A(1;\ 1)\), \(B(7;\ 5)\).
d) Đường tròn tâm \(I(1;\ - 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 4y - 26 =
0\)
Bài tập 2: Cho hai điểm \(A(8;0)\) và \(B(0;6)\).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\).
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\).
Bài tập 3: Cho đường tròn \((C)\) có tâm thuộc đường thẳng \(d:\left\{
\begin{matrix}
x = 1 + 2t \\
y = 3 - t
\end{matrix} \right.\) và đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(0; - 2)\). Tính bán kính đường tròn \((C)\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
------------------------------------------
Qua loạt hướng dẫn và ví dụ chi tiết ở trên, chắc chắn bạn đã nắm vững cách thiết lập phương trình đường tròn trong hệ tọa độ Oxy và cách xử lý các dạng bài thường gặp. Việc luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự sẽ giúp bạn củng cố kỹ năng và tăng tốc độ giải bài trong các kỳ thi quan trọng.
Hãy tiếp tục theo dõi chuyên mục để cập nhật thêm nhiều phương pháp giải nhanh, mẹo làm bài và các dạng toán nâng cao, giúp bạn chinh phục toàn bộ chuyên đề hình học tọa độ Toán lớp 10 một cách dễ dàng và hiệu quả.
