VnDoc.com

Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong Oxy

Toán lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Vị trí tương đối của hai đường thẳng Toán 10

Trong chương trình Toán lớp 10, việc xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong hệ trục tọa độ Oxy là kiến thức nền tảng giúp học sinh nắm vững phần hình học giải tích. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách nhận biết hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau thông qua hệ số góc và các dạng phương trình quen thuộc. Với cách trình bày dễ hiểu, công thức rõ ràng và ví dụ minh họa chi tiết, bạn sẽ có thể áp dụng ngay vào bài tập và các đề thi quan trọng.

A. Cách xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng

$\begin{matrix} d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}) \\ d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2}) \end{matrix}$ $\begin{matrix} d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}) \\ d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2}) \end{matrix}$

$d_{1}$ $d_{1}$ cắt $d_{2}$ $d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ không cùng phương $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$
$d_{1}//d_{2}$ $d_{1}//d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ cùng phương và $M \in d_{1} \Rightarrow M \notin d_{2}$ $M \in d_{1} \Rightarrow M \notin d_{2}$
$d_{1} \equiv d_{2}$ $d_{1} \equiv d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ và $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$ $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$
Đặc biệt $d_{1}\bot d_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$ $d_{1}\bot d_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$

Chú ý: Với trường hợp $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ khi đó

Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.
Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng song song nhau.
Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

B. Bài tập minh họa xét vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a) $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$_: $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2$ $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2$ và ∆₂: $6x - 2y - 8 = 0$

b) $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$: $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 4t \\ y = 2 - 6t \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 4t \\ y = 2 - 6t \end{matrix} \right.$ và $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t$ $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t' \\ y = 4 + 3t' \end{matrix} \right.$

c) $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$:$x - 2y + 1 = 0$ và $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$: $- 3x + 6y - 1 = 0$ .

d) $d_{1}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 5}{3}$ $d_{1}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 5}{3}$, $d_{2}:\ x - 2y + 1 = 0$ $d_{2}:\ x - 2y + 1 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Ta có : $\Delta_{1}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \Leftrightarrow 3x - 2y - 6 = 0$ $\Delta_{1}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 2 \Leftrightarrow 3x - 2y - 6 = 0$. $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (3; - 2)$ $\overrightarrow{n_{1}} = (3; - 2)$

∆₂: có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (3; - 1)$ $\overrightarrow{n_{2}} = (3; - 1)$

Do $\frac{3}{3} \neq \frac{- 2}{- 1}$ $\frac{3}{3} \neq \frac{- 2}{- 1}$ nên $\overrightarrow{n_{1}},\ \ \overrightarrow{n_{2}}$ $\overrightarrow{n_{1}},\ \ \overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau.

b) Ta có $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (3;2)$ $\overrightarrow{n_{1}} = (3;2)$

∆₂: có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (3;2)$ $\overrightarrow{n_{2}} = (3;2)$

Suy ra $\overrightarrow{n_{1}},\ \ \overrightarrow{n_{2}}$ $\overrightarrow{n_{1}},\ \ \overrightarrow{n_{2}}$ cùng phương. Vậy hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Lấy $M( - 3;2)$ thuộc $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$.

Thế $x = - 3,\ \ y = 2$ $x = - 3,\ \ y = 2$ vào phương trình đường thẳng $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ ta được

$\left\{ \begin{matrix} - 3 = 1 - 2t$ $\left\{ \begin{matrix} - 3 = 1 - 2t' \\ 2 = 4 + 3t' \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t' = 2 \\ t' = - \frac{2}{3} \end{matrix} \right.$ (vô nghiêm). Suy ra $M \notin \Delta_{2}$ $M \notin \Delta_{2}$

Vậy $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$// $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$

c) $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$:$x - 2y + 1 = 0$ và $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$: $- 3x + 6y - 3 = 0$ .

Ta có $\frac{1}{- 3} = \frac{- 2}{6} = \frac{1}{- 3}$ $\frac{1}{- 3} = \frac{- 2}{6} = \frac{1}{- 3}$ nên $\Delta_{1}$ $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ $\Delta_{2}$ trùng nhau.

d) $d_{1}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 5}{3}$ $d_{1}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 5}{3}$, $d_{2}:\ x - 2y + 1 = 0$ $d_{2}:\ x - 2y + 1 = 0$

Ta có $d_{1}$ $d_{1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (3;1)$ $\overrightarrow{n_{1}} = (3;1)$

Ta có $d_{2}$ $d_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2)$ $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2)$

Do $\frac{3}{1} \neq \frac{1}{- 2}$ $\frac{3}{1} \neq \frac{1}{- 2}$ nên $\overrightarrow{n_{1}},\ \ \overrightarrow{n_{2}}$ $\overrightarrow{n_{1}},\ \ \overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương. Vậy hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng sau đồng quy?

${d_1}:3x - 4y + 15 = 0;{d_2}:5x + 2y - 1 = 0;{d_3}:mx - 4y + 15 = 0$ ${d_1}:3x - 4y + 15 = 0;{d_2}:5x + 2y - 1 = 0;{d_3}:mx - 4y + 15 = 0$

Hướng dẫn giải

Do $\frac{3}{5} \neq \frac{- 4}{2}$ $\frac{3}{5} \neq \frac{- 4}{2}$ nên $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm $M$của $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{matrix} 3x - 4y = - 15 \\ 5x + 2y = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M( - 1;3)$ $\left\{ \begin{matrix} 3x - 4y = - 15 \\ 5x + 2y = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M( - 1;3)$

Để $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ và $d_{3}$ $d_{3}$ đồng quy thì $M \in d_{3} \Rightarrow m( - 1) - 4.3 + 15 = 0 \Leftrightarrow m = 3$ $M \in d_{3} \Rightarrow m( - 1) - 4.3 + 15 = 0 \Leftrightarrow m = 3$

Vậy $m = 3$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng $d_{1}:mx + (m - 1)y + 2m = 0$ $d_{1}:mx + (m - 1)y + 2m = 0$ và $d_{2}:2x + y - 1 = 0$ $d_{2}:2x + y - 1 = 0$. Tìm m để:

a) $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ cắt nhau b) $d_{1}\ //\ d_{2}$ $d_{1}\ //\ d_{2}$

c) $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ trùng nhau d) $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ vuông góc

Hướng dẫn giải

a) Ta có : $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \frac{m}{2} \neq \frac{m - 1}{1} \Leftrightarrow m \neq 2.$ $\Leftrightarrow \frac{m}{2} \neq \frac{m - 1}{1} \Leftrightarrow m \neq 2.$

b) Ta có $d_{1}\ //\ d_{2} \Leftrightarrow \frac{m}{2} = \frac{m - 1}{1} \neq \frac{2m}{- 1}$ $d_{1}\ //\ d_{2} \Leftrightarrow \frac{m}{2} = \frac{m - 1}{1} \neq \frac{2m}{- 1}$ $\Leftrightarrow m = 2$ $\Leftrightarrow m = 2$.

c) $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ trùng nhau $\Leftrightarrow \frac{m}{2} = \frac{m -1}{1} = \frac{2m}{- 1}$ $\Leftrightarrow \frac{m}{2} = \frac{m -1}{1} = \frac{2m}{- 1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{m}{2} = \frac{m - 1}{1} \\\frac{m}{2} = \frac{2m}{- 1}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \\m = 0\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{m}{2} = \frac{m - 1}{1} \\\frac{m}{2} = \frac{2m}{- 1}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \\m = 0\end{matrix} \right.$ (không tồn tại m)

Vậy không có giá trị nào để $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ trùng nhau.

d) $d_{1},\ \ d_{2}$ $d_{1},\ \ d_{2}$ vuông góc $\Leftrightarrow m.2 + (m - 1).1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}.$ $\Leftrightarrow m.2 + (m - 1).1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}.$

-----------------------------

Qua bài viết này, bạn đã nắm rõ cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong Oxy dựa trên hệ số góc và các dạng phương trình. Đây là kỹ năng quan trọng không chỉ trong Toán lớp 10 mà còn xuyên suốt chương trình THPT. Hãy luyện tập thêm các bài tập vận dụng để ghi nhớ công thức và xử lý nhanh các dạng câu hỏi trong kiểm tra và thi học kỳ. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao!

Tải về

Chọn file muốn tải về: