Viết phương trình các đường thẳng đặc biệt trong tam giác
Cách viết phương trình các đường thẳng đặc biệt trong tam giác
Trong hình học giải tích, việc viết phương trình các đường thẳng đặc biệt trong tam giác như đường trung tuyến, phân giác, đường cao hay trung trực đóng vai trò quan trọng khi giải các bài tập về phương trình tổng quát của đường thẳng. Bài viết này cung cấp phương pháp nhanh – chính xác – dễ áp dụng giúp bạn xử lý hiệu quả mọi dạng bài.
A. Bài tập minh họa viết phương trình tổng quát các đường trong tam giác
Ví dụ 1: Cho tam giác 
\(ABC\) với \(A(2; - 1)\), \(B(4;5)\), \(C( -
3;2)\). Lập phương trình tổng quát của:
a. Ba đường thẳng AB, BC, AC.
b. Đường trung trực cạnh AB.
c. Đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB qua \(A(2; - 1)\) và nhận \(\overrightarrow{AB} = (2;\
6)\)làm vectơ chỉ phương
⇒ AB nhận \(\overrightarrow{n} = (3;\ -
1)\) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: \(3(x - 2) - 1(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 7
= 0\)
Đường thẳng AC qua \(A(2; - 1)\) và nhận \(\overrightarrow{AC} = ( - 5;\
3)\)làm vectơ chỉ phương
⇒ AC nhận \(\overrightarrow{n} = (3;\
5)\) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của đường thẳng AC là: \(3(x - 2) + 5(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y -
1 = 0\)
Đường thẳng BC qua \(B(4;5)\) và nhận \(\overrightarrow{BC} = ( - 7;\ -
3)\) làm vectơ chỉ phương
⇒ BC nhận \(\overrightarrow{n} = (3;\ -
7)\) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:
\(3(x - 4) - 7(y - 5) = 0 \Leftrightarrow
3x - 7y + 23 = 0\)
b. Đường trung trực cạnh AB
Gọi I là trung điểm của AB, ta có \(I\left(
\frac{2 + 4}{2};\frac{- 1 + 5}{2} \right) \Rightarrow
I(3;2).\)
Gọi d là đường trung trực của cạnh AB
Vì d ⊥ AB nên d nhận \(\overrightarrow{AB} =
(2;\ 6)\) làm vecto pháp tuyến.
Đường thẳng d đi qua \(I(3;2).\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{AB} =
(2;\ 6)\) nên ta có phương trình tổng quát là
\(2(x - 3) + 6(y - 2) = 0 \Leftrightarrow
2x + 6y - 18 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 9 = 0.\)
c. Phương trình đường cao AH và đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
Ta có AH⊥BC nên AH nhận \(\overrightarrow{BC} = ( - 7;\ - 3)\) làm vecto pháp tuyến và AH đi qua \(A(2; -
1)\) nên phương trình tổng quát của AH là: \(- 7(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \Leftrightarrow - 7x -
3y + 11 = 0 \Leftrightarrow 7x + 3y - 11 = 0.\)
AM là trung tuyến của tam giác nên M là trung điểm của BC
\(\Rightarrow M\left( \frac{4 -
3}{2};\frac{5 + 2}{2} \right) \Rightarrow
M(\frac{1}{2};\frac{7}{2}).\)
Đường thẳng AM đi qua \(A(2; - 1)\) và nhận \(\overrightarrow{AM} = \left( -
\frac{3}{2};\ \frac{9}{2} \right)\) làm vectơ chỉ phương
⇒ AM nhận \(\overrightarrow{n} = (3;\
1)\) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình tổng quát của AM là: \(3(x -
2) + (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0.\)
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;2),\ B(3;0)\) và \(C( - 2; - 1).\)
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A.\)
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B.\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A.\)
Đường cao kẻ từ \(A\) đi qua \(A(1;2)\) và nhận \(\overrightarrow{CB} = (5;1)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(5x + y - 7 = 0.\)
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì \(M\left( - \frac{1}{2};\frac{1}{2}
\right)\).
Đường trung tuyến kẻ từ \(B\) nhận \(\overrightarrow{MB} = \left( \frac{7}{2}; -
\frac{1}{2} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (1;7)\) và đi qua \(B(3;0)\) nên có phương trình là: \(x + 7y - 3 = 0\).
B. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết
Câu 1: Cho tam giác \(ABC\) với \(A(2;\ 4)\); \(B(2;\ 1)\); \(C(5;\ 0)\). Trung tuyến \(CM\) đi qua điểm nào dưới đây?
A. \(\left( 14;\ \frac{9}{2}
\right)\). B. \(\left( 10;\ -
\frac{5}{2} \right)\). C. \(( - 7;\ -
6)\). D. \(( - 1;\ 5)\).
Câu 2: Cho \(A( - 2;3)\), \(B(4; - 1)\). Viết phương trình đường trung trục của đoạn \(AB\).
A. \(x + y + 1 = 0\). B. \(2x + 3y - 5 = 0\). C. \(3x - 2y - 1 = 0\). D. \(2x - 3y + 1 = 0\).
Câu 3: Cho tam giác \(ABC\) với \(A(2; - 1)\), \(B(4;5)\), \(C( -
3;2)\). Phương trình tổng quát của đường cao đi qua điểm \(A\) của tam giác \(ABC\) là
A. \(3x + 7y + 1 = 0\). B. \(- 3x + 7y + 13 = 0\). C. \(7x + 3y + 13 = 0\). D. \(7x + 3y - 11 = 0\).
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho \(\Delta ABC\) có \(A(1;\ \ 2)\), \(B(4;\ \ - 2)\), \(C( - 3;\ \ 5)\). Một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc \(A\) là
A. \(\overrightarrow{u} = (2;1)\). B. \(\overrightarrow{u} = (1;\
\ - 1)\). C. \(\overrightarrow{u} =
(1;\ \ 1)\). D. \(\overrightarrow{u} =
(1;\ \ 2)\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------
Hy vọng nội dung bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách lập phương trình các đường thẳng đặc biệt trong tam giác. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kỹ thuật và vận dụng tốt trong các bài toán tọa độ Toán lớp 10.
