Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Công thức đầy đủ nhất về Phương trình đường thẳng Oxy

Công thức Toán 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toàn bộ công thức Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy là nội dung quan trọng của Toán 10, bao gồm các dạng công thức cơ bản đến nâng cao. Bài viết này tổng hợp đầy đủ – dễ hiểu – dễ áp dụng toàn bộ công thức phương trình đường thẳng, giúp bạn ghi nhớ nhanh và vận dụng chính xác trong mọi dạng bài.

A. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương

Vectơ $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$ .

Nhận xét: Nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u}(k \neq 0)$ cũng là VTCP của $\Delta$ .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và $\overrightarrow{u} = (a;b)$ là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \end{matrix} \right.\ t \in R$

Nhận xét‎‎‎‎: $A \in \Delta \Leftrightarrow A(x_{0} + at;y_{0} + bt)$

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và $\overrightarrow{u} = (a;b)$ (với $a \neq 0,\ \ b \neq 0$ ) là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}$

4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$ .

Nhận xét : Nếu $\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}(k \neq 0)$ cũng là VTPT của $\Delta$ .

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và có VTPT $\overrightarrow{n} = (a;b)$ . Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

$a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow \ ax + by + c = 0\ (c = - ax_{0} - by_{0})$

Chú ý:

- Nếu đường thẳng $\Delta$ : thì $\overrightarrow{n} = (a;b)$ là VTPT của $\Delta$ .

6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

$\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Ox \Leftrightarrow \Delta:by + c = 0$
$\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Oy \Leftrightarrow \Delta:ax + c = 0$
$\Delta$ đi qua gốc tọa độ $\Leftrightarrow \Delta:ax + by = 0$
$\Delta$ đi qua hai điểm $A(a;0),\ \ B(0;b) \Leftrightarrow \Delta:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ với $(ab \neq 0)$

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là với $k = \tan\alpha$ , $\alpha$ là góc hợp bởi tia của $\Delta$ ở phía trên trục và tia ( là giao điểm của $\Delta$ và ).

7. Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

VTPT và VTCP vuông góc với nhau.

Do đó nếu $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (a;b)$ thì $\overrightarrow{n} = ( - b;a)$ là một VTPT của $\Delta$ .

B. Vị trí tương đối, khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

$d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})$

$d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$

$d_{1}$ cắt $d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ không cùng phương $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$
$d_{1}//d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ cùng phương và $M \in d_{1} \Rightarrow M \notin d_{2}$
$d_{1} \equiv d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ và $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$
Đặc biệt $d_{1}\bot d_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$

Chú ý: Với trường hợp $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ khi đó:

+ Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

2. Góc giữa hai đường thẳng

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng và , hay đơn giản là góc giữa a và b. Khi song song hoặc trùng với , ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^{0}$ .

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng

Góc xác định hai đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$ có phương trình ${\Delta _1}:a{x_1} + {b_1}y + c = 0$ và ${\Delta _2}:a{x_2} + {b_2}y + c = 0$ được xác định bởi công thức:

$\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$

3. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta:ax + by + c = 0$ và điểm $M\left( x_{0};y_{0} \right)$ . Khi đó khoảng cách từ M đến $(\Delta)$ được tính bởi công thức:

$d(M,(\Delta)) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng $\bigtriangleup :\ \ ax + by + c = 0$ và $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \notin \Delta ;N\left( {{x_N};{y_N}} \right) \notin \Delta$ . Khi đó:

- M, N cùng phía với $\Delta \Leftrightarrow \left( ax_{M} + by_{M} + c \right)\left( ax_{N} + by_{N} + c \right) > 0$

- M, N khác phía với $\Delta \Leftrightarrow \left( ax_{M} + by_{M} + c \right)\left( ax_{N} + by_{N} + c \right) < 0$

Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:

$\Delta_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ và $\Delta_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ là:

$\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} }} = \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$

---------------------------------------

❓ FAQ – Công thức đầy đủ nhất về Phương trình đường thẳng Oxy

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng như thế nào?

2. Điều kiện để phương trình trên là phương trình đường thẳng là gì?

Hai hệ số:bA, B không được đồng thời bằng 0.

3. Phương trình tham số của đường thẳng được viết ra sao?

4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì?

Vectơ chỉ phương là: 👉 Vectơ có giá song song với đường thẳng.

5. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là gì?

Vectơ pháp tuyến là: 👉 Vectơ vuông góc với đường thẳng.

6. Làm sao viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm?

Xác định vectơ chỉ phương
Lập phương trình tổng quát hoặc tham số từ dữ kiện đề bài

7. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng là gì?

8. Khi nào hai đường thẳng song song?

Hai đường thẳng song song khi: 👉 Có vectơ chỉ phương cùng phương hoặc vectơ pháp tuyến tỉ lệ.

9. Khi nào hai đường thẳng vuông góc?

Hai đường thẳng vuông góc khi: 👉 Tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0.

10. Những dạng bài tập Oxy thường gặp là gì?

Viết phương trình đường thẳng
Tính khoảng cách
Xác định giao điểm
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

----------------------------------------------

Chuyên đề công thức đầy đủ nhất về phương trình đường thẳng Oxy là tài liệu quan trọng giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức nền tảng của hình học tọa độ và phát triển kỹ năng giải toán một cách logic, chính xác. Việc ghi nhớ hệ thống công thức kết hợp luyện tập thường xuyên các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp học sinh xử lý nhanh các bài toán viết phương trình đường thẳng, tính góc, khoảng cách và xác định vị trí tương đối trong mặt phẳng tọa độ.

Không chỉ phục vụ cho các bài kiểm tra trên lớp, chuyên đề này còn là nền tảng quan trọng cho nhiều dạng toán hình học giải tích trong chương trình THPT và các kỳ thi tuyển sinh. Học sinh nên xây dựng thói quen tổng hợp công thức theo sơ đồ tư duy, luyện đề định kỳ và rèn kỹ năng phân tích dữ kiện để tăng tốc độ làm bài và hạn chế sai sót trong quá trình giải toán. Hy vọng bộ công thức phương trình đường thẳng Oxy trong bài viết đã giúp bạn học nhanh và giải bài hiệu quả hơn. Hãy lưu lại để ôn tập và áp dụng trong các bài kiểm tra Toán 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: