VnDoc.com

Công thức đầy đủ nhất về Phương trình đường thẳng Oxy

Công thức Toán 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Toàn bộ công thức Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy là nội dung quan trọng của Toán 10, bao gồm các dạng công thức cơ bản đến nâng cao. Bài viết này tổng hợp đầy đủ – dễ hiểu – dễ áp dụng toàn bộ công thức phương trình đường thẳng, giúp bạn ghi nhớ nhanh và vận dụng chính xác trong mọi dạng bài.

A. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương

Vectơ $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$ $\Delta$.

Nhận xét: Nếu $\overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{u}$ là VTCP của $\Delta$ $\Delta$ thì $k\overrightarrow{u}(k \neq 0)$ $k\overrightarrow{u}(k \neq 0)$ cũng là VTCP của $\Delta$ $\Delta$.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và $\overrightarrow{u} = (a;b)$ $\overrightarrow{u} = (a;b)$ là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \end{matrix} \right.\ t \in R$ $\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \end{matrix} \right.\ t \in R$

Nhận xét‎‎‎‎: $A \in \Delta \Leftrightarrow A(x_{0} + at;y_{0} + bt)$ $A \in \Delta \Leftrightarrow A(x_{0} + at;y_{0} + bt)$

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và $\overrightarrow{u} = (a;b)$ $\overrightarrow{u} = (a;b)$ (với $a \neq 0,\ \ b \neq 0$ $a \neq 0,\ \ b \neq 0$) là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}$ $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}$

4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $\Delta$ $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$ $\Delta$.

Nhận xét : Nếu $\overrightarrow{n}$ $\overrightarrow{n}$ là VTPT của $\Delta$ $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}(k \neq 0)$ $k\overrightarrow{n}(k \neq 0)$ cũng là VTPT của $\Delta$ $\Delta$.

5. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$ $M_{0}(x_{0};y_{0})$ và có VTPT $\overrightarrow{n} = (a;b)$ $\overrightarrow{n} = (a;b)$. Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:

$a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow \ ax + by + c = 0\ (c = - ax_{0} - by_{0})$ $a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow \ ax + by + c = 0\ (c = - ax_{0} - by_{0})$

Chú ý:

- Nếu đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ :$ax + by + c = 0$ thì $\overrightarrow{n} = (a;b)$ $\overrightarrow{n} = (a;b)$ là VTPT của $\Delta$ $\Delta$.

6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

$\Delta$ $\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Ox \Leftrightarrow \Delta:by + c = 0$ $Ox \Leftrightarrow \Delta:by + c = 0$
$\Delta$ $\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Oy \Leftrightarrow \Delta:ax + c = 0$ $Oy \Leftrightarrow \Delta:ax + c = 0$
$\Delta$ $\Delta$ đi qua gốc tọa độ $\Leftrightarrow \Delta:ax + by = 0$ $\Leftrightarrow \Delta:ax + by = 0$
$\Delta$ $\Delta$ đi qua hai điểm $A(a;0),\ \ B(0;b) \Leftrightarrow \Delta:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $A(a;0),\ \ B(0;b) \Leftrightarrow \Delta:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ với $(ab \neq 0)$ $(ab \neq 0)$

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là $y = kx + m$ với $k = \tan\alpha$ $k = \tan\alpha$, $\alpha$ $\alpha$ là góc hợp bởi tia $Mt$ của $\Delta$ $\Delta$ ở phía trên trục $Ox$ và tia $Mx$ ($M$ là giao điểm của $\Delta$ $\Delta$ và $Ox$).

7. Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

VTPT và VTCP vuông góc với nhau.

Do đó nếu $\Delta$ $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow{u} = (a;b)$ $\overrightarrow{u} = (a;b)$ thì $\overrightarrow{n} = ( - b;a)$ $\overrightarrow{n} = ( - b;a)$ là một VTPT của $\Delta$ $\Delta$.

B. Vị trí tương đối, khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

$d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})$ $d_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1})$

$d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ $d_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$

$d_{1}$ $d_{1}$ cắt $d_{2}$ $d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ không cùng phương $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$ $a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \neq 0$
$d_{1}//d_{2}$ $d_{1}//d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ cùng phương và $M \in d_{1} \Rightarrow M \notin d_{2}$ $M \in d_{1} \Rightarrow M \notin d_{2}$
$d_{1} \equiv d_{2}$ $d_{1} \equiv d_{2}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (a_{1};b_{1}),\ {\overrightarrow{n}}_{2} = (a_{2};b_{2})$ và $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$ $M \in d_{1} \Rightarrow M \in d_{2}$
Đặc biệt $d_{1}\bot d_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$ $d_{1}\bot d_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{n}}_{1}.{\overrightarrow{n}}_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$

Chú ý: Với trường hợp $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ $a_{2}.b_{2}.c_{2} \neq 0$ khi đó:

+ Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} \neq \frac{a_{2}}{b_{2}}$ thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ thì hai đường thẳng trùng nhau.

2. Góc giữa hai đường thẳng

a) Định nghĩa: Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$, hay đơn giản là góc giữa a và b. Khi $a$ song song hoặc trùng với $b$, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^{0}$ $0^{0}$.

b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng

Góc xác định hai đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$ ${\Delta _1};{\Delta _2}$ có phương trình ${\Delta _1}:a{x_1} + {b_1}y + c = 0$ ${\Delta _1}:a{x_1} + {b_1}y + c = 0$ và ${\Delta _2}:a{x_2} + {b_2}y + c = 0$ ${\Delta _2}:a{x_2} + {b_2}y + c = 0$ được xác định bởi công thức:

$\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$ $\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$

3. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta:ax + by + c = 0$ $\Delta:ax + by + c = 0$ và điểm $M\left( x_{0};y_{0} \right)$ $M\left( x_{0};y_{0} \right)$. Khi đó khoảng cách từ M đến $(\Delta)$ $(\Delta)$được tính bởi công thức:

$d(M,(\Delta)) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ $d(M,(\Delta)) = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng $\bigtriangleup :\ \ ax + by + c = 0$ $\bigtriangleup :\ \ ax + by + c = 0$ và $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \notin \Delta ;N\left( {{x_N};{y_N}} \right) \notin \Delta$ $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \notin \Delta ;N\left( {{x_N};{y_N}} \right) \notin \Delta$. Khi đó:

- M, N cùng phía với $\Delta \Leftrightarrow \left( ax_{M} + by_{M} + c \right)\left( ax_{N} + by_{N} + c \right) > 0$ $\Delta \Leftrightarrow \left( ax_{M} + by_{M} + c \right)\left( ax_{N} + by_{N} + c \right) > 0$

- M, N khác phía với $\Delta \Leftrightarrow \left( ax_{M} + by_{M} + c \right)\left( ax_{N} + by_{N} + c \right) < 0$ $\Delta \Leftrightarrow \left( ax_{M} + by_{M} + c \right)\left( ax_{N} + by_{N} + c \right) < 0$

Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:

$\Delta_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ $\Delta_{1}:a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ và $\Delta_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ $\Delta_{2}:a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ là:

$\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} }} = \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$ $\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} }} = \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$

---------------------------------------

Hy vọng bộ công thức phương trình đường thẳng Oxy trong bài viết đã giúp bạn học nhanh và giải bài hiệu quả hơn. Hãy lưu lại để ôn tập và áp dụng trong các bài kiểm tra Toán 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: