Tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng cho trước
Tìm m để hàm số xác định trên khoảng K cho trước
Trong chương trình Toán 10, các bài toán xác định điều kiện của tham số để hàm số xác định trên một khoảng xuất hiện thường xuyên và có vai trò quan trọng. Bài viết này giúp bạn nắm rõ phương pháp, cách lập điều kiện, phân tích miền xác định và áp dụng vào các dạng hàm số chứa tham số một cách dễ hiểu, hệ thống và chính xác.
A. Cách tìm điều kiện để hàm số xác định
Bài toán. Cho hàm 
\(y = f(x,m)\). Tìm tất cả các tham số \(m\) để hàm số xác định trên tập \(K\).
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số (theo \(m\)). Gọi D là tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Hàm số xác định trên tập \(K\) khi và chỉ khi \(K \subset D\).
Một số lưu ý:
+ Hàm \(y = \frac{A}{f(x,m)}\) (\(A\) là biểu thức luôn có nghĩa) xác định trên tập \(K\) \(\Leftrightarrow\) Phương trình \(f(x,m) = 0\) vô nghiệm trên \(K\).
+ Hàm\(y = \sqrt{f(x,m)}\) xác định trên tập \(K\) \(\Leftrightarrow\) Bất phương trình \(f(x,m) \geq 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in K\).
+ Hàm \(y =
\frac{A}{\sqrt{f(x,m)}}\) (\(A\) là biểu thức luôn có nghĩa) xác định trên tập \(K \Leftrightarrow\) Bất phương trình \(f(x,m) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in K\).
+ \(K \subset \left( D_{1} \cap D_{2}
\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
K \subset D_{1} \\
K \subset D_{2}
\end{matrix} \right.\)
B. Bài tập minh họa tìm m để hàm số xác định
Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = \frac{2x +
1}{x^{2} + x + m}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của hàm số là \(x^{2} +
x + m \neq 0\).
Hàm số xác định trên \(R
\Leftrightarrow\) \(x^{2} + x + m \neq
0\), với mọi \(x \in R\) \(\Leftrightarrow x^{2} + x + m = 0\) vô nghiệm
\(\Leftrightarrow \Delta < 0\) \(\Leftrightarrow 1 - 4m < 0
\Leftrightarrow m > \frac{1}{4}\).
Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = \sqrt{2x -
m}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số có tập xác định là \(\lbrack 2; + \infty)\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của hàm số là \(x \geq
\frac{m}{2}\).
Khi đó tập xác định của hàm số là \(D =
\left\lbrack \frac{m}{2}; + \infty \right)\).
Yêu cầu bài toán thỏa mãn \(\Leftrightarrow
\frac{m}{2} = 2 \Leftrightarrow m = 4\).
Vậy m = 4 là giá trị tham số cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số \(y = \frac{\sqrt{3x -
5m + 6}}{x + m - 1}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số xác định trên \((0; + \infty)\).
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của hàm số là \(\left\{\begin{matrix}x \geq \dfrac{5m - 6}{3} \\x \neq 1 - m\end{matrix} \right.\)(*)
Hàm số xác định trên \((0; + \infty)
\Leftrightarrow\) (*) nghiệm đúng với mọi \(x \in (0; + \infty)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{5m - 6}{3} \leq 0 \\1 - m \notin (0; + \infty)\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5m - 6 \leq 0 \\
1 - m \leq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 1 \leq m \leq
\frac{6}{5}\).
Vậy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(1 \leq m \leq \frac{6}{5}\).
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1: Cho hàm số \(y = \sqrt{m - x} +
\sqrt{2x - m + 1}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số xác định trên \((0;1)\).
Bài tập 2: Cho hàm số\(y = \sqrt{x^{4} +
4x^{3} + (m + 5)x^{2} + 4x + 4 + m}\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).
Bài tập 3: Tìm \(m\) để các hàm số sau đây xác định với mọi \(x\) thuộc khoảng \((0; + \infty)\).
a) \(y = \sqrt{x - m} + \sqrt{2x - m -
1}\). b) \(y = \sqrt{2x - 3m + 4} +
\frac{x - m}{x + m - 1}\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-------------------------------------
Việc xác định điều kiện của tham số giúp bạn hiểu sâu hơn bản chất hàm số và giải nhanh các dạng bài trong Toán 10. Hy vọng bài viết đã hỗ trợ bạn nắm chắc phương pháp và tự tin áp dụng vào mọi dạng bài liên quan.
