Tìm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất Toán 10
Tìm điều kiện để tổng khoảng cách MA + MB nhỏ nhất
Trong chuyên đề Phương trình đường thẳng – Toán 10, dạng bài tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất là dạng toán quen thuộc nhưng đòi hỏi học sinh hiểu bản chất hình học để xử lý nhanh và chính xác. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn phương pháp giải tối ưu dựa trên tính chất phản xạ, định lý đường thẳng ngắn nhất, cùng các bước trình bày rõ ràng giúp bạn nắm chắc kỹ thuật và áp dụng vào mọi dạng bài liên quan.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ 
\(Oxy\) cho \(\Delta:x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(A(2;\ \ 1),\ \ B(9;\ \ 6).\) Điểm \(M(a;\ \ b)\) nằm trên đường \(\Delta\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất. Tính \(a + b.\)
Hướng dẫn giải
Gọi \(A'\) đối xứng \(A\) qua \(d\) ta có \(A'(0;3)\) khi đó điểm \(M = A'B \cap d\)
Tìm được \(M(3;4)\).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 4y + 15 = 0\) và điểm \(A(2;0)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(d\) để đoạn \(AM\) có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Điểm \(M \in d\ \Leftrightarrow M(4t -
15;t)\)
Ta có:\(AM = \sqrt{(4t - 17)^{2} + t^{2}} =
\sqrt{17\left( t^{2} - 8t + 17 \right)}\)
\(= \sqrt{17\left\lbrack (t - 4)^{2} + 1
\right\rbrack} \geq \sqrt{17}\), \(\forall t\mathbb{\in R}\).
\(\Rightarrow \min AM = \sqrt{17}\), đạt được tại \(t = 4\). Khi đó\(M(1;4)\).
Ví dụ 3: Cho 3 điểm \(A( - 6;3)\ ;\ B(0; -
1);\ C(3;2)\). Tìm \(M\) trên đường thẳng \(d:2x - y - 3 = 0\) mà \(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Tìm tọa độ điểm \(I(x;y)\) sao cho \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\). Suy ra \(I\left( - 1;\frac{4}{3} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
\overrightarrow{IC}\)
\(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = 3\left|
\overrightarrow{MI} \right|\).
Vậy \(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất khí \(\left| \overrightarrow{MI} \right|\) nhỏ nhất.
\(\left| \overrightarrow{MI}
\right|\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) xuống đường thẳng \(d\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(d\) có phương trình: \(x + 2y = \frac{5}{3}\)
\(M\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\) nên \(M\) là nghiệm của hệ:\(\left\{ \begin{matrix}
2x - y = 3 \\
x + 2y = \frac{5}{3}
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( \frac{- 13}{15};\frac{19}{15}
\right)\)
Cách 2:
\(M\) thuộc \(d\) suy ra \(M(t;2t + 3)\)
\(\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = ( - 3 - 3t; - 6t -
5)\)
\(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = \sqrt{( - 3 - 3t)^{2
+} + ( - 6 - 5t)^{2}}\)
\(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = \sqrt{45t^{2} + 78t
+ 34} = \sqrt{45\left( t + \frac{13}{15} \right)^{2} +
\frac{1}{5}}\)
\(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất khi \(t = - \frac{13}{15}\). Suy ra \(M\left( \frac{- 13}{15};\frac{19}{15}
\right)\).
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A(2;2)\), \(B(1;
- 3)\), \(C( - 2;2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho \(\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất có tung độ là?
Hướng dẫn giải
Gọi \(G(a;b)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Suy ra\(\left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\b = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{2 + 1 - 2}{3} \\b = \dfrac{2 - 3 + 2}{3}\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \frac{1}{3} \\b = \frac{1}{3}\end{matrix} \right.\ \Rightarrow G\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\).
Ta có:
\(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| = \left|
\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}
\right|\)\(= \left| 3\overrightarrow{MG} \right| =
3MG\).
Suy ra \(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất khi \(MG\) nhỏ nhất.
Mặt khác \(M\) thuộc trục tung nên \(MG\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên trục tung.
Vậy \(M\left( 0;\frac{1}{3}
\right)\).
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\Delta:x - y + 1 = 0\) và hai điểm \(A(2;1)\), \(B(9;6)\). Điểm \(M(a;b)\) nằm trên đường \(\Delta\) sao cho \(MA + MB\) nhỏ nhất. Tính \(a + b\)ta được kết quả là:
Hướng dẫn giải
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng \(\Delta\).
Hình vẽ minh họa như sau:
Ta có:
\(MA + MB = MA' + MB \geq
A'B\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) M trùng với M0 (M0 là giao điểm của \(\Delta\) và A’B)
Ta có: \(AA'\bot\Delta\) nên \(\overrightarrow{n_{AA'}} =
\overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1)\)
\((AA'):x + y - 3 = 0\)
Gọi \(H = AA' \cap \Delta \Rightarrow
H(1;2)\)
Vì A’ đối xứng với A qua \(\Delta\) nên H là trung điểm AA’
\(\Rightarrow A'(0;3)\)
Đường thẳng A’B qua B có VTCP \(\overrightarrow{A'B} = (9;3) = 3(3;1)
\Rightarrow \overrightarrow{n_{A'B}} = (1; - 3)\)
\(\Rightarrow A'B:x - 3y + 9 =
0\)
Tọa độ M0 thỏa hệ:
\(\left\{
\begin{matrix}
x - y + 1 = 0 \\
x - 3y + 9 = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow M_{0}(3;4)\)\(\Rightarrow M(3;4)\). Vậy \(a + b = 7\)
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
-------------------------------------
Qua bài viết, bạn đã biết cách giải dạng toán tìm M thuộc d để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp phản xạ và hình học giải tích. Đây là dạng bài trọng tâm trong chương Phương trình đường thẳng, xuất hiện nhiều trong kiểm tra, đánh giá năng lực và đề thi học kỳ. Hãy luyện thêm bài tập để thành thạo phương pháp và đạt điểm cao môn Toán 10. Chúc bạn học tốt!
