Tìm m để hàm số xác định trên khoảng, đoạn
Tìm m để hàm số xác định trên khoảng hoặc đoạn cho trước
Trong chương trình Toán 10, dạng bài Tìm tham số m để hàm số xác định trên khoảng hoặc đoạn cho trước là một trong những dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy về điều kiện xác định của hàm số và cách phân tích tham số. Bài viết này tổng hợp các phương pháp giải nhanh, cách xét điều kiện theo từng loại biểu thức (căn thức, mẫu số, phân thức, lôgarit…), đồng thời cung cấp bài tập minh họa có đáp án chi tiết. Nhờ nội dung trình bày rõ ràng, phân dạng cụ thể, bạn sẽ dễ dàng nhận biết bản chất vấn đề và xử lý chính xác các bài toán tìm m trên từng miền xác định.
A. Cách tìm m để hàm số xác định trên khoảng, đoạn
Tổng quát. Cho hàm 
\(y = f(x,m)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số xác định trên tập \(K\).
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số (theo \(m\)). Gọi D là tập xác định của hàm số.
- Bước 2: Hàm số xác định trên tập \(K\) khi và chỉ khi \(K \subset D\).
Chú ý:
+ Hàm số \(y = \frac{A}{f(x,m)}\) (\(A\) là biểu thức luôn có nghĩa) xác định trên tập \(K\) khi và chỉ khi phương trình \(f(x,m) = 0\) vô nghiệm trên \(K\).
+ Hàm số \(y = \sqrt{f(x,m)}\)xác định trên tập \(K\) khi và chỉ khi bất phương trình \(f(x,m) \geq 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in K\).
+ Hàm số \(y =
\frac{A}{\sqrt{f(x,m)}}\)(\(A\) là biểu thức luôn có nghĩa) xác định trên tập \(K\) khi và chỉ khi bất phương trình \(f(x,m) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in K\).
+ \(K \subset \left( D_{1} \cap D_{2}
\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
K \subset D_{1} \\
K \subset D_{2}
\end{matrix} \right.\)
B. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số xác định
Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên thuộc \(( - 2024;\ 2024)\) để hàm số \(y = \frac{3x^{2} + 2mx + 2}{x-2m}\) xác định trên khoảng \(( -
4;2)\).
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \(x \neq 2m\)
Hàm số xác định trên khoảng \(( - 4;2)
\Leftrightarrow 2m \notin \ ( - 4;2) \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
2m \geq 2 \\
2m \leq - 4
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 1 \\
m \leq - 2
\end{matrix} \right.\).
Vì \(m\) nguyên và \(m \in ( - 2024;\ 2024)\) nên có tất cả \(4045\) giá trị.
Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của \(a\) để tập giá trị của hàm số \(y = \frac{x + a}{x^{2} + 1}\) chứa đoạn \(\lbrack 0;1\rbrack\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y = \frac{x + a}{x^{2} + 1}
\Leftrightarrow yx^{2} - x + y - a = 0\).
Tập giá trị của hàm số chứa đoạn \(\lbrack
0;1\rbrack \Leftrightarrow\)Với mọi \(y
\in \lbrack 0;1\rbrack\) thì phương trình trên luôn có nghiệm.
Với \(y = 0\) ta có phương trình \(x + a = 0 \Leftrightarrow x = -
a\).
Do đó phương trình luôn có nghiệm.
Với \(0 < y \leq 1\) thì phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow 1 - 4y(y -
a) \geq 0 \Leftrightarrow 4y^{2} - 1 \leq 4ay \Leftrightarrow
\frac{4y^{2} - 1}{4y} \leq a\).
Yêu cầu bài toán tương đương với \(\underset{(0;1\rbrack}{Max}\frac{4y^2- 1}{4y}\leq a\).
Ta có:
\(\frac{4y^{2} - 1}{4y} = y -\frac{1}{4y} = (y - 1) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4y} \right) +\frac{3}{4}\)
\(= (y - 1)\left( 1 + \frac{1}{4y} \right) + \frac{3}{4} \leq\frac{3}{4}\forall y \in (0;1\rbrack\).
Kết luận \(a \geq \frac{3}{4}\).
Ví dụ 3. Hàm số \(y = \sqrt{9 - 3|x|} +
\frac{x}{\sqrt{9x_{\ }^{2}\ - 1}}\)có tập xác định \(D_{1}\), hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x|x| + 4}\)có tập xác định \(D_{2}\). Khi đó tập \(A\mathbb{= Z \cap}(D_{1} \cap
D_{2})\) có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn giải
Hàm số \(y = \sqrt{9 - 3|x|} +
\frac{x}{\sqrt{9x_{\ }^{2}\ - 1}}\) xác định khi:
\(\left\{ \begin{matrix}
9 - 3|x| \geq 0 \\
9x^{2} - 1 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} < x \leq 3
\Rightarrow D_{1} = \left\lbrack \frac{1}{3},3 \right)\)
Hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x|x| +
4}\)xác định khi:
\(\left\{ \begin{matrix}
x + 2 \geq 0 \\
x|x| + 4 > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
- 2 \leq x \leq 0 \\
- x^{2} + 4 \neq 0
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow - 2 < x \leq 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
x > 0 \\
x^{2} + 4 \neq 0
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x > 0
\end{matrix} \right.\) \(\Rightarrow
D_{2} = ( - 2; + \infty)\)
\(\Rightarrow A\mathbb{= Z \cap}(D_{1}
\cap D_{2}) = \left\{ - 1;1;2;3 \right\}\)
Vậy tập hợp A gồm 4 phần tử.
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Cho hàm số \(f(x) = \sqrt{x + 2m
- 1} + \sqrt{4 - 2m - \frac{x}{2}}\) xác định với mọi \(x \in \lbrack 0;2\rbrack\) khi \(m \in \lbrack a;b\rbrack\). Giá trị \(a + b = ?\)
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = \sqrt{(m + 1)x
+ 2m + 3}\), \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\)để hàm số đã cho xác định trên đoạn \(\lbrack - 3;\
\ - 1\rbrack\)?
Bài tập 3. Tìm \(m\) để các hàm số\(y = \sqrt{x - m} + \sqrt{2x - m -
1}\) xác định với mọi \(x\)thuộc khoảng \((0; + \infty)\).
Bài tập 4. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{2\sqrt{x - 2m + 3}}{3(x - m)} + \frac{x
- 2}{\sqrt{- x + m + 5}}\) xác định trên khoảng \((0;1)\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------------
Qua các ví dụ đầy đủ và hướng dẫn từng bước, bạn đã nắm được cách tìm m để hàm số xác định trên khoảng hoặc đoạn một cách nhanh chóng và chính xác. Đây là kỹ năng nền tảng giúp bạn làm tốt các chuyên đề tiếp theo như khảo sát hàm số, xét tính đơn điệu hay giải toán thực tế có chứa tham số. Hãy tiếp tục luyện tập thêm các dạng mở rộng để tăng độ thành thạo và tự tin khi gặp bài toán chứa tham số trong các bài kiểm tra và đề thi Toán 10.
